浙教版八年级下数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编3含详解.docx

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浙教版八年级下数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编3含详解

浙教版八年级（下）数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编（3）（含详解）

1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．

（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：

AE＝EF．

（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？

如果正确，写出证明过程：

如果不正确，请说明理由．

2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？

请说明理由．

3．定义：

有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：

四边形BCEF是准矩形；

（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC=

MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．

4．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．

（1）求证：

△BDE≌△BAC；

（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；

②求证：

四边形ADEG是平行四边形；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

请说明理由．

5．已知：

如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．

（1）若点G在点B的右边．试探索：

EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．

6．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：

EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论．

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

并说明理由．

7．已知：

在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上．

（1）如图1，四边形EFGH为正方形，AE＝2，求GC的长．

（2）如图2，四边形EFGH为菱形，设BF＝x，△GFC的面积为S，且S与x满足函数关系S＝6

x．在自变量x的取值范围内，是否存在x，使菱形EFGH的面积最大？

若存在，求x的值，若不存在，请说明理由．

8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连接GE、GF．

（1）求证：

△OAE≌△OBG．

（2）试问：

四边形BFGE是否为菱形？

若是，请证明；若不是，请说明理由．

9．已知，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．

（1）求证：

△BCE≌△DCF．

（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．

（3）若DF2＝8﹣4

，求正方形ABCD的面积？

10．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，

（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？

若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．

（3）在

（2）的条件下，过A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请求出线段CM与BN的数量关系．

参考答案与解析

1．

（1）证明：

取AB的中点H，连接EH；如图1所示

∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；

∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°

∴∠1＝∠2，

∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，

∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，

在△AHE和△ECF中，

，

∴△AHE≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF；

（2）解：

AE＝EF成立，

理由如下：

如图2，延长BA到M，使AM＝CE，

∵∠AEF＝90°，

∴∠FEG+∠AEB＝90°．

∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠FEG，

∴∠MAE＝∠CEF．

∵AB＝BC，

∴AB+AM＝BC+CE，

即BM＝BE．

∴∠M＝45°，

∴∠M＝∠FCE．

在△AME与△ECF中，

，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE＝EF．

2．

（1）证明：

能．

理由如下：

在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，

∴DF＝2t，

又∵AE＝2t，

∴AE＝DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，

又∵AE＝DF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，

即60﹣4t＝2t，解得t＝10．

∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．

（2）①当∠DEF＝90°时，由

（1）知四边形AEFD为平行四边形，

∴EF∥AD，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝30°，

∴AD=

AE＝t，

又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；

②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t=

．

③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．

综上所述，当t=

或12秒时，△DEF为直角三角形．

3．

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC∠A＝∠ABC＝90°，

∴∠EAF+∠EBC＝90°，

∵BE⊥CF，

∴∠EBC+∠BCF＝90°，

∴∠EBF＝∠BCF，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE＝CF，

∴四边形BCEF是准矩形；

（2）解：

连接AN、DN，过点C作CE∥BD，过点B作BE∥DC，

则四边形BECD为平行四边形，连接DE，则D、N、E三点共线，

过点B作BF⊥CE于F，过点D作DG⊥EC交EC延长线于点G，如图2所示：

∵四边形BECD为平行四边形，

∴BE＝DC，BE∥DC，ED＝2DN，

∴∠BEF＝∠DCG，

在△BEF和△DCG中，

，

∴△BEF≌△DCG（AAS），

∴BF＝DG，EF＝CG，

在Rt△BFC中，BC2＝BF2+FC2＝BF2+（EC﹣EF）2，

在Rt△DEG中，DE2＝DG2+EG2＝DG2+（EC+CG）2＝BF2+（EC+EF）2，

∴BC2+DE2＝2BF2+2EC2+2EF2＝2（BF2+EF2）+2EC2＝2BE2+2EC2＝2BD2+2CD2，

∴BC2+4DN2＝2BD2+2CD2，

∴DN2=

（2BD2+2CD2﹣BC2）

同理：

AN2=

（2AB2+2AC2﹣BC2），

MN2=

（2AN2+2DN2﹣AD2）=

（BD2+CD2

BC2+AB2+AC2

BC2﹣AD2）=

（AC2+CD2

BC2+AB2+AC2

BC2﹣AD2）

AC2+

（AB2+CD2﹣BC2﹣AD2），

∵AC

MN，

∴MN2

AC2，

∴MN2＝MN2+

（AB2+CD2﹣BC2﹣AD2），

即：

（AB2+CD2﹣BC2﹣AD2）＝0，

∴AB2+CD2＝BC2+AD2．

4．

（1）证明：

∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，

∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．

∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．

在△BDE和△BAC中，

，

∴△BDE≌△BAC（SAS），

（2）①解：

∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，

∴∠EDA＝α﹣45°，

∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，

②证明：

∵△BDE≌△BAC，

∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．

∵AD是正方形ABDI的对角线，

∴∠BDA＝∠BAD＝45°．

∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，

∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD

＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°

＝225°﹣∠BAC

∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°

∴DE∥AG，

∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（3）解：

结论：

当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．

理由：

由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．

∵四边形ABDI是正方形，

∴AD

AB．

又∵四边形ACHG是正方形，

∴AC＝AG，

∴AC

AB．

∴当∠BAC＝135°且AC

AB时，四边形ADEG是正方形．

5．解：

（1）EH﹣BG的值是定值，

∵EH⊥AB，

∴∠GHE＝90°，

∴∠GEH+∠EGH＝90°，

又∠AGD+∠EGH＝90°，

∴∠GEH＝∠AGD，

∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，

∴∠DAG＝90°，DG＝GE，

∴∠DAG＝∠GHE，

在△DAG和△GHE中，

，

∴△DAG≌△GHE（AAS）；

∴AG＝EH，

又AG＝AB+BG，AB＝4，

∴EH＝AB+BG，

∴EH﹣BG＝AB＝4；

（2）（I）当点G在点B的左侧时，如图1，

同

（1）可证得：

△DAG≌△GHE，

∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，

∴BH＝AG＝EH，又∠GHE＝90°，

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH＝45°；

（II）如图2，当点G在点B的右侧时，

由△DAG≌△GHE．

∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，

∴AG＝BH，又EH＝AG，

∴EH＝HB，

又∠GHE＝90°，

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH＝45°；

（III）当点G与点B重合时，

如图3，同理△DAG≌△GHE，

∴GH＝DA＝AB，EH＝AG＝AB，

∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，

∴∠EBH＝45°

综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°．

6．解：

（1）∵MN∥BC，

∴∠3＝∠2，

又∵CF平分∠GCO，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴FO＝CO，

同理：

EO＝CO，

∴EO＝FO．

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，

又∵EO＝FO，

∴四边形AECF是平行四边形，

由

（1）可知，FO＝CO，

∴AO＝CO＝EO＝FO，

∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，

∴四边形AECF是矩形．

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．

∵由

（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，

∵MN∥BC，

∴∠AOE＝∠ACB

∵∠ACB＝90°，

∴∠AOE＝90°，

∴AC⊥EF，

∴四边形AECF是正方形．

7．解：

（1）如图1，过点G作GM⊥BC，垂足为M．

由矩形ABCD可知：

∠A＝∠B＝90°，

由正方形EFGH可知：

∠HEF＝90°，EH＝EF，

∴∠1+∠2＝90°，

又∠1+∠3＝90°，

∴∠3＝∠2，

∴△AEH≌△BFE．

∴BF＝AE＝2，

同理可证：

△MGF≌△BFE，

∴GM＝BF＝2，FM＝BE＝8﹣2＝6，

∴CM＝BC﹣BF﹣FM＝12﹣2﹣6＝4，

在Rt△CMG中，由勾股定理得：

CG=

；

（2）如图2，过点G作GM⊥BC，垂足为M，连接HF，

由矩形ABCD得：

AD∥BC，

∴∠AHF＝∠HFM，

由菱形EFGH得：

EH∥FG，EH＝FG，

∴∠EHF＝∠HFM，

∴∠AHE＝∠GFM，

又∠A＝∠M＝90°，EH＝FG，

∴△MGF≌△AEH，

∴GM＝AE，

又BF＝x，

∴FC＝12﹣x，

∴S△GFC

FC•GM

（12﹣x）•GM＝6

x，

∴GM＝1，

∴AE＝GM＝1，BE＝8﹣1＝7，

∵H在边AD上，

∴菱形边长EH的最大值

，即EH＝EF

，

此时BF＝x

，

∴0≤x≤

，

∵EH＝EF，

由勾股定理得：

AH

，

∴S菱形EFGH＝BM•AB﹣2

7x﹣2

=8（x+FM）﹣7x﹣FM＝x+7

，

∴当x最大时，菱形EFGH的面积最大，

即当x＝

时，菱形EFGH的面积最大．

8．

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，∠AOE＝∠BOG＝90°．

∵BH⊥AF，

∴∠AHG＝∠AHB＝90°，

∴∠GAH+∠AGH＝90°＝∠OBG+∠AGH，

∴∠GAH＝∠OBG，

即∠OAE＝∠OBG．

在△OAE与△OBG中，

，

∴△OAE≌△OBG（ASA）；

（2）解：

四边形BFGE为菱形；理由如下：

在△AHG与△AHB中，

，

∴△AHG≌△AHB（ASA），

∴GH＝BH，

∴AF是线段BG的垂直平分线，

∴EG＝EB，FG＝FB．

∵∠BEF＝∠BAE+∠ABE＝67.5°，∠BFE＝90°﹣∠BAF＝67.5°，

∴∠BEF＝∠BFE，

∴EB＝FB，

∴EG＝EB＝FB＝FG，

∴四边形BFGE是菱形；

9．

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）OG∥BF且OG=

BF，

理由：

如图，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠CDB＝∠CBD＝45°，

∵BE平分∠DBC，

∴∠2＝∠3=

∠CBD＝22.5°，

由

（1）知，△BCE≌△DCF，

∴∠CDF＝∠3＝22.5°，

∴∠BDF＝∠CDB+∠CDF＝67.5°，

∴∠F＝180°﹣∠CBD﹣∠BDF＝67.5°＝∠BDF，

∴BD＝BF，

而BE是∠CBD的平分线，

∴DG＝GF，

∵O为正方形ABCD的中心，

∴DO＝OB，

∴OG是△DBF的中位线，

∴OG∥BF且OG=

BF；

（3）设BC＝x，则DC＝x，BD=

x，由

（2）知△BGD≌△BGF，

∴BF＝BD，

∴CF＝（

-1）x，

∵DF2＝DC2+CF2，

∴x2+[（

-1）x]2＝8﹣4

，解得x2＝2，

∴正方形ABCD的面积是2．

10．解：

（1）AG＝EC，AG⊥EC，理由为：

∵正方形BEFG，正方形ABCD，

∴GB＝BE，∠ABG＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，

在△ABG和△BEC中，

，

∴△ABG≌△BEC（SAS），

∴CE＝AG，∠BCE＝∠BAG，

延长CE交AG于点M，

∴∠BEC＝∠AEM，

∴∠ABC＝∠AME＝90°，

∴AG＝EC，AG⊥EC；

（2）∠EMB的度数不发生变化，∠EMB的度数为45°理由为：

过B作BP⊥EC，BH⊥AM，

在△ABG和△CEB中，

，

∴△ABG≌△CEB（SAS），

∴S△ABG＝S△EBC，AG＝EC，

∴

EC•BP=

AG•BH，

∴BP＝BH，

∴MB为∠EMG的平分线，

∵∠AMC＝∠ABC＝90°，

∴∠EMB=

∠EMG=

×90°＝45°；

（3）CM=

BN，理由为：

在NA上截取NQ＝NB，连接BQ，

∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=

BN，

∵∠AMN＝45°，∠N＝90°，

∴△AMN为等腰直角三角形，即AN＝MN，

∴MN﹣BN＝AN﹣NQ，即AQ＝BM，

∵∠MBC+∠ABN＝90°，∠BAN+∠ABN＝90°，

∴∠MBC＝∠BAN，

在△ABQ和△BCM中，

，

∴△ABQ≌△BCM（SAS），

∴CM＝BQ，

则CM=

BN．

故答案为：

CM=

BN