山东师大附中学年高三第二次模拟数学理.docx

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山东师大附中学年高三第二次模拟数学理

山东师大附中

2009—2010学年度高三第二次模拟考试

数学试题（理）

1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

2．若的值为（）

A．B．C．D．

3．已知等差数列的前13项之和为，则等于（）

A．　　　B．　　　　　C．　　　D．

4．已知各项不为的等差数列，满足，数列是等比数列，

且，则（）

A．B．C．D．

５．设函数，则函数是（）

A．最小正周期是的偶函数B．最小正周期是的奇函数

C．最小正周期是2的偶函数D．最小正周期是的奇函数

６．已知函数则（　　）

Ａ．　　Ｂ．　　

Ｃ．　Ｄ．

7．设是正数，则的最大值为（　）

　Ａ．２　　Ｂ．　　

Ｃ．　　Ｄ．

８设，则的范围是（　　）

　Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ．

９．若关于x的不等式恒成立，则实数的取值范围为

（）

A．B．

C．D．

10．函数，已知其导函数的部分图象如图所示，则的函数解析式为（）

A．　　

B．

C．　　

D．

11．在中，角A、B、C所对的边为，若成等差数列，则角B的范围是

（）

A．B．

C．D．

12．设函数，则下列结论正确的是（）

A．的图像关于直线对称

B．的图像关于点对称

C．把的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像

D．的最小正周期为，且在上为增函数

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题：

本大题共4小题．每小题4分，共16分．

13．设等比数列的前项和为，若=3，则=．

14．若，则取值范围是．

15．实数满足，则的最大值为．

16．某公司租赁甲、乙两种设备生产两类产品，甲种设备每天能生产类产品5件和类产品10件，乙种设备每天能生产类产品6件和类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产类产品50件,类产品140件，所需租赁费最少为__________元．

三、解答题（共74分）

17．（本小题满分12分）设函数．

（1）若，解不等式；

（2）如果，，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知函数是的导函数．

（1）求函数的最大值和最小正周期；

（2）若，求的值．

19．（本小题满分12分）购买某种汽车，购车的总费用（包括缴税）为5万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计6000元，汽车的维修费平均为：

第一年1000元，第二年2000元，…依等差数列逐年递增．问这种汽车使用多少年报废合算？

（商品的最佳更换年限应该是使每年平均消耗费用最低的年限；年平均消耗费用=年均成本费的分摊+年均维修费的分摊）

20．（本小题满分12分）设函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）证明：

对任意的，都有．

21．（本小题满分12分）在数列中，．

（Ⅰ）求证：

数列为等差数列；

（Ⅱ）设数列满足，证明：

对一切恒成立．

22．（本小题满分14分）已知数列的通项公式为

设证明：

当

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

D

C

D

D

C

B

B

C

B

B

C

一、填空题

13、14、15、16、

二、解答题

17．解：

⑴当时，。

则可转化为。

当时，原不等式转化为，解得；……………2分

当时，原不等式转化为，即，此时无解；…4分

当时，原不等式转化为，解得．…………6分

综上可知，不等式的解集为……………………7分

⑵对于，，……………………9分

要使得恒成立，只需满足即可，…………11分

解得或。

………………12分

18．解：

⑴由已知得，……………………2分

故

……………………4分

其最大值为，最小正周期为。

……………………6分

⑵若，则，得。

……8分

。

……12分

19．解：

设这种汽车使用年报废合算，则每年的维修费用平均为。

由题意可知，每年的平均消耗费用

…………4分

…………8分

当且仅当，即时，等号成立。

…………10分

故这种汽车使用10年报废合算。

…………………………12分

20．解：

⑴由已知得，……………………2分

令，得，即，

解得…………………………………………4分

令，得，即，

解得………………………………6分

故单增区间为，

单减区间为。

⑵令，则

，…………………………8分

故对于，都有因而在上递减，…………10分

对于，都有

因此对于，都有………………12分

21．⑴（与无关）…………4分

故数列为等差数列，且公差。

……………………5分

⑵由⑴可知，，故…………6分

……………………7分

方法一：

数学归纳法

⑴当时，，不等式成立，…………8分

⑵假设时不等式成立，

即，…9分

那么当时，

这说明，当时不等式也成立……………………………………11分

综上可知，对于，原不等式均成立。

………………………………12分

方法二：

均值不等式

………………9分

。

原不等式得证。

……12分

22．解：

由已知得，

故，…………………………2分

…3分

……4分

两式相减得，

…5分

化简得。

故…………7分

因而

问题转化为证明：

当时，，…………9分

采用数学归纳法。

⑴当时，，，，

此时不等式成立，…10分

⑵假设时不等式成立，即，………………11分

那么当时，

这说明，当时不等式也成立…………………………13分

综上可知，当时，成立，原命题得证。

………………14分