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资产组合计算
第5章资产组合计算
资产组合是实务性比较强的内容，通过本章的学习，要求读者掌握协方差与相关系数之间的相互推导，熟悉资产组合基本理论，学会用MATLAB计算投资组合基本参数，如均值与方差、资产组合VaR，重点掌握资产组合有效前沿的计算，能够处理无风险利率以及借贷关系情况下的最优投资组合，会用MATLAB规划工具箱求解投资组合最优化问题。
资产组合基本原理
证券投资组合理论（PortfolioTheory）主要研究如何配置各种不同的金融资产，实现资产组合的最佳投资配置。
1952年美国学者马克维茨创立了资产组合理论，该理论在实践中得到广泛运用。
收益率序列与价格序列间的转换
1．将收益率序列转换为价格序列
在处理金融时间序列时，有时需要把收益率序列转换为价格序列。
在MATLAB中将收益率序列转换为价格序列的函数是ret2tick。
调用方式
[TickSeries,TickTimes]=ret2tick（RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime,Method）
输入参数
RetSeries%收益率序列
StartPrice%（0ptional）起始价格，默认值是1
RetIntervals%（0ptional）收益率序列的时间间隔，默认值是l
StartTime%（optional）价格开始计算的时间，默认值是0
Method%（Optionl）转换方法。
Method='Simple'表示简单,
;Method＝'Continous'表示连续法，
。
输出参数
TickSeries%价格序列
TickTimes%与价格对应的时间序列
例5-1己知资产收益率以及时间间隔如表所示
表资产收益率及时间
收益率
时间间隔（天）
182
91
92
起始价格为10元，起始时间为2000年12月18日，试求该资产价格时间序列，收益率采用离散方法。
在MATLAB中执行以下命令：
RetSeries=[,,]';
RetIntervals=[182,91,92]';
StartPrice=10;
StartTime=datenum（'18-Dec-2000'）;
[TickSeries,TickTime]=ret2tick（RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime）
datestr（TickTimes）
ans=
18-Dec-2000
18-Jun-2001
17-Sep-2001
18-Dec-2001
这样就把收益率时间序列转换为价格时间序列，结果如表所示。
表资产各时间的价格
时间
18-Dec-2000
18-Jun-2001
17-Sep-2001
18-Dec-2001
价格
收益率
-
时间间隔
-
182
91
92
2．将价格序列转换为收益率序列
MATLAB中将价格序列转换为收益率序列的函数是tick2ret。
调用方式
[RetSeries,RetIntervals]=tick2ret（TickSeries,TickTimes,Method）
输入参数
TickSeries%价格序列
TimeTimes%价格序列对应的时间
Method%（Optionl）计算收益率的，Method='Simple'表示算术收益率;Method＝'Continous'表示连续法，即为对数计算法。
输出参数
RetSeries%收益率序列
RetIntervals%收益率时间间隔
例5-2已知股票的价格时间序列如表所示。
表股票各时间对应的价格
时间
0
6
9
12
价格
100
110
115
110
求出该股票的收益率时日序列。
在MATLAB中执行以下命令：
TickSeries=[100;110;115;110];
TickTimes=[0;6;9;12];
[RetSeries,RetIntervals]=tick2ret（TickSeries,TickTime）
协方差矩阵与相关系数矩阵间的转换
MATLAB中的corr2cov函数可以把相关系数矩阵转换为协方差矩阵
调用方式
Covariances=corr2cov（STDs,Correlations）
输入参数
STDs%标准差矩阵
Correlations%相关系数矩阵
输出参数
Covariance%协方差矩阵
例5-3已知资产组合中有3个品种，每个品种的资产收益率、标准差和相关系数如表所示。
表的相关数据
Returns=[,,];
STDs=[1,,];
Correlations=[1,,;,1,;,,1];
Covariances=corr2cov（STDs,Correlations）
资产组合收益率与方差
MATLAB中计算资产组合回报与方差的函数是portstats。
调用方式
[PortRisk,PortReturn]=portstats（ExpReturn,ExpCovariance,PortWts）
输入参数
ExpReturn%期望收益率向量
ExpCovariance%资产的协方差矩阵
PortWts%资产权重向量
输出参数
PortRisk%总资产的标准差
PortReturn%%总资产的收益
例5-4某资产组合中有3种资产A、B、C．组合中各资产的预期收益率分别为,,,权重分别为0．4,0．2,0．4，具体数据见程序
ExpReturn=[,,];
ExpCovariance=[,,;,,;,,]
PortWts=[,,;,,];
[PortRisk,PortReturn]=portstats（ExpReturn,ExpCovariance,PortWts）
PortRisk=
PortReturn=
从上述结果可以看到，这两个资产组合的标准差分别为、，资产回报分别,
例5-5假设资产组合中有5种资产，收益分别为，,,,，方差分别为,,,,,资产收益率各不相关，各资产权重分别为,,,,,计算该组合的收益率与方差。
returns=[0,1,,,,];
variances=[,,,,];
ws=[,,,,];
mean=sum（returns.*ws）
variance=sum（variance.*ws.^2）
资产组合VaR（ValueAtRisk）
一般被称为“风险价值”或“在险价值”，指在一定的置信水平下，某一金融资产（或证券组合）在未来特定的一段时间内的最大可能损失。
假定JP摩根公司在2004年置信水平为95％的日VaR值为960万美元，具含义指该公司可以以以95％的把握保证，2004年某一特定时点上的金融资产在未来24小时内，由于市场价格变动带来的损失不会越过960万美元，或者说，只有5％的可能损失超过960万美元。
与传统风险度量手段不同，VaR完全是基于统计分析基础上的的风险度量技术，它的产生足JP摩根公司用来计算市场风险的产物。
例5-6假设投资者拥有两种资产，资产总价他为10000000元，资产权重分别为1／4与3／4，这两种资产日波动率的均值分别为,，标准差分别为,，这两种资产之间的相关系数为，时间为10天，给定置信度为99％，求该资产VaR。
首先求总资产方差，公式如下
其中，
分别为资产组合权重，
为单个资产标准差，
为为这两种资产之间的相关系数。
一般地，可将式用向量与矩阵形式表示，记
，表示各资产的权重，
表示各种资产的标准差，资产协方差矩阵记入cov，则式可以改写为如下形式：
（）
记号
表示向量转置。
如果记
，则有
有了资产组合方差，就可以计算出Var数值。
从正态分布表中可以查到对应于置信度99％（
）的
，在各种资产都是服从正态分布的假设下，资产Var值为
（）
具体来讲，计算Var的步骤如下。
第1步：
输入资产权重向量w、各资产的标准差sigma、资产之间的相关系数cov，注意协方差矩阵一定是对称矩阵，需要计算时间长度
。
第2步：
权重向量点乘标准差向量。
第3步：
计算资产总的标准差
。
第4步：
对于给定置信度
，查正态分布表找到
第5步：
计算Varmit算Vat，
在Command窗口中执行如下命令：
w=[1/4,3/4];ret=[,];sigma=[,];
corrcoef=[1,;,1];delta=10;
pret=delta*dot（w,ret）
sig=w.*sigma;
tsig=sig*cov*sig'*delta;
var=10^7**sqrt（tsig））
10天VaR值为649300元。
实际上MATLAB中有专门计算Var值的函数，MATLAB巾的portrisk函数可以计算资产组合Var值，注意输入总资产期望收益与标准差，而不是组合中各种种资产的预期收益率与标准差。
调用方式
ValueAtRisk=portrrisk（PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue）
输入参数
PortReturn%总资产的回报
PortRisk%总资产的标准差
RiskThreshold%概率阈值，默认值为
PortValue%资产总的价值
输出参数
ValueAtRisk%概率阈值下的单资产var值
例5-7已知资产年回报率为，标准差为，资产现在价值为1亿，求1%水平下资产在险价值。
在MATLAB中执行以下命令：
PortReturn=;
PortRisk=;
RiskThreshold=;
PortValue=1;
ValueAtRisk=portvrisk（PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue）
该资产var等于，即该资产损失亿的可能性为1％。
需注意的是金融资产一般并不是正态，而是呈现出肥尾特征，其Var较正态分布大。
资产组合有效前沿
由于证券市场投资存在巨大风险，一般不主张把投资集中在一种产品上。
如果一个投资者投资于深证东泰股份（000506），2001年8月10日收盘价为14．10元，到了2006年2月21日收盘价为元，跌幅高达％，如果再要回到原来价位需要上涨倍，这样的机会是几乎不可能的，如果投资名踩中这样的陷阱恐怕很难再有翻身的机会。
运用组合理论可以有效地降低投资风险，其核心思想是在目标收益率给定的情况下，要求资产组合风险最小。
资产组合理论是由马克维茨（H．Markowitz）1952年提出均值方差理论模型
其中，
是协方差矩阵
，
表示第
种资产的收益率，
表示第
种资产在总资产中所占的份额。
两种风险资产组台收益期望与方差
假设有两种资产A、B，其收益率分别用
表示，协方差分别为
，记资产组合组合为
，资产组合收益率、方差分别为
，
分别表示投资的权重，则有
该资产组合期望收益率与方差为
这样资产组合收益率均值与方差如图所示。
图51资产组合收益率均值与方差
MATLAB工具箱中包含了资产均值方差有效前沿函数，这些都是基于MATLAB中的最优化理论工具箱。
马克维茨资产组合理论就是寻找一个有效组合。
所谓有效组合是指在同样风险水平下具有最高收益，这样不同收益及与最小风险构成有效前沿。
在不允许卖空情况下，求解有效组合目标函数为
这是一个约束条件为线性且含有不等式的二次规划方程，给定一个组合收益率就有个最小方差，组合收益与最小方差构成有效前沿关系，有效前沿如图所示。
522均值方差有效前沿
MATLAB中计算均值方差有效前沿的函数为frontcon。
调用方式
[PortRisk,PortReturn,PortWts]=frontcon（ExpReturn,ExpCovariance,
NumPorts,PortReturn,AssetBounds,Groups,GroupBounds）
输入参数
ExpReturn%资产组合中每项资产预期回报，为一行向量
ExpCovariance%各种资产之间的协方差矩阵，为对称矩阵
NumPorts%（Optional）在资产组合有效前沿上的点的个数，默认值是10个点。
PortReturn%（Optional）有效前沿上每个点的回报
AssetBounds％（Optional）每种资产权重的上限、下限区间
Groups%（Optional）如果G（i,j）=1表示第i个资产属于第j个群，G（i，j）=0表示第i个资产不属于第j个群
GroupBounds%（Optional）每种种群权重约束区间，默认值规定下限为0，上限为l
输出参数
PortRisk%组合的标准差
PortReturn%组合的回报
PortWts%组合中每个资产的权重
例5-8考虑一个三资产组合，分别为资产1、资产2与资产3，其预期收益率分别为、、，资产协方差矩阵如表所示，求该资产组合有效前沿。
在MATLAB中执行如下命令
ExpReturn=[,,];
ExpCovariance=[,,;,,;,,];
NumPorts=4;
[PortRisk,PortReturn,PortWts]=frontcon（ExpReturn,ExpCovariance,
NumPorts,PortReturn,AssetBounds,Groups,GroupBounds）
带约束条件资产组合有效前沿
投资组合中的问题很少有简单的约束，大多数情况下是多种约束，例如监管当局为了控制风险，对资产组中每种资产的比例加以种种限制，这时就需要考虑多种约束条件下的最优组合问题。
MATLAB利用均值-方差理论求解资产组合问题，首先是将约束条件写成矩阵形式，例如
或者
形式。
下面用一个例了说明。
例5-9某资产组合中有5种资产构成，第i种资产的预期回报率为
为第
种资产在总资产中的权重，考虑
具有如下形式：
上述约束条件写成矩阵形式如下
A=[1,0,0,0,0,;0,1,0,0,0,;0,0,1,0,0,;0,0,0,0,1,
-1,0,0,0,0,0;0,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,0,0;0,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0;-1,-1,0,0,0,;-1,-1,-1,0,0,;1,1,0,0,0,;1,1,1,0,0,]
注意约束条件
可以分解成两个约束条件：
和
，分别对应于矩阵的第l行和第6行。
下面我们计算约束条件下资产
组合有效前沿。
调用方式
[PortRisk,PortReturn,PortWts]=portopt（ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts,PortReturn,ConSet）
输入参数
ExpReturn%资产的期望回报率
ExpCovariance%资产的协方差
NumPorts%（Optional）资产组合中投资品种的个数
PortReturn%Optional）要求组合的回报率
ConSet%（Optional）约束条件
输出参数
PortRisk%资产组合的风险
PortReturn%资产组合的回报
PortWts%组合中各种资产的权重
例5-10设有两种资产，其回报率分别为,,协方差矩阵为
约束条件为
，求该资产组合有效前沿。
在MATLAB中执行如下命令：
ret=[,];cov=[,0;0,];
constr=[1,1,1;1,0,;-1,0,0;0,-1,];
portopt（ret,cov,[],[],constr）
图含约束条件均值方差有效前沿示意图
例5-11各资产的相关系数矩阵、预期回报率和标准差如表所示
试给出有效前沿。
在MATLAB中执行如下命令
Returns=[,,];STDs=[,,];Correlations=[1,,;,1,;,,1];
Covariances=corr2cov（STDs,Correlations）
portopt（Returns,Covariances,20）%绘出组合的有效前沿
%然后选择权重
rand（'state',0）;
Weights=rand（1000,3）;
Total=sum（Weights,2）;
Weights（:
1）=Weights（:
1）./Total;
Weights（:
2）=Weights（:
2）./Total;
Weights（:
3）=Weights（:
3）./Total;
输入资产组合有效前沿，以及相关资产组合，绘出各个资产组合风险与收益，代码如下：
[PortRisk,PortReturn]=portstats（Returns,Covariances,,Weights）;
holdon
plot（PortRisk,PortReturn,'.r'）
title（'均值-方差有效前沿以及各个资产组合风险与收益'）
xlabel（'风险（标准差）'）
ylabel（'期望收益率'）
holdoff
这样资产组合有效前沿和各种资产组合风险与收益点如图所示。
均值-方差有效前沿以及各种资产组合风险与收益
考虑无风险资产及借贷情况下的资产配置
资产组合有效前沿上的点很多，如何选择一个有效点呢投资者需要根据目标函数权衡风险与回报。
MATLAB中投资者目标函数如下：
其中，
表示未来回报，
表示投资者风险厌恶系数，一般在2-4之间，
是资产标准差。
投资者决策就是使目标函数最大化，然后对资产进行配置。
MATLAB中考虑无风险资产时的资产配置函数是portalloc,其功能是根据风险-收益最优原则配置每项资产，其中包括无风险资产。
调用方式
[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]
=portalloc（PortRisk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,RiskAversion）
输入参数
PortRisk%有效前沿上每项资产的方差
PortReturn%有效前沿上每项资产的回报
PortWts%有效前沿上每项资产的权重
RisklessRate%无风险利率
BorrowRate%（Optional）借款利率，默认为没有借贷
RiskAversion%（Optional）投资者的风险厌恶系数，大多数投资者的风险厌恶系数在2～4之间，通常选择3
输出参数
RiskyRisk％风险资产部分的标准差
RiskyReturn％风险资产部分的回报
RiskyWts％风险资产的权重
RiskyFraction％总资产中风险资产的分数
OverallRisk％总资产的标准差
Overa11Return％总资产的回报
例已知一个组合中含有3种资产，每种资产的预期回报与协方差矩阵如表所示。
表各种资产的预期回报、协方差
资产A
资产B
资产C
预期回报
协
方
差
资产A
资产B
资产C
无风险利率为，借贷利率为，投资者的风险厌恶系数为3，要求考虑无风险资产和借贷情况下的最优资产配置。
在MATLAB中执行如下命令：
ExpReturn=[,,];
ExpCovariance=[,,;,,;,,];
[PortRisk，PortReturn,PortWts]=portopt（ExpReturn,ExpCovariance）;
%由于没有输入位于有效前沿上的点的数目，MATLAB默认有效前沿上选取10个点，每个点代表一种组台，每个组合的标准差保存在PortRisk中，收益率保存在PortReturn中，组合中各资产的权重保存在PortWts中。
下面调用portalloc函数求出考虑无风险资产，以及允许借货时的资产配置，代码如下：
RisklessRate=;
BorrowRate=;
[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]=portalloc（PortRisk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,RiskAversion）
从结果表明，最优组合的标准差为,收益率为，每项资产的权重分别为、、。
总资产中风险资产配置的权重为，总资产的回报率为，总资产的标难差为。
如果选取有效前沿上的20个点，得到结果如下：
[PortRisk,PortReturn,PortWts]=portopt（ExpReturn,ExpCovariance,20）;
[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]=portalloc（PortRisk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,3）
从结果中我们可以知道，最优组合的标准差为，组合的收益率为，每项资产的权重分别为、、，总资产中风险资产配置的权重为1．1869，总资产的回报为0．1902，总资的产标准差为0．15297，除了资产配置差别比较大，第一项资产配置进一步减小，其他差别并不大。
线性规划求解资产组台问题
线性规划是研究目标函数和约束条件均为线性的最优化问题，线性规划的标准形式如下
其中，
是目标函数矩阵，
是约束条件矩阵，
是向量。
标准形式线性问题简称LP（LinearProgramming）问题，MATLAB中用lp函数求解线性规划问题。
MATLAB中的线性规划形式如下
其中，
是向量，
是不等式约束和等式约束的矩阵
调用方式
x=limprog（f,A,b）
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
其中，
分别为标准线性规划模型中的参数；参数
分别为变量x的上界和下界。
例5-13某资产组合中有3种资产，各资产的收益率分别为、,、。
要求资产l与资产3的权重小于资产2的权重，且没有卖空。
求解使得上述收益率最大的投资组合
首先确定目标函数为：
资产约束条件可写为
在MATLAB中执行如下命令：
f=[,,]';A=[1,-1,1];b=0,Aeq=[1,1,1];beq=1;lb=[0,0,]';ub=[1,1,1]';
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
最后得出资产1、资产2、资产3的权重分别为、、。
下面我们考虑二次规划求解资产组合，二次规划问题（QuadraticProgramming）的标准形式如下
其中，
为权重向量，
为对称矩阵。
约束条什分成两个部分，前一部分约束条件是不等式，后一部分约束条件是等式。
在资产组台问题中，
多为协方差矩阵；
在MATLAB中求解此类问题的函数是quadprog。
调用方式
x=quadproq（H,q,A,h）
x=quadprog（H,r,q,A,b,A
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