第22讲不定积分及其计算续.docx
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第22讲不定积分及其计算续
高等院校非数学类木科数学课程
大学数学（_）
一元微积分学
第二十二讲不定积分及其计算（续）
第五章一元函数的积分
本章学习要求；
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.
熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法•掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿一篥布尼兹公式.
理解广义积分的概念•掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿一莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：
平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等.
能利用定积分走义式计算一些极限.
二.不定积分的计算
利用不定积分的性质
换元法（第一.第二）
分部积分法
部分分式法
3.不定积分的分部积分法
分部积分法足计算不定积分时应用较广泛的一种方法-
该方法与函数的乘积求导公式相对应
设函数a（xLv（x）在区间/上可微•则冇
（m（a-）v（x））*=«*（x）v（x）十“（・T）y（x）•
如果函数.M*（x）v（x）I4{x）v'（x）的原函数存在■对上式两
边关于耳积分•便得到
Ju\x）v{x）dX=M（X）V（X）-J«（*”（*）dX•
该公式称为不定积分的分部积分公式
定理
设函数《（JV）9u（x）在区问/上可微・若函数u\x）v{x）
在区间/上的原函数存在,则
J«（x）v\x）dx=«（x）v（x）-JIi\x）v（.v）dx.
该公式称为不定积分的分部积分公式
函数的积分计算
一般说来.当被积函数为下列形式之一时.可考虑
运用分部积分法进行计算:
幕函数与三角函数（或反三角函数）之积,
指数函数与三角函数（或反三角函数）之积，彖函数与指数函数之积，指数函数与对数函数之积,一个函数难于用其它方法积分，两个函数的乘积•
M（X）=X、
“（X）=sinX
u*（.v）=1—
J…
JXsinXdX=
x（—cosX
（一cosX）dX
-xcos
X+JcosX（1X
—Xcos
X+sin
cosX
sinX
xdX
xcos
计算J
X
sin'
学解
Jarccosxdx—xarccos
fxdX
=Xarccos
计算JA'sin
J/sinXd
—X
cos
+2JXcos
X
X
cos
-2（XsinX
—X
cos
sinX
cosX
一IsinAd.V）
亠2xsinX+2cosx+C>
该例说明•与换元法一样•只要条件允许
分部积分法可以连续使
学解
JcosXdX=sin
cosX
sinX
X—（—e'cosX+J£cosXdx）
dX=—e*（sin
2
所求的不定积分
=[（宀宀/心
Jw+/
A+a—JJF+«dX4a
wjf+/-/fa2InIX+Jf+a2
（InX）*
记/”=J（InX）"dX,则
（In（}X=x（liiX）"
J（In
=x（InX）"-/IZ
于是•得刘一个递推关系式
IR=jv（Ina）—nI
利用递推关系式可以由低次誤函数的积分计算出高次幕函数的积分.
=x（lnX）—3/j,
12=A-{InX）—2/,,
/j=x（lnX）—2（xInX—（X+C））
/^=xlnA—（X4-C）
（InX）"dA-=JdX=jc+C,
73=A（InX）'-3-Y（ln兀）2+6x】nX—6x・C.
sin
计算Jsin"Xd・Y•
（w-l）sin
2XCOS
sinX
—cosX
Jsin
XsinXdX
-sin-vcosX*（n
sinzxcos
2Ad•¥
-sin
-sin
XcosX（n
XcosX*（«
-1）/
w—21
SinXdX
-（«-I）Jsin**XdX
-（«-1）
••fl
sin
w
n—
XcosX+
=Jdx=才+C•
如采需要，条件又允许，则不定积分的
换元法.分部积分法等可以混合起来使用。
X1
xedA
111（/—l）・（w°-1）—-
J1十八则X=ln（H-1）1dX=
=2J[ln（u1I）'tln（w-I）]tiu,
ln（u-h\）du=
-«tlH
ln（M+1）—I
JUf1
ln（ufI）—MInIM-b1I・Cy,
类似地，有
xeaX
ln（w—1）d«=wln（“一I）—M—InIH-11+C?
»
=2tiln（«■-!
）-4h+2In""十口十CIw-1I
=2（—2）J1+宀2In
y/Iie
计算J-
arclanx
dX・
（x"+I-I）arctanx
dX
=Xarclan
1I2
XIn（I+x"）arctanx+C-
22
4.不定积分的部分分式法
食所周知，有些函数虽然在某区间上连续，可以积分，但由于它的原函数不能表示为初等函数的形式（即初等函数的原函数不一定是初等函数），这时我们称该函数可积，但积不出.
例如：
JdX,J6*7dX,Jsindx等.
♦丫
下面介绍原函数可以表示为初等函数的三类
常用函数.的积分法部分分式法.
（sinJC,cosX）
师元法
12
R（x.\ax卜bx+c）
（1）有理函数的积分法
部分分式法
有理函软是由两个多项式的商枸成的函教:
••+〜iX+"
ff■1w
Of—Im
P{x}a,.x+a.x
R{x}=——
Q（x）如“用*y
当《Vw时・称y?
（x）为有理真分式;
当nNm时•称Rd）为有理假分式.
运用除法可将假分式化为一个多项式与一个
有理真分式的和的形式
我们只需讨论有理真分式的积分方法.
由高等代数知识，任何一个有理真分式均可化为
下列四类简单分式之和的形式:
Ax+B
X-a（X—a）
"~277
（Xpx+q}
高等代数有关定理简介
1•若QCy）=（X-0（x）・AgZS0（“）hO・则
Q（x）（X-a）（X-a）
2x^+2*+1322；!
、、o一L・
心）=宀2宀2宀4宀一2写成部分勿式魯
2x-+2x-13
2^2+2x4-13-
/-2/+2x'-4x2+"2-O-2心"+ir
Dx+E
/（1
ABx+C
x-2+（/+I）-+
通分■比较分子的系数
2工'+2x+13=（A+D）/+（£—2Q）F+（B十2A+Q—2£）兀2
+（C-2B-2D+E）x+（A-2C一2£）
得到代数方程组
E-2D=Q
H+24IZ?
-2E=2
C-2fi-2DE-^2
A—2C-2£=13
解方程组猫;
I,3=—3■C=-4,D
=-1,E=-2.故
2・J
+2x+13
3x44X+2
2宀4宀—2X-2
CJ41）2x"+I
计算
3x*.4=（X—2）*（x4-1）»
x+1（X-2）2十X-2
7
X=0•得C=-
故J占二-叮I
9x+I
51
十3（工一2）2十
9x-2
2
=—InIX*1I+
93{x-2）
?
lnI*一21+C-
9
（2）三角函数有理式的积分法
半角代换
X
令r三tan—,可将三角臥數有理式的
积分转化为相应的
有理函数的积分计算:
fr2/
I/C（sinX.cos-V）dX=IR（
—©
A・X
sinX=2sin—cos
2
XX2
—=2lan—cos
22
X
2lan—
9
X
2lan—
2
I2z
2X1十『2
cosX=cossin
2
2X2
—=（I—lun
2
2MI-lan
X
-）cos,
22,.2*i+f2
1Itan—
X
代换r=lan-常常被人们称为“万能代换”•它将
2
J/?
（sinX.cosa）dA转化为有理函数积分
有理函數的积分是彻底解决了的（点.差的情况也可用部分分犬法）,从而可以认为“万能代换”能够彻底解决
三角函数有理式的积分
计算•但它不一定是最好的方法•
请记住:
时:
X
f=tan—
2
sin
cos
dx=
2dt
FT?
1^计算J5.4sinX
sin
?
解
2dr
10d/
5+8f+5
5（5/2+8r十5）
u
-+■C
3
■dIt
2
—arctan
3
—arctan
3
5
tan
3
计算J2~血Sx.
2+cosX
.2-sinX
fdx=
」2+cosX
2dX
2+cosX
—sinXdX
2+cosX
2dx——=4
2tcosX
4
—arctan
—+C]
、‘3
一sinXd
2-cosX
tan
4
=—arcian
V3
d（2+8Sx）=]n（2+cmJ2+cosX
从而
2-sinX
dx=
arctun
2*cosjc
<3
（1叮
—；=tan—
U3
+In（
其它三角函数有理式的积分计算
若R{-sinX,-cos%）=/?
（sincosx）,
则可令F=tanX,此时・
sin2X=,cosX=—,d.v=
I+rI+c1+r
t=cosX•
若Z?
（—sinX,cosX）=—/C（sinx.cos.v）,则可令
为适宜的积分计算
S计算I缶
¥解i
fdX_fdr
J2-sin-J『2+2
=—^=arclan
Ji
—；=arctan
V2
计算f
J2+tanX
強解
令r=tanx,则dx=■»故
1（t
（2「）（1「2）
Xarctan
tanX
=Ja'十b'sin（x+
-r^Jcsc（x峠0）d
7Q+b*
=]InIcsc（X-I2>2
yja4-h
+sinX
dx.
计算f
J1+cosX
1+sinXf（1十sinx）（l-cosx）
dX=IdX
cosX
J（1+cosx）（1-cosX）
I-cosX+sinX—sinacosx
sin2X
也没有用变量代换
（CSC
2X—sin
cosX
cosX
—+CSCX）dX
XsinX
cotX
A
sinX
InICSCX—cotXI—InIsinxI-kC
I一cos
X—In
11-cosXI
4C•
sinX
sin2X
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