江苏省淮安宿迁等届高三上学期期中学业质量检测数学试题附答案.docx

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江苏省淮安宿迁等届高三上学期期中学业质量检测数学试题附答案

2018届高三期中学业质量监测试题

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

数学

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合，，则▲．

2．复数（是虚数单位）的实部为▲．

3.函数的定义域为▲．

4.某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，

A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．

为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法

从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽

取▲名血型为AB的学生．

5.右图是一个算法流程图，则输出的的值为▲．

6.抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为▲．

7.已知，，则的取值集合为▲．

8.在平行四边形中，，，，则的值为▲．

9.设等差数列的前项和为．若，且，，成等差数列，则数列

的通项公式▲．

10.在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆：

外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为▲．

11.已知函数．设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点

，记为函数的导数，则的值为▲．

12.已知函数与的图象关于原点对称，且它们的图象

拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），

B（1，1），O（0，0），C（-1，-1），D（0，-1）五个点．

则满足题意的函数的一个解析式为▲．

13.不等式的解集为▲．

14．在锐角三角形ABC中，的最小值为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点．

求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

16．（本小题满分14分）

设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量，，

且．

（1）求A的大小；

（2）若，求的值．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：

的左顶点作直线，与椭圆

和轴正半轴分别交于点，．

（1）若，求直线的斜率；

（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：

为定值．

18．（本小题满分16分）

将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．

（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面

半径；

（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．

19．（本小题满分16分）

对于给定的正整数，如果各项均为正数的数列满足：

对任意正整数，

总成立，那么称是“数列”．

（1）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为“数列”，并说明理由；

（2）若既是“数列”，又是“数列”，求证：

是等比数列．

20.（本小题满分16分）

设命题：

对任意的，恒成立，其中．

（1）若，求证：

命题为真命题．

（2）若命题为真命题，求的所有值．

2018届高三期中学业质量监测试题

数学（附加题）

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共2页，均为解答题（第21~23题）。

本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写

在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。

3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位

置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．

若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4-1：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

在△ABC中，，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC的延长线于点E．

求证：

△ABD∽△AEB．

B．[选修4-2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知变换把直角坐标平面上的点，分别变换成点，

，求变换对应的矩阵．

C．[选修4-4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知直线与圆相切，求的值．

D．[选修4-5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知正数满足，求的最小值．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应

写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．

某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他

决定逐个（不重复）进行尝试．

（1）求手机被锁定的概率；

（2）设第次输入后能成功开机，求的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

设，在集合的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较

大元素相加，和记为，较小元素之和记为．

（1）当时，求的值；

（2）求证：

对任意的，为定值．

2018届高三期中学业质量监测试题（数学）

参考答案与评分建议

2017．11

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．已知集合，，则▲．

【答案】

2．复数（是虚数单位）的实部为▲．

【答案】2

3.函数的定义域为▲．

【答案】

4.某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，

A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．

为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法

从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应

抽取▲名血型为AB的学生．

【答案】6

5.右图是一个算法流程图，则输出的的值为▲．

【答案】3

6.抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为▲．

【答案】

7.已知，，则的取值集合为▲．

【答案】

8.在平行四边形中，，，，则的值为▲．

【答案】5

10.设等差数列的前项和为．若，且，，成等差数列，则数列

的通项公式▲．

【答案】

12.在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆：

外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为▲．

【答案】4

13.已知函数．设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点

，记为函数的导数，则的值为▲．

【答案】

12.已知函数与的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线

段ABOCD，不含A（0，1），B（1，1），O（0，0），C（-1，-1），D（0，-1）五个点，

则满足题意的函数的一个解析式为▲．

【答案】

（）

13.不等式的解集为▲．

【答案】

14．在锐角三角形ABC中，的最小值为▲．

【答案】25

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．

15．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点．

求证：

（1）平面；

（2）平面平面．

证明：

（1）在三棱柱中，，……2分

又平面，平面，

所以平面．……5分

（2）在直三棱柱中，平面，

又平面，所以．……7分

因为，所以．

又因为点为棱的中点，所以．……9分

又，平面，

所以平面．……12分

又平面，

所以平面平面．……14分

16．（本小题满分14分）

设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量，，

且．

（1）求A的大小；

（2）若，求的值．

解：

（1）因为，所以，即．……2分

由正弦定理得，，

所以．……4分

在△ABC中，，，所以．

若，则，矛盾．

若，则．

在△ABC中，，所以．……7分

（2）由

（1）知，，所以．

因为，所以．

解得（负值已舍）．……9分

因为，所以或．

在△ABC中，又，故，所以．

因为，所以．……11分

从而

．……14分

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：

的左顶点作直线，与椭圆

和轴正半轴分别交于点，．

（1）若，求直线的斜率；

（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：

为定值．

解：

（1）依题意，椭圆的左顶点，

设直线的斜率为，点的横坐标为，

则直线的方程为．①……2分

又椭圆：

，②

由①②得，，

则，从而．……5分

因为，所以．

所以，解得（负值已舍）．……8分

（2）设点的横坐标为．结合

（1）知，直线的方程为．③

由②③得，．……10分

从而……12分

，即证．……14分

18．（本小题满分16分）

将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．

（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面

半径；

（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．

解：

（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为，

则……4分

解得……6分

（2）设被完全覆盖的长方体底面边长为，宽为，高为，

则

解得……8分

则长方体的体积：

，……10分

0

↗

极大值

↘

所以．令得，或（舍去）．

列表：

……12分

所以，当时，．……14分

答：

（1）圆锥的母线长及底面半径分别为分米，分米．

（2）长方体体积的最大值为立方分米．……16分

19．（本小题满分16分）

对于给定的正整数，如果各项均为正数的数列满足：

对任意正整数，

总成立，那么称是“数列”．

（1）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为“数列”，并说明理由；

（2）若既是“数列”，又是“数列”，求证：

是等比数列．

解：

（1）是“数列”，理由如下：

因为是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为．……2分

当时，有……4分

．

所以是“数列”．……6分

（2）因为既是“数列”，又是“数列”，

所以，，①

，．②……8分

由①得，，，③……10分

，．④……12分

③④②得，，．

因为数列各项均为正数，所以，．……14分

所以数列从第3项起成等比数列，不妨设公比为．

①中，令得，，所以．

①中，令得，，所以．

所以数列是公比为的等比数列．……16分

20.（本小题满分16分）

设命题：

对任意的，恒成立，其中．

（1）若，求证：

命题为真命题．

（2）