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1、资产组合计算第5章 资产组合计算 资产组合是实务性比较强的内容，通过本章的学习，要求读者掌握协方差与相关系数之间的相互推导，熟悉资产组合基本理论，学会用MATLAB计算投资组合基本参数，如均值与方差、资产组合VaR，重点掌握资产组合有效前沿的计算，能够处理无风险利率以及借贷关系情况下的最优投资组合，会用MATLAB规划工具箱求解投资组合最优化问题。 资产组合基本原理 证券投资组合理论(Portfolio Theory)主要研究如何配置各种不同的金融资产，实现资产组合的最佳投资配置。1952年美国学者马克维茨创立了资产组合理论，该理论在实践中得到广泛运用。 收益率序列与价格序列间的转换 1将收益

2、率序列转换为价格序列在处理金融时间序列时，有时需要把收益率序列转换为价格序列。在MATLAB中将收益率序列转换为价格序列的函数是ret2tick。调用方式TickSeries,TickTimes=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime,Method)输入参数RetSeries %收益率序列StartPrice %(0ptional)起始价格，默认值是1RetIntervals %(0ptional)收益率序列的时间间隔，默认值是lStartTime %(optional)价格开始计算的时间，默认值是0Method %(Optio

3、nl)转换方法。Method=Simple表示简单,;MethodContinous表示连续法，。输出参数TickSeries %价格序列TickTimes %与价格对应的时间序列例5-1己知资产收益率以及时间间隔如表所示表 资产收益率及时间收益率时间间隔（天）1829192 起始价格为10元，起始时间为2000年12月18日，试求该资产价格时间序列，收益率采用离散方法。在MATLAB 中执行以下命令：RetSeries=,;RetIntervals=182,91,92;StartPrice=10;StartTime=datenum(18-Dec-2000);TickSeries,TickTi

4、me=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime)datestr(TickTimes)ans =18-Dec-200018-Jun-200117-Sep-200118-Dec-2001这样就把收益率时间序列转换为价格时间序列，结果如表所示。表 资产各时间的价格时间18-Dec-200018-Jun-200117-Sep-200118-Dec-2001价格收益率-时间间隔-18291922将价格序列转换为收益率序列MATLAB中将价格序列转换为收益率序列的函数是tick2ret。调用方式RetSeries,RetIntervals=t

5、ick2ret(TickSeries,TickTimes,Method)输入参数TickSeries %价格序列TimeTimes % 价格序列对应的时间 Method %(Optionl)计算收益率的，Method=Simple表示算术收益率;MethodContinous表示连续法，即为对数计算法。输出参数RetSeries %收益率序列RetIntervals %收益率时间间隔例5-2已知股票的价格时间序列如表所示。表 股票各时间对应的价格时间06912价格100110115110求出该股票的收益率时日序列。在MATLAB中执行以下命令：TickSeries=100;110;115;11

6、0;TickTimes=0;6;9;12;RetSeries,RetIntervals=tick2ret(TickSeries,TickTime) 协方差矩阵与相关系数矩阵间的转换 MATLAB中的corr2cov函数可以把相关系数矩阵转换为协方差矩阵调用方式Covariances=corr2cov(STDs,Correlations)输入参数STDs %标准差矩阵Correlations %相关系数矩阵输出参数Covariance % 协方差矩阵例5-3 已知资产组合中有3个品种，每个品种的资产收益率、标准差和相关系数如表所示。表 的相关数据Returns=,;STDs=1,;Correla

7、tions=1,;,1,;,1;Covariances=corr2cov(STDs,Correlations) 资产组合收益率与方差 MATLAB中计算资产组合回报与方差的函数是portstats。调用方式PortRisk,PortReturn=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts)输入参数ExpReturn % 期望收益率向量ExpCovariance % 资产的协方差矩阵PortWts % 资产权重向量输出参数PortRisk % 总资产的标准差PortReturn % % 总资产的收益例5-4 某资产组合中有3种资产A、B、C组合中各资产的预

8、期收益率分别为,权重分别为04,02,04，具体数据见程序ExpReturn=,;ExpCovariance=,;,;,PortWts=,;,;PortRisk,PortReturn=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts)PortRisk = PortReturn = 从上述结果可以看到，这两个资产组合的标准差分别为、，资产回报分别,例5-5假设资产组合中有5种资产，收益分别为，,，方差分别为,资产收益率各不相关，各资产权重分别为,计算该组合的收益率与方差。returns=0,1,;variances=,;ws=,;mean=sum(returns

9、.*ws)variance=sum(variance.*ws.2) 资产组合VaR(Value At Risk)一般被称为“风险价值”或“在险价值”，指在一定的置信水平下，某一金融资产(或证券组合）在未来特定的一段时间内的最大可能损失。假定JP摩根公司在2004年置信水平为95的日VaR值为960万美元，具含义指该公司可以以以95的把握保证，2004年某一特定时点上的金融资产在未来24小时内，由于市场价格变动带来的损失不会越过960万美元，或者说，只有5的可能损失超过960万美元。与传统风险度量手段不同，VaR完全是基于统计分析基础上的的风险度量技术，它的产生足JP摩根公司用来计算市场风险的产

10、物。例5-6 假设投资者拥有两种资产，资产总价他为10000 000元，资产权重分别为14与34，这两种资产日波动率的均值分别为,，标准差分别为,，这两种资产之间的相关系数为，时间为10天，给定置信度为99，求该资产VaR。首先求总资产方差，公式如下其中，分别为资产组合权重，为单个资产标准差，为为这两种资产之间的相关系数。一般地，可将式用向量与矩阵形式表示，记，表示各资产的权重，表示各种资产的标准差，资产协方差矩阵记入cov，则式可以改写为如下形式： （）记号表示向量转置。如果记，则有有了资产组合方差，就可以计算出Var数值。从正态分布表中可以查到对应于置信度99()的，在各种资产都是服从正态

11、分布的假设下，资产Var值为 （）具体来讲，计算Var的步骤如下。 第1步：输入资产权重向量w、各资产的标准差sigma、资产之间的相关系数cov，注意协方差矩阵一定是对称矩阵，需要计算时间长度。 第2步：权重向量点乘标准差向量。 第3步：计算资产总的标准差。第4步：对于给定置信度，查正态分布表找到第5步：计算Varmit算Vat，在Command窗口中执行如下命令：w=1/4,3/4;ret=,;sigma=,;corrcoef=1,;,1;delta=10;pret=delta*dot(w,ret)sig=w.*sigma;tsig=sig*cov*sig*delta; var=107*s

12、qrt(tsig) 10天VaR值为649 300元。 实际上MATLAB中有专门计算Var值的函数，MATLAB巾的portrisk函数可以计算资产组合Var值，注意输入总资产期望收益与标准差，而不是组合中各种种资产的预期收益率与标准差。 调用方式ValueAtRisk=portrrisk(PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue)输入参数PortReturn %总资产的回报PortRisk % 总资产的标准差RiskThreshold % 概率阈值，默认值为PortValue % 资产总的价值输出参数ValueAtRisk %概率阈值下的单资产

13、var值例5-7已知资产年回报率为，标准差为，资产现在价值为1亿，求1%水平下资产在险价值。在MATLAB中执行以下命令：PortReturn=;PortRisk=;RiskThreshold=;PortValue=1;ValueAtRisk=portvrisk(PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue) 该资产var等于，即该资产损失亿的可能性为1。需注意的是金融资产一般并不是正态，而是呈现出肥尾特征，其Var较正态分布大。 资产组合有效前沿由于证券市场投资存在巨大风险，一般不主张把投资集中在一种产品上。如果一个投资者投资于深证东泰股份(0005

14、06)，2001年8月10日收盘价为1410元，到了2006年2月21日收盘价为元，跌幅高达，如果再要回到原来价位需要上涨倍，这样的机会是几乎不可能的，如果投资名踩中这样的陷阱恐怕很难再有翻身的机会。 运用组合理论可以有效地降低投资风险，其核心思想是在目标收益率给定的情况下，要求资产组合风险最小。资产组合理论是由马克维茨(HMarkowitz) 1952年提出均值方差理论模型其中，是协方差矩阵，表示第种资产的收益率，表示第种资产在总资产中所占的份额。 两种风险资产组台收益期望与方差假设有两种资产A、B，其收益率分别用表示，协方差分别为，记资产组合组合为，资产组合收益率、方差分别为，分别表示投资

15、的权重，则有该资产组合期望收益率与方差为这样资产组合收益率均值与方差如图所示。图51 资产组合收益率均值与方差 MATLAB工具箱中包含了资产均值方差有效前沿函数，这些都是基于MATLAB中的最优化理论工具箱。马克维茨资产组合理论就是寻找一个有效组合。所谓有效组合是指在同样风险水平下具有最高收益，这样不同收益及与最小风险构成有效前沿。在不允许卖空情况下，求解有效组合目标函数为 这是一个约束条件为线性且含有不等式的二次规划方程，给定一个组合收益率就有个最小方差，组合收益与最小方差构成有效前沿关系，有效前沿如图所示。5 2 2均值方差有效前沿MATLAB中计算均值方差有效前沿的函数为frontco

16、n。调用方式PortRisk,PortReturn,PortWts=frontcon(ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts,PortReturn,AssetBounds,Groups,GroupBounds)输入参数ExpReturn %资产组合中每项资产预期回报，为一行向量ExpCovariance %各种资产之间的协方差矩阵，为对称矩阵NumPorts %(Optional)在资产组合有效前沿上的点的个数，默认值是10个点。PortReturn %(Optional)有效前沿上每个点的回报AssetBounds (Optional)每种资产权重的上限、下限区间G

17、roups %(Optional)如果G(i,j)=1表示第i个资产属于第j个群，G(i，j)=0表示第i个资产不属于第j个群GroupBounds %(Optional)每种种群权重约束区间，默认值规定下限为0，上限为l输出参数PortRisk %组合的标准差PortReturn %组合的回报PortWts %组合中每个资产的权重 例5-8考虑一个三资产组合，分别为资产1、资产2与资产3，其预期收益率分别为、，资产协方差矩阵如表所示，求该资产组合有效前沿。 在MATLAB中执行如下命令ExpReturn=,;ExpCovariance=,;,;,;NumPorts=4;PortRisk,Po

18、rtReturn,PortWts=frontcon(ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts,PortReturn,AssetBounds,Groups,GroupBounds) 带约束条件资产组合有效前沿 投资组合中的问题很少有简单的约束，大多数情况下是多种约束，例如监管当局为了控制风险，对资产组中每种资产的比例加以种种限制，这时就需要考虑多种约束条件下的最优组合问题。MATLAB利用均值-方差理论求解资产组合问题，首先是将约束条件写成矩阵形式，例如或者形式。下面用一个例了说明。例5-9某资产组合中有5种资产构成，第i种资产的预期回报率为,为第种资产在总资产中的权重，

19、考虑具有如下形式：上述约束条件写成矩阵形式如下A=1,0,0,0,0,;0,1,0,0,0,;0,0,1,0,0,;0,0,0,0,1,-1,0,0,0,0,0;0,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,0,0;0,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0;-1,-1,0,0,0,;-1,-1,-1,0,0,;1,1,0,0,0,;1,1,1,0,0,注意约束条件可以分解成两个约束条件：和，分别对应于矩阵的第l行和第6行。下面我们计算约束条件下资产组合有效前沿。 调用方式 PortRisk,PortReturn,PortWts=portopt(ExpReturn,ExpCovarian

20、ce,NumPorts,PortReturn,ConSet)输入参数ExpReturn %资产的期望回报率ExpCovariance %资产的协方差NumPorts %(Optional)资产组合中投资品种的个数PortReturn % Optional)要求组合的回报率ConSet %(Optional)约束条件 输出参数PortRisk %资产组合的风险PortReturn %资产组合的回报PortWts %组合中各种资产的权重 例5-10设有两种资产，其回报率分别为,协方差矩阵为,约束条件为，求该资产组合有效前沿。在MATLAB中执行如下命令：ret=,;cov=,0;0,;constr

21、=1,1,1;1,0,;-1,0,0;0,-1,;portopt(ret,cov,constr)图 含约束条件均值方差有效前沿示意图例5-11各资产的相关系数矩阵、预期回报率和标准差如表所示试给出有效前沿。在MATLAB中执行如下命令Returns=,;STDs=,;Correlations=1,;,1,;,1;Covariances=corr2cov(STDs,Correlations)portopt(Returns,Covariances,20) %绘出组合的有效前沿% 然后选择权重rand(state,0);Weights=rand(1000,3);Total=sum(Weights,2

22、);Weights(:,1)=Weights(:,1)./Total;Weights(:,2)=Weights(:,2)./Total;Weights(:,3)=Weights(:,3)./Total;输入资产组合有效前沿，以及相关资产组合，绘出各个资产组合风险与收益，代码如下：PortRisk,PortReturn=portstats(Returns,Covariances,Weights);hold onplot(PortRisk,PortReturn,.r)title(均值-方差有效前沿以及各个资产组合风险与收益)xlabel(风险（标准差）)ylabel(期望收益率)hold off这

23、样资产组合有效前沿和各种资产组合风险与收益点如图所示。均值-方差有效前沿以及各种资产组合风险与收益 考虑无风险资产及借贷情况下的资产配置 资产组合有效前沿上的点很多，如何选择一个有效点呢投资者需要根据目标函数权衡风险与回报。MATLAB中投资者目标函数如下：其中，表示未来回报，表示投资者风险厌恶系数，一般在2-4之间，是资产标准差。 投资者决策就是使目标函数最大化，然后对资产进行配置。MATLAB中考虑无风险资产时的资产配置函数是portalloc,其功能是根据风险-收益最优原则配置每项资产，其中包括无风险资产。 调用方式RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,

24、OverallRisk,OverallReturn=portalloc(PortRisk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,RiskAversion)输入参数PortRisk %有效前沿上每项资产的方差PortReturn %有效前沿上每项资产的回报PortWts %有效前沿上每项资产的权重RisklessRate %无风险利率BorrowRate %(Optional)借款利率，默认为没有借贷RiskAversion %(Optional)投资者的风险厌恶系数，大多数投资者的风险厌恶系数在24 之间，通常选择3输出参数RiskyRisk 风

25、险资产部分的标准差RiskyReturn 风险资产部分的回报RiskyWts 风险资产的权重RiskyFraction 总资产中风险资产的分数OverallRisk 总资产的标准差Overa11Return 总资产的回报 例 已知一个组合中含有3种资产，每种资产的预期回报与协方差矩阵如表所示。表各种资产的预期回报、协方差资产A资产B资产C预期回报协方差资产A资产B资产C 无风险利率为，借贷利率为，投资者的风险厌恶系数为3，要求考虑无风险资产和借贷情况下的最优资产配置。在MATLAB中执行如下命令：ExpReturn=,;ExpCovariance=,;,;,;PortRisk，PortRetu

26、rn,PortWts=portopt(ExpReturn,ExpCovariance);%由于没有输入位于有效前沿上的点的数目，MATLAB默认有效前沿上选取10个点，每个点代表一种组台，每个组合的标准差保存在PortRisk中，收益率保存在PortReturn中，组合中各资产的权重保存在PortWts中。下面调用portalloc函数求出考虑无风险资产，以及允许借货时的资产配置，代码如下：RisklessRate=;BorrowRate=;RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn=portalloc(PortR

27、isk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,RiskAversion) 从结果表明，最优组合的标准差为,收益率为，每项资产的权重分别为、。总资产中风险资产配置的权重为，总资产的回报率为，总资产的标难差为。如果选取有效前沿上的20个点，得到结果如下：PortRisk,PortReturn,PortWts=portopt(ExpReturn,ExpCovariance,20);RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn=portalloc(PortRisk,PortRe

28、turn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,3)从结果中我们可以知道，最优组合的标准差为，组合的收益率为，每项资产的权重分别为、，总资产中风险资产配置的权重为11869，总资产的回报为01902，总资的产标准差为015297，除了资产配置差别比较大，第一项资产配置进一步减小，其他差别并不大。 线性规划求解资产组台问题 线性规划是研究目标函数和约束条件均为线性的最优化问题，线性规划的标准形式如下其中，是目标函数矩阵，是约束条件矩阵，是向量。标准形式线性问题简称LP(Linear Programming)问题，MATLAB中用lp函数求解线性规划问题。 MATLAB中

29、的线性规划形式如下其中，是向量，是不等式约束和等式约束的矩阵调用方式 x=limprog(f,A,b) x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)其中，分别为标准线性规划模型中的参数；参数分别为变量x的上界和下界。例5-13某资产组合中有3种资产，各资产的收益率分别为、,、。要求资产l与资产3的权重小于资产2的权重，且没有卖空。求解使得上述收益率最大的投资组合首先确定目标函数为：资产约束条件可写为在MATLAB中执行如下命令：f=,;A=1,-1,1;b=0,Aeq=1,1,1;beq=1;lb=0,0,;ub=1,1,1;x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)最后得出资产1、资产2、资产3的权重分别为、。下面我们考虑二次规划求解资产组合，二次规划问题(Quadratic Programming)的标准形式如下其中，为权重向量，为对称矩阵。约束条什分成两个部分，前一部分约束条件是不等式，后一部分约束条件是等式。在资产组台问题中，多为协方差矩阵；在MATLAB中求解此类问题的函数是quadprog。调用方式x=quadproq(H,q,A,h)x=quadprog(H,r,q,A,b,A