第二讲立体几何中的动态问题.docx

1、第二讲立体几何中的动态问题第二讲 立体几何屮的动态问题【知识点】、旋转体的截面形状结论：1、若平面a与圆柱相交,且平面a不平行于底面，此时截面为椭圆;2、若平面&与圆锥相交,且不平行于底面和母线，与圆锥相交的平面只形成一个截面，截面为椭圆;3、 若平面夕与圆锥相交，平面a平行于母线，此时截面的形状为抛物线;4、 若平面与圆锥相交，形成两个截面，则这两个截面的形状为双曲线.二、构造核心空间几何体力 C)S=/3三、折叠延展模型正四面体的若干性质：设正四面体的棱长为。，高为h,全面积为S,体积为匕相邻的两个面的二面角为凡内接球的半径为外接球的半径为R,则有以下结论：(二V cosg=, siiig

2、=2$ ()(6)结论：AAOG沿AG翻折成4TG,过点。作。EL4G于点E,连接。E并延长交A3于【例题2 20 的角为60o , P的轨迹为一15年浙江高考（文）,7如图，斜线段AB与平面所成8为斜足，平面a上的动点尸满足/用8二30 ，则点Z PAB=30 是一个 定值，符合圆锥模型. 试将本题的结论作一 个推广：若斜线段AB 与平面所成的角小于 30 ，则此时点尸的 轨迹是什么？若斜线 段月乃与平而所成的角 恰为30：此时的轨迹 是什么？/【例题3K2013年浙江省嘉兴二模】设，是平面&内的一条定直线， P为平而a外的一个定点，动直线经过点P且与，成30角，则 直 线与平面a的交点0的

3、轨迹为A.圆 8.椭圆 C.双曲线的一支 D抛物线分析的方法与例题1和例题2类似.【例题4 2017年温州九校协作体高三期末联考，10】如图，正四可借助前而的例题分而体（所有的棱长都相等）D-ABC中，动点P在平而BCD上，且满析得出点P的轨迹，足Z用0=30 ,若点P在平而BC上的射影为贝iJsinZPSE的但是就计算而言，这最大值为 道题目还是有一些堆人弩 B.譬C 誓度的.A B【例题5 2017年台州市高三调考,17如图，在棱长为2的正四这一题的轨迹隐藏比而体A_BCD中，E、F分别为直线CD上的动点,且1鬥甘较深，我们将对此题若记EF的中点P的轨迹为厶，则IDA进一步的拓展.等于 （

4、注：ILI表示L的测度，/X在本题，厶为曲线、平而图形、空间几何体时，IU分别对应长度、面积、体积）C题型二、翻折核心技能：一般而言，一方面，涉及到翻折一类的问题时，会形成一个固定的角度或者固定的平面，此时比较容易出现圆锥模型；另一方面，翻折问题也有一些可以用拆剪的方法 解决.【例题6】2015高考浙江，理8】如图，已知 A3C,。是A8的中 点，沿直线C。将ACO折成所& A成二面角ACD-B的平面角为a, A则一.A. NADBWa B ZADBS , /C. N/TCBWo D. ZACBa /此题可以用计算的方 法来解决，只不过计算 量比较大：但是我们也 可以用圆锥模型来解 决.以CQ

5、为轴，C4为 母线的一个圆锥可以 帮助我们解决此题值 得一提的是，此题中 的。是A5的中点完全 是一个多余的条件.【例题7n2012年浙江高考，10已知矩形ABCo , AB=1,应二现将 月加沿矩形的对角线劭所在的直线进行翻折，在翻折的过程中.A.存在某个位置，使得直线AC与直线3。垂直：B.存在某个位置，使得直线？与直线d垂直：C.存在某个位置，使得直线A。与直线BC垂直：ZZ对任意付置，三对直线側C与BD”、“AB与CD”、“AD与BC”都不垂 直.参照例题5,应用圆锥 模型解决此题是极其 容易的.【例题8n浙江省2009年高考理科，17如图，在长方形A5C0屮，折叠的过程中，总会有一些

6、不变量，有些现将AB二2, BC二T, E为CO的中点，E为线段EC （端点除外）上的一动点, 折起，使得平而平而A8C在平面A3。内过点。是显性的，有些则是作0K_LA8, K为垂足.设AK二/,贝h的取值范围为.隐性的.此题的难点有二：C正确.注意翻折过程屮的不变量.【例题9】2017年杭州市高三年级第二学期教学质量检测，10】在 等腰直角28（；中，ABLAC. 8c二2, M为8C的中点，N为AC的 为什么 错？。为什么中点，。为BC边上的一个动点， 月劭沿月翻折使得BD土DC,点A在平而 应7?的投影为Q当点在财上运动 时，以下说法错误的是.人线段N。为定长B. ICOIGtl,C.

7、 ZAM0+ZADBS0。.点。的轨迹为圆分析的方法与上面的例题基本是类似的， 只不过此题中加入了 一些计算的元素.首先可以确宦的一点若点E、F分别是线段CP】上的动点，点G为底而ABCD上的动点，则EF十EG的最小值为C. 1是当EF+EG取得最 小值时,必定有EG 丄底而ABCD,即点 G在线段BD上，然 后考虑连接DxF和 BF,用展开模型解决 这一道题.【例题101(2016年浙江高考(理15】如削 在ZkABC中，AB二BC=2ZABC=120 若平而ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA, PB=HA,则四而体PBCD的体枳的最大值是 .【例题11如图所示，在棱长为1的正

8、方体ABCD-AiBQDi中,先求出点尸的轨迹，然后再应用空间向量计算.题型三、应用空间向量解决运动问题 核心技能：掌握空间向量的求角度、线段长度的方法.【例题12】2015年，绍兴市高三教学质量调研】如图，在棱长为3的 正方体A8CD-A由GG中，点尸是平面A8C内一动点，且满足IP0I+IP8 1=2+03,则直线府与直线月必所成角的余弦值的取值范围是.A. (0,刍 B. o, 1电阴。.惇 fl【例题13】2015高考四川，理14】如图,四边形A5CD和AQP。此题相对来说建系比 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动 较方便.【例题14】【2015年浙江高考（理科），15已知0,02

9、为空间单位向 量，e 若空间向量力满足力 ei二2, 5a二，且对于任意X、yR,心一（出 +加 2） 12 必一（xM+v （2） 1=1 （xo, yoR）,贝卜二， 业一 1 J 1 掌握空间向量的基本运算即可解答此题.题型五、其他类型的运动问题核心技能：其他的还有包括体积、线段以及射影面积的最值问题，核心的方法不外乎上面所介 绍的各种方法.【例题15】【2017年杭州高级屮学高三最后一模，10如图，在棱长为1的正四面体。一 A8C屮，。为厶的屮心，过点0作直线分别与线段AC、兀相交于M、M可以是线段的端 / c点）,连接0M,点P为。M的屮点，贝lj A ? /以下说法正确的是 A 六

10、。1冷卜&存在某一个位置，使得NPL平面ZMC ， J/B.SWMN的最大值为当C.tan2ZDM/V+tan2ZDW 的最小值为 12D A上的取值范围是存11VD-MNHA L3这是一道综合题，对于 存在型问题的关键在 于找到一个临界点，其 他的答案均需要进行 定的计算.【例题16 2017年浙江省绍兴市高三教学质量调测，10如图， 在正方体ABCO-A山CiU中，棱A3的中点为P,若光线从点P出 发，依次经过三个侧面BCG8、DCC. Dr AOUAl反射后，落到侧 而A8SA（不包括边界），则入射光线図与侧而仇所成角的正 切值的取值范围是【过关练习（二）】1 .【浙江省浙大附中2016

11、届高三全真模拟（理）,& 】如图，在氐 ABC中，AC=fBC=xf o是斜边A8的中点，将厶8CQ沿直线C。翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 C3_LAo ,则x的取值范围是.人(0,何 艮俘,2 C (p 2 D.Q, 4（第2题图）2 . 2015年，嘉兴市高三第一学期期末测试10, 】正四面体的棱长为2,棱A0与 平而。 所成的角去寸且顶点A在平面。内，B, C,。均在平而。夕卜，则棱8C的中点到平面。的距离的取值范围为.3.1浙江省宁波市余姚中学2016届高三十月月考（理），& 】如图，正方体ABCo 一4&GQ棱长为短，以顶点A为冰心“ 2为半径作一个球，则图屮球而与正方体的

12、表面相 交所得到 的两端弧长Z和等于.5兀 门2兀A. B -（第4题图）（第5题图）4.12015江西期末，食翁】如图，在直三棱柱相。一 48中，底面为直角三角形,/从。8=90o ,AC二6, BC=CC1=V2,尸为上的一个动点，则CP+Rh的最小值为.5.【浙江省新高考研究同盟2016届高三12月第一次联考，7, 】如图，四边形ABCQ,AB=BD=DA=2f 2仞=现将AAB。沿8。折起，使二面角A -3。一 C的大小在有票内，则直线A5与。所成角的余弦值的取值范围是A. 0,徐川野,13偉岁C 0,乎D, 0,当,则sina的取值范围是.Af, 18 怦,1C.曾，当挛D7.AD二

13、4,点E在线段A。上且AE二3,现分别沿鹿、CE将ZWCE翻折，使得点。6.2014年四川高考，】如图，在正方体ABC0-A&G”中，点0为线段8。的中点，设点P 在CG上，直线0P与平面48。所成的角为。落在线段AE上，则此时二面角0 EC-3的余弦值为.r6c,7D,（第7题图）8.2015 年宁波一模（理）,15, 】在AABC 中，NB4c二 10。，NAC8二30。，将直线 8c 绕 AC旋转得到bC,直线AC绕A3旋转得到AG,则在所有旋转过程屮，直线8C与直线AG所成角的取 值范围是.9.2015年，嘉兴市高三教学质量测试（二），15, 】正方体ABCQ-ABGA的棱 长为1,底

14、 而ABC。的对角线3。在平而a内，则正方体在平而a内的射影构成的图形面枳的取值范围为.10.2015年，温州市高三第二次适应性测试,】如图所示的一块长方体木料屮，己知AB二BC二4,11. 2015年浙江省第一次五校联考（理），15, 】如图，直线/_L平而夕，垂足为0,正 四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2,。在平面a内，8是直线/上的动点，当。到A0 的距离为最大时，正四面体在平面a上的射影而积为.12. 2015年，金华一中高考全真模拟测试，& 】在棱长为6的正方体A8CQ-4&G5中，M 是BC的中点，点尸是面0CGR所在的平面内的动点，且满足NAP0二NA/PC,则 三棱锥

15、PBCD的体 积的最大值为.A. 36 B. 1273 C. 24 D. 18y/313. 2013年淄博模拟，】已知四而体P-ABC中，点P在底而ABC的射影为0,且满足醇 +OB+OC二0,点A在平面P8C上的射影为从恰为APBC的垂心，若出二6,则三棱锥P-ABC的体积 的最大值为.14.【浙江省金华十校2016届高三第一次联考（理），& 】已知四面体A3CD屮，AD LBC, AD二6, BC二2,第二八二2,则 VSi-sco 的最大值为A. 6 B. 2/i C. 2V15 D. 815. 2014年黄山模拟，】如图所示，已知正方体A8CD- 4&G5的棱长为1, E、产分别 是A

16、A1, CG的中点，过点E、E的平面分别与8&、DDi交于点、M、兀设x e0, 1,则下列说法正 确的有（填写正确说法的序号）：1当且仅当户0是，四边形MFNE的周长最大：2当且仅当4：时，四边形MFNE的面积最小：多而体初G? 汨疔的体积为发四棱锥G-MFNE的体积仁心）是常函数；直线MN与CCi的夹角的正弦值的取值范I期为晋，1|（第15题图）A B（第16题图）16. 2010年安徽模拟，】如图，正方体ABCD-A山Cid的棱长为小线段上有一个动点P,线段4G上有两个动点上、F,且EF串,现有如下四个结论：1当E、F在棱4G上运动时，三棱锥的体积为定值：2当点尸在必C上运动时，直线4P

17、与平而4C。所成的角的大小不变；3当点F在BCk运动时，直线血Zy与AiP所成的角的大小不变：4点M是底而ABC。上的一点，且到直线与到直线CG的距离相等，则点M的轨迹是 抛物线 其屮正确结论的序号是.17. 2015年，宁波市镇海屮学5月份高三模拟测试，14, 】在棱长为1的正方体ABC0- 4&G5中，M, N分别是AG, A山的中点，点尸在该正方体的表而上运动，贝9总能使必与刖垂 直的点P所构成的轨迹的周长等于.18. 2015年，嘉兴市高三教学质量测试（一）,15, 】正四面体QA5C,其棱长为1,若 决二xEIl+.V无+zdt （OWx, .v, zWl），且满足x+y+在1,则动

18、点尸的轨迹所形成的空间区域的体 积为.19. 2016年1月浙江省新高考研究卷理科，6, 】已知点A, 5分别为异而直线“， 上的点，且直线AB与小均垂直，动点PC” , QGbf a+Q8为定值，则线段PQ的中点財的轨迹为.A.平行四边形 8.圆 C.椭圆 D双曲线20. 2014年金华高二“十校联考”（文），10, 】圆柱的轴截面ABC。为边长为2的正方形，必为正方形A8C0的对角线的交点，动点P在圆柱的下底而内（包括圆周），若直线8W与MP所成的角为45o ,则点尸的轨迹为.21. 2006年浙江高考（理）,14, 】正四而体A8C0的棱长为1,棱A8平而a,则 正四而体上所有的点在平面

19、a内的射影构成的图形的面积的取值范围为.22. 2014年浙江省学考，25, 】在棱为1的正方体A8CQ. A由CQi中，E、F分别是P、M分别为。1、EF的动点,则PM+PN棱45、GA的中点，N为线段8c的中点，若的最23.【2010年浙江高考（理），19, 】如图，在矩形A8CQ中，点七、厂分别在线段A8,2AO上，处=刃*尸二沏=幺沿直线EE将AAM翻折成ZAZF,是平面AF_L平面BER点M、N分别在 线段H）,滋上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使得。与H重合，则线段FM的长度为24.2016年高考模拟卷，】如图所示，已知矩形ABC。屮，A8二3, AQ二4,现将ABC沿着

20、5。翻折至48。的位置，二面角4 一 8。一。的平面角为匿且旌（0,；,如果A山与C0所成的异而直线角为，则A.B. aZAfCD C. aNA，CA31.2017年金华十校期末调研，10, 】如图，在三棱柱A8C-A山Ci中，已知E、F是 线段A所与C4上的动点，异面直线AB与C4所成角为6,记线段EF屮点M的轨迹为厶则IZJ 等于（注：ILI表示L的测度，在本题中，L为曲线、平面图形、空间几何体时，ILI分别对应 长度、面积、体积）.A. MlB. JABi +C/ - Aq CAC. %即IC4I sine D. %匕8cAsc （匕&向q是三棱柱ABC-A/Q的体积）32. 2017年

21、浙江省宁波市高考模拟考试，10, 】如图，在二面角4 一 8。一 C中,AB。、AC5o均是以8。为斜边的等腰直角三角形，取AD的屮点E,将aABE沿8E翻折到A48E,在A48E翻折的过程屮，下列不可能成立的是人BC与平而A山七内某直线平行C. 与平而A山E内某直线平行D. BCA. A1B（第32题图）BBx33.2017年浙江省绍兴市柯桥区高三第二学期教学质量检测，10, 】已知异而直线丿（、，2,点A是直线八上的一个定点，过小，2分别引相互垂直的两个平面8、仇设一（V,尸为点A在 /上的射影，当。、变化时，点尸的轨迹是.4圆 8.两条相交直线 C.球面 D抛物线34. 2017年河北，& 】正方体ABC。一 A8C0i中，设顶点A关于平面。山。和 直线自。的对称点分别为P、Q则直线尸。与平面48。所成角的正弦值为.35. 2017 年湖北，6, 】如图，直三棱柱 ABCA 山G 中，ZACB二90 , BC=CC=2f AC=4 尸是上一点，则CP+Rh的最小值为.36. 2017年辽宁，& 】如图，P为立方体A8C0-A山的棱AB上的动点，则 平面P。丛 与平面ADD. A,所成二面角的最小值为.（第36题图）