第二讲立体几何中的动态问题.docx
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第二讲立体几何中的动态问题
第二讲立体几何屮的动态问题
【知识点】
•、旋转体的截面形状
结论：
1、若平面a与圆柱相交,
且平面a不平行于底面，此时截面为椭圆;
2、若平面&与圆锥相交,
且不平行于底面和母线，与圆锥相交的平面只形成一个截
面，截面为椭圆;
3、若平面夕与圆锥相交，平面a平行于母线，此时截面的形状为抛物线;
4、若平面与圆锥相交，形成两个截面，则这两个截面的形状为双曲线.
二、构造核心空间几何体
①力C）S=\/3^
三、折叠延展模型
正四面体的若干性质：
设正四面体的棱长为。
，高为h,全面积为S,体积为匕相邻的两
个面的二面角为凡内接球的半径为〃外接球的半径为R,则有以下结论：
（"二V④cosg=",siiig=2$（§）（6）
结论：
AAOG沿AG翻折成4TG,过点。
作。
EL4G于点E,连接。
E并延长交A3于
【例题2][20的角为60o,P的轨迹为一
15年浙江高考（文）,7]如图，斜线段AB与平面所成
8为斜足，平面a上的动点尸满足/用8二30°，则点
■
ZPAB=30°是一个定值，符合圆锥模型.试将本题的结论作一个推广：
若斜线段AB与平面所成的角小于30°，则此时点尸的轨迹是什么？
若斜线段月乃与平而所成的角恰为30：
此时的轨迹是什么？
/
【例题3K2013年浙江省嘉兴二模】设，〃是平面&内的一条定直线，P为平而a外的一个定点，动直线〃经过点P且与，〃成30°角，则直线与平面a的交点0的轨迹为
A.圆8.椭圆C.双曲线的一支D抛物线
分析的方法与例题1
和例题2类似.
【例题4][2017年温州九校协作体高三期末联考，10】如图，正四
可借助前而的例题分
而体（所有的棱长都相等）D-ABC中，
动点P在平而BCD上，且满
析得出点P的轨迹，
足Z用0=30°,若点P在平而"BC上的射影为贝iJsinZPSE的
但是就计算而言，这
最大值为・
道题目还是有一些堆
人弩B.譬
C誓
度的.
AB
【例题5][2017年台州市高三调考,
17]如图，在棱长为2的正四
这一题的轨迹隐藏比
而体A_BCD中，E、F分别为直线CD上的动点,且1£鬥甘・
较深，我们将对此题
若记EF的中点P的轨迹为厶，则ID
A
进一步的拓展.
等于•（注：
ILI表示L的测度，
/X
在本题，厶为曲线、平而图形、空间
几何体时，IU分别对应长度、面积、
体积・）
C
题型二、翻折
核心技能：
一般而言，一方面，涉及到翻折一类的问题时，会形成一个固定的角度或者固定的平
面，此时比较容易出现圆锥模型；另一方面，翻折问题也有一些可以用拆剪的方法解决.
【例题6】［2015高考浙江，理8】如图，已知△A3C,。
是A8的中点，沿直线C。
将△ACO折成所
&A
成二面角A—CD-B的平面角为a,〉\A
则一.
A.NADBWaB・ZA'DBS,/
C.N/TCBWoD.ZACB>a/
此题可以用计算的方法来解决，只不过计算量比较大：
但是我们也可以用圆锥模型来解决.以CQ为轴，C4为母线的一个圆锥可以帮助我们解决此题•值得一提的是，此题中的。
是A5的中点完全是一个多余的条件.
【例题7n2012年浙江高考，10］已知矩形ABCo,AB=1,应'二"现将△月加沿矩形的对角线劭所在的直线进行翻折，在翻折的过程中.
A.存在某个位置，使得直线AC与直线3。
垂直：
B.存在某个位置，使得直线？
与直线d垂直：
C.存在某个位置，使得直线A。
与直线BC垂直：
ZZ对任意付置，三对直线側C与BD”、“AB与CD”、“AD与BC”都不垂直.
参照例题5,应用圆锥模型解决此题是极其容易的.
【例题8n浙江省2009年高考理科，17］如图，在长方形A5C0屮，折叠的过程中，总会
有一些不变量，有些现将
AB二2,BC二T,E为CO的中点，E为线段EC（端点除外）上的一动点,折起，使得平而平而A8C在平面A3。
内过点。
是显性的，有些则是
作0K_LA8,K为垂足.设AK二/,贝h的取值范围为.
隐性的.
此题的难点有二：
C
正确.注意翻折过程
屮的不变量.
【例题9】［2017年杭州市高三年级第二学期教学质量检测，10】在等腰直角2^8（；中，ABLAC.8c二2,M为8C的中点，N为AC的为什么错？
。
为什么
中点，。
为BC边上的一个动点，△月劭沿月〃翻折使得BD土DC,点A在平而应7?
的投影为Q当点〃在财上运动时，以下说法错误的是.
人线段N。
为定长B.ICOIGtl,
C.ZAM0+ZADB>\S0°。
.点。
的轨迹为圆
分析的方法与上面的
例题基本是类似的，只不过此题中加入了一些计算的元素.
首先可以确宦的一点
若点E、F分别是线段CP】上的动
点，点G为底而ABCD上的动点，则
EF十EG的最小值为
C.1
是当EF+EG取得最小值时,必定有EG丄底而ABCD,即点G在线段BD上，然后考虑连接DxF和BF,用展开模型解决这一道题.
【例题101（2016年浙江高考（理》15】如削在ZkABC中，AB二BC=2
ZABC=120°•若平而ABC外的点P和线段AC上的点D,满足
PD=DA,PB=HA,则四而体PBCD的体枳的最大值是.
【例题11］如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-AiBQDi中,
先求出点尸的轨迹，
然后再应用空间向量
计算.
题型三、应用空间向量解决运动问题核心技能：
掌握空间向量的求角度、线段长度的方法.
【例题12】［2015年，绍兴市高三教学质量调研】如图，在棱长为3的正方体A8CD-A由］GG中，点尸是平面A8C内一动点，且满足
IP0I+IP8］1=2+03,则直线府与直线月必所成角的余弦值的取值范围是.
A.（0,刍B.[o,1]电阴。
.惇fl
【例题13】［2015高考四川，理14】如图,四边形A5CD和AQP。
此题相对来说建系比均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动较方便.
【例题14】【2015年浙江高考（理科），15］已知0,02为空间单位向量，e］•若空间向量力满足力•ei二2,5・a二，且对于任意X、
y£R,心一（出+加2）12必一（xM+v（£2）1=1（xo,yo《R）,贝卜％二，业一1J1—
掌握空间向量的基本
运算即可解答此题.
题型五、其他类型的运动问题
核心技能：
其他的还有包括体积、线段以及射影面积的最值问题，核心的方法不外乎上面所介绍的各种方法.
【例题15】【2017年杭州高级屮学高三最后一模，10］如图，在棱
长为1的正四面体。
一A8C屮，。
为厶
的屮心，过点0作直线分别与线段
AC、兀相交于M、M可以是线段的端//c
点）,连接0M,点P为。
M的屮点，贝ljA?
/
以下说法正确的是A«六…。
1冷卜
&存在某一个位置，使得NPL平面ZMC，‘J/
B.SWMN的最大值为当
C.tan2ZDM/V+tan2ZDW的最小值为12
DA上的取值范围是存11
VD-MNHAL3
这是一道综合题，对于存在型问题的关键在于找到一个临界点，其他的答案均需要进行—定的计算.
【例题16][2017年浙江省绍兴市高三教学质量调测，10]如图，在正方体ABCO-A山CiU中，棱A3的中点为P,若光线从点P出发，依次经过三个侧面BCG8、DCC.DrAOUAl反射后，落到侧而A8SA]（不包括边界），则入射光线図与侧而仇％所成角的正切值的取值范围是
【过关练习
（二）】
1.【浙江省浙大附中2016届高三全真模拟（理）,&☆☆☆】如图，在氐△ABC中，AC=\f
BC=xfo是斜边A8的中点，将厶8CQ沿直线C。
翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得C3_LAo,则x的取值范围是.
人（0,何艮俘,2C（p2®D.Q,4]
（第2题图）
2.[2015年，嘉兴市高三第一学期期末测试10,☆☆☆】正四面体的棱长为2,棱A0与平而。
所成的角去寸且顶点A在平面。
内，B,C,。
均在平而。
夕卜，则棱8C的中点£到平面。
的距离
的取值范围为.
3.1浙江省宁波市余姚中学2016届高三十月月考（理），&☆☆☆】如图，正方体ABCo一
4&GQ棱长为短，以顶点A为冰心“2为半径作一个球，则图屮球而与正方体的表面相交所得到的两端弧长Z和等于.
5兀门2兀
A.—B-
（第4题图）
（第5题图）
4.12015江西期末，食翁】如图，在直三棱柱相。
一48©中，底面为直角三角形,/从。
8=90o,
AC二6,BC=CC1=V2,尸为上的一个动点，则CP+Rh的最小值为.
5.【浙江省新高考研究同盟2016届高三12月第一次联考，7,☆☆】如图，四边形ABCQ,
AB=BD=DA=2f2＞仞=〃现将AAB。
沿8。
折起，使二面角A-3。
一C的大小在有
票]内，则直线A5与。
所成角的余弦值的取值范围是
A.[0,徐川野,1]
3偉岁]C[0,乎]D,[0,当
则sina的取值范围是.
A・[f,1]
8怦,1]
C.曾，当
[挛[
D
7.
AD二4,点E在线段A。
上且AE二3,现分别沿鹿、CE将ZWCE翻折，使得点。
6.[2014年四川高考，☆☆】如图，在正方体ABC0-A&G”中，点0为线段8。
的中点，设点P在CG上，直线0P与平面48。
所成的角为。
落在线段AE上，则此时二面角0—EC-3的余弦值为.
r6
c,7
D,
（第7题图）
8.[2015年宁波一模（理）,15,☆☆☆】在AABC中，NB4c二10。
，NAC8二30。
，将直线8c绕AC旋转得到bC,直线AC绕A3旋转得到AG,则在所有旋转过程屮，直线8C与直线AG所成角的取值范围是.
9.[2015年，嘉兴市高三教学质量测试
（二），15,☆☆☆】正方体ABCQ-ABGA的棱长为1,底而ABC。
的对角线3。
在平而a内，则正方体在平而a内的射影构成的图形面枳的取值范围为.
10.[2015年，温州市高三第二次适应性测试,☆☆☆】如图所示的一块长方体木料屮，己知AB二BC二4,
11.[2015年浙江省第一次五校联考（理），15,☆☆☆】如图，直线/_L平而夕，垂足为0,正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2,。
在平面a内，8是直线/上的动点，当。
到A0的距离为最大时，正四面体在平面a上的射影而积为.
12.[2015年，金华一中高考全真模拟测试，&☆☆】在棱长为6的正方体A8CQ-4&G5中，M是BC的中点，点尸是面0CGR所在的平面内的动点，且满足NAP0二NA/PC,则三棱锥P—BCD的体积的最大值为.
A.36B.1273C.24D.18y/3
13.[2013年淄博模拟，☆☆☆】已知四而体P-ABC中，点P在底而ABC的射影为0,且满足醇+OB+OC二0,点A在平面P8C上的射影为从〃恰为APBC的垂心，若出二6,则三棱锥P-ABC的体积的最大值为.
14.【浙江省金华十校2016届高三第一次联考（理），&☆☆☆】已知四面体A3CD屮，AD~
LBC,AD二6,BC二2,第二八二2,则VSi-sco的最大值为
A.6B.2/iC.2V15D.8
15.[2014年黄山模拟，☆☆☆】如图所示，已知正方体A8CD-4&G5的棱长为1,E、产分别是AA1,CG的中点，过点E、E的平面分别与8&、DDi交于点、M、兀设xe[0,1],则下列说法正确的有（填写正确说法的序号）：
1当且仅当户0是，四边形MFNE的周长最大：
2当且仅当4：
时，四边形MFNE的面积最小：
③多而体初G?
汨疔的体积为发
④四棱锥G-MFNE的体积仁心）是常函数；
⑤直线MN与CCi的夹角的正弦值的取值范I期为[晋，1|
（第15题图）
AB
（第16题图）
16.[2010年安徽模拟，☆☆☆】如图，正方体ABCD-A山Cid的棱长为小线段上有一个动点
P,线段4G上有两个动点上、F,且EF串,现有如下四个结论：
1当E、F在棱4G上运动时，三棱锥的体积为定值：
2当点尸在必C上运动时，直线4P与平而4C。
所成的角的大小不变；
3当点F在B\Ck运动时，直线血Zy与AiP所成的角的大小不变：
4点M是底而ABC。
上的一点，且到直线与到直线CG的距离相等，则点M的轨迹是抛物线其屮正确结论的序号是.
17.[2015年，宁波市镇海屮学5月份高三模拟测试，14,☆☆☆】在棱长为1的正方体ABC0-4&G5中，M,N分别是AG,A山]的中点，点尸在该正方体的表而上运动，贝9总能使必与刖垂直的点P所构成的轨迹的周长等于.
18.[2015年，嘉兴市高三教学质量测试
（一）,15,☆☆☆】正四面体QA5C,其棱长为1,若决二xEIl+.V无+zdt（OWx,.v,zWl），且满足x+y+在1,则动点尸的轨迹所形成的空间区域的体积为.
19.[2016年1月浙江省新高考研究卷理科，6,☆☆☆】已知点A,5分别为异而直线“，〃上的点，且直线AB与小〃均垂直，动点PC”,QGbfa+Q8为定值，则线段PQ的中点財的轨迹为.
A.平行四边形8.圆C.椭圆D双曲线
20.[2014年金华高二“十校联考”（文），10,☆☆】圆柱的轴截面ABC。
为边长为2的正
方形，，必为正方形A8C0的对角线的交点，动点P在圆柱的下底而内（包括圆周），若直线
8W与MP所成的角为45o,则点尸的轨迹为.
21.[2006年浙江高考（理）,14,☆☆☆】正四而体A8C0的棱长为1,棱A8〃平而a,则正
四而体上所有的点在平面a内的射影构成的图形的面积的取值范围为.
22.[2014年浙江省学考，25,☆☆】在棱为1的正方体A8CQ.A由CQi中，E、F分别是
P、M分别为。
1、EF的动点,则PM+PN
棱45、GA的中点，N为线段8c的中点，若的最
23.【2010年浙江高考（理），19,☆☆】如图，在矩形A8CQ中，点七、厂分别在线段A8,
2
AO上，处=刃*尸二沏=幺沿直线EE将AAM翻折成Z\AZF,是平面A£F_L平面BER点M、N分别在线段H）,滋上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使得。
与H重合，则线段FM的长度为
24.[2016年高考模拟卷，☆☆☆】如图所示，已知矩形ABC。
屮，A8二3,AQ二4,现将△
ABC沿着5。
翻折至48。
的位置，二面角4一8。
一。
的平面角为匿且旌（0,；,如果
A山与C0所成的异而直线角为£，则
A.
B.aC.a=B
D.
（第24题图）
25.【浙江省诸暨市2016届高三五月检测（理），15,☆☆☆☆】如图，已知直四棱柱ABCD-A'CiD,是底而为1的正方形，AA1=yj2f点A是平而a上的一个定点，月4与平而a所成的角度为东点。
在平面a内的射影为P,当四棱柱A8CZXA山Cid按要求运动时（允许四棱柱上的点在平面的同侧或者异侧），点户所经过的区域的面积为.
（第25题（第26题
26.[2017年嘉兴一模，17,☆☆】如图，己知三棱锥A-3CD的所有棱长都相等，点E满足0E=3EG点F在棱/IC上运动，设疗与平面*G?
所成的角为仇则sin。
的最大值
（第27题（第28题
2Z[2017年金华十校模拟考试，10,☆☆☆】在正方体A8C。
-A山]GQ中，点M、N分
别是线段。
、A3上的动点，点P是AAGO内的动点（不包括边界），即直线。
，与所成的角为仇若8的最小值为率则点尸的轨迹为.
人圆的一部分8椭圆的一部分C.抛物线的一部分。
•双曲线的一部分
28.[2017年金丽衢十二校高三第二次联考，16,☆☆】已知&ABC中，NC二90°,tanAfR,
\1为儿？
的屮点.现将A4CM沿G/折成三棱锥P-CBM.当二面角户-GQE的大小为
29.[2017年诸暨市高中毕业班教学质量检测，10,☆☆☆】已知三棱锥A-8CZ）的所有棱长都相等，若直线AB与平面a所成的角等于申则平面AC。
与平面a所成角的正弦值的取值范围为.
4[糅，明艮[》]],惨普察瑁
30.[2017年萧山中学高三5月模拟，10,☆☆☆】如图，四边形A5CD是矩形，沿直线8。
将
AA3o翻折成Z\A50,异面直线CD与A'8所成的角为a,则.
A.乳/A'C。
B,a>ZAfCDC.a31.[2017年金华十校期末调研，10,☆☆☆】如图，在三棱柱A8C-A山Ci中，已知E、F是线段A所与C4上的动点，异面直线AB与C4所成角为6,记线段EF屮点M的轨迹为厶则IZJ等于（注：
ILI表示L的测度，在本题中，L为曲线、平面图形、空间几何体时，ILI分别对应长度、面积、体积）.
A.Ml
B.JABi+C/\-Aq•CA
C.%即・IC4I•sineD.%•匕8cAsc（匕&—向q是三棱柱ABC-A/Q的体积）
32.[2017年浙江省宁波市高考模拟考试，10,☆☆】如图，在二面角4一8。
一C中,
△AB。
、AC5o均是以8。
为斜边的等腰直角三角形，取AD的屮点E,将aABE沿8E翻
折到A48E,在A48E翻折的过程屮，下列不可能成立的是
人BC与平而A山七内某直线平行
C.与平而A山E内某直线平行
D.BCA.A1B
（第32题图）
B
Bx
33.[2017年浙江省绍兴市柯桥区高三第二学期教学质量检测，10,☆☆☆】已知异而直线丿（、，
2,点A是直线八上的一个定点，过小，2分别引相互垂直的两个平面8、仇设一（V,尸为点A在/上的射影，当。
、£变化时，点尸的轨迹是.
4圆8.两条相交直线C.球面D抛物线
34.[2017年河北，&☆☆☆☆】正方体ABC。
一A]8]C]0i中，设顶点A关于平面。
山。
和直线自。
的对称点分别为P、Q则直线尸。
与平面48。
所成角的正弦值为.
35.[2017年湖北，6,☆☆】如图，直三棱柱ABC—A山]G中，ZACB二90°,BC=CC\=2fAC=4尸是上一点，则CP+Rh的最小值为.
36.[2017年辽宁，&☆☆☆】如图，P为立方体A8C0-A山的棱AB上的动点，则平面P。
丛与平面ADD.A,所成二面角的最小值为.
（第36题
图）
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