相似三角形---射影定理的运用.doc

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相似三角形------射影定理的推广及应用

　射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、射影定理

　　射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：

Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，

则有ＣD２＝ＢＤ•AD、

ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或

ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

（证明略）

二、变式推广

　　１．逆用　　如图（１）：

若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

　　　　（证明略）

　　２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：

射影定理变式

（2））

　　　如图（２）：

△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

　　　　　　　（证明略）

三、应用

例１　如图（３），已知：

等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：

４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２

分析：

　易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式

（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）

例２　如图（４）：

已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，

求ＤＣ。

　　分析：

易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式

（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８

　　（解略）

例3　已知：

如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，

　　　　求证：

ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

　　　　证明：

连ＡＦ，　∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，　

　　　　　　∴ＦＡ＝ＦＤ，　∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，

　　　　　　∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，

　　　　　　∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，

　　　　　　∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，

　　　　　　∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，

　　　　　　∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴＝，

∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

射影定理练习

【选择题】

1、已知直角三角形中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=（）

A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm

2、如图1-1，在Rt中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长　　　　

A、1　　　　　B、2　　　　　C、3　　　　　D、4

3、在Rt中，，于点D，若，则（　　　）

A、　　　B、　　　　C、　　　D、

4、如图1-2，在矩形ABCD中，，则（　　　）

A、　　　　　B、　　　　C、　　　D、

【填空题】

5、中，，于点D，AD=6，BD=12，则CD=　　　，AC=

，=。

6、如图2-1，在Rt中，，，AC=6，AD=3.6，则BC=　　　　．

【解答题】

7、已知CD是的高，，如图3-1，求证：

8、已知，，，是正三角形，求证：

9、如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，，E是垂足，求证：

10、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：

（1）△AED∽△CBM；

（2）AE•CM=AC•CD．

11、已知：

如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点，与过点C平行于AB的直线交于点G。

求证：

（1）BE2=EF•EG

（2）若过点B的射线交AD\AC的射线ＡＤ、ＡＣ的延长线分别于Ｅ、Ｆ两点，与过C平行于ＡＢ的直线交于点Ｇ，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。

参考答案

1、C　　2、B　　3、C　　4、C

5、

6、8

7、证明：

在Rt中，由射影定律得，

，在中，

又，

8、证明：

如图所示，在中，

，

9、证明：

在和中，，

所以～

所以，因为AB=a，BC=b，

所以

10、证明：

（1）∵△ABC是直角三角形，

∴∠A+∠ABC=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

即∠MCB+∠ABC=90°，

∴∠A=∠MCB，

∵CD⊥AB，

∴∠2+∠DMB=90°，

∵DH⊥BM，

∴∠1+∠DMB=90°，

∴∠1=∠2，

又∵∠ADE=90°+∠1，∠CMB=90°+∠2，

∴∠ADE=∠CMB，

∴△AED∽△CBM；

（2）∵△AED∽△CBM，

∴AE：

AD=CB：

CM，

∴AE•CM=AD•CB，

∵△ABC是直角三角形，CD是AB上的高，

∴△ACD∽△CBD，

∴AC：

AD=CB：

CD，

∴AC•CD=AD•CB，

∴AE•CM=AC•CD．

11、连结EC。

证明先BE=EC。

再证△CEF∽△GEC