自适应滤波LMS与RLS的matlab实现docx.docx
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自适应滤波LMS与RLS的matlab实现docx
MATLAB仿真实现LMS和RLS算法的二阶AR模型
及仿真结果分析
一、题目概述：
二阶AR模型如图la所示，可以如下差分方程表示：
x（n）=k（/7）-atx{n-1）-电坯刀-2）=v（n）+d（n）
（1）
X（n）.X（n-l）X（n-2）
X（n）
图la
其中，v（n）是均值为0、方差为0.965的高斯白噪声序列。
心，a?
为描述性参数，
=-0.195,a2=0,95.设x（-l>x（-2）=0,权值Wi（O）=w2（0）=0,卩=004①推导最优滤波权值（理论分析-下）。
②按此参数设置，由计算机仿真模拟权值收敛曲线并画出，改变步长在此模拟权値变化规律。
③对仿真结果进行说明。
④应用RLS算法再次模拟最优滤波权值。
解答思路：
（1）高斯白噪声用normmd函数产生均值为0、方差为0965的正态分布随机1*N矩阵來实现。
随后的产生的信号用题目中的二阶AR模型根据公式
（1）产生，激励源是之前产生的高斯白噪声。
（2）信号长度N収为2000点，用以观察滤波器权值变化从而估计滤波器系数，得到其收敛值。
（3）仿真时分别仿真了单次LMS算法和RLS算法卜•的收敛性能以及100次取平均后的LMS和RLS算法的收敛性能，以便更好的比较观察二者的特性。
（4）在用不同的分别取3个不同的卩值仿真LMS算法时，卩值分别取为
O.ODlr0.003,0.006：
用3个不同的入值仿真RLS算法时入值分别取为1,0.58,0.94,从而分析不同步长因子、不同遗忘因子对柑应算法收敛效果的影响。
二、算法简介
1.自适应算法的基本原理
自适应算法的基本信号关系如卜图所示:
图1b自适应滤波器框图
输入信号x（n）通过参数可调的数字滤波器后产生输出信号y（n）,将其与参考信号•d（n）
进行比较，形成谋差信y-e（n）oe（n）通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终是e（n）
的均方值最小。
当谋差信号e（n）的均方谋差达到最小的时候，可以证明信号y（n）是信号・d（n）的最佳估计。
2LMS算法简介
LMS算法采用平方误差最小的原则代替垠小均方误差敲小的原则，信号基本关系如2
N-1
y（n）=》W（n）x（n-i）
o
e（n）=d（n）-y（n）
（2）
W（n+1）=州（n）+2/ze（n）x（n一i）
i=（O丄2,….N—l）
写成矩阵型式为：
y（n）=WT（n）X（n）
e（n）=ci（n）-y（n）（3）
W（n+1）=W（n）+2/ze（n）X（n）
式（3）中，W（n）为n时刻自适应滤波器的权值,W（n）=[%（n）,州（n）,....v^T（n）]T，
N为自适应滤波器的阶数，本设计中取为2000：
X（n）为n时刻自适应滤波器的参考输入
矢量，由锻近N个信号釆样值构成，X（n）=[x（n）,x（n-l）,....x（n-N+l）]T:
d（n）是期
望的输出值；c（n）为自适血濾波器的输出谋差调节信号（简称失调借号）；M足控制自适应
速度与稳定性的增益常数，又叫收敛因子或步长因子。
3.RLS算法简介
RLS算法是用二乘方的时间平均的最小化准则取代最小均方准则，并按时间进行迭代计算。
其基本原理如卞所示：
久:
遗忘因子，它是小于等于1的正数。
d（n）:
参考信号，也可称为期望信号。
w（n）:
第门次迭代的权值。
£（a）：
均方误差。
RLS算法的准则为：
w（n）=另炉7云（k）—>min（4）
k=0
上式越旧的数据对w（ll）的影响越小。
通过计算推导得到系数的迭代方程为:
w（n）=w（n一1）+k（n）e*（n）（5）
式（5）中，增量k（n）和误差矿⑴）计算公式如下:
k（n）=T（n-l）x（n）⑹
2+xT（n）T（n-1）x（n）
e\n）=d\n）-xr（n）*w（n-l）（7）
式（6）中T（n>^_1（n）,
T（n）按如下方式更新：
也就是当前时刻自相关矩阵的逆。
T（n）=（T（n-1）-k（n）*x（n）T*T（n-1））/2（8）
由上边分析町知，RLS算法递推的步骤如下：
1在时刻n,w（n-l）,T（n-l）和d（n）,x（n）也已经存储在滤波器的相应器件中
2.利用公式（5）、⑹、（7）和（8）计算T（n）、w（n）、k（n）、"（n）,并得到滤波器的输出相应y（n）和误差e（n）即：
y（n）=wT（n）x（n）（9）
e（n）=d（n）-y（n）（10）
3.进入第1】+1次迭代
这样做的优点是收敛速度快，而且适用于非平稳信号的自适应处理
缺点是每次迭代时都要知道输入涪兮和參考信号，计算量比较犬
三、仿真过程
仿真过程按照如卜•过程进行
（1）信号产生：
首先产生高斯白噪声序列w（n）,然后将此通过一个参数为a丄二0195,
a2=0.95简单的二阶自回归滤波器生成信4x（n）o
（2）将step
（1）生成的信号通过LMS和RLS自适应滤波器进行处理
（3）通过改变R值对W-W2收敛速度的影响來分析LhlS算法的性能以及通过改变入值对Wi，W2收敛速度的影响来分析RLS算法的性能。
（4）绘制相应图形曲线四、仿真以及结果分析
信号和高斯白噪声波形如图2所示:
图2信号和高斯白噪声波形
图2中，上边的图形为信号波形，下边的为加性高斯白噪声。
LMS单次实现的权值收儉曲线
图3（a）LMS算法卜•单次收敛曲线
LMS算法下100次仿MW1（n）和W2何的平均变化曲线
图3（b）LMS算法下百次平均收敛曲线
分析1：
图3中，a、b两幅图分别为单次实现的LMS算法下最优权值变化过程和100次仿真实现后取平均值做的图，两个权值初始值由己知条件设置为0,之后收敛到两个定值。
a图展现了滤波器权系数迭代更新的过程，町以发现其并不是平滑的变化，而是随机起伏的，跟最陡下降法不一样，这充分说明了其权向量是一个随机过程向量，梯度噪声对其产生了一定的影响。
b图给出了100次独立实验得到的平均权向量E[w（ii）]的估计，即□口
一1丁
W（n）=丄工冈（1,其中冈血）是第t次独立实验中第n次迭代得到的权向最，T是独立实Tt-i
验次数。
可以发现，多次独立实验得到的平均权向量E[w（n）]的估计平滑了随机梯度引入的梯度噪声，十分接近理论最优权向最叫口=[-0.195,0.95「曲线足够平滑，噪声影响很小。
图3中a、b两图皆有较好的收敛特性，即使1次实现也能很好的逼近最优权值。
RLS单次实现权值收敛曲线
图4（a）RLS算法卜•单次收敛曲线
RLS算法T100次仿真W1（n）^W2（n）的平均变化曲线线
图4（b）RLS算法F百次平均收敛曲线
分析2：
图4中，a.b两幅图分别为单次实现的RLS算法下最优权值变化过程和100次仿真实现后取平均值做的图，a图中可看出权值己有较好收敛特性，两个权值初始值由已知条件设置为0,之后收敛到两个定值：
-al=0195利-a2=-0.95,,但是曲线不够平滑、噪声较人，b图经过取平均后噪声影响己经很小。
单次实现和多次实现的联系与区别也与LMS算法基本相同。
但是对以清晰地看出RLS算法收敛极。
将两种算法整合于一个图中町以看出鲜明的对比。
LMS与RLS算法单次实现的对比
图5LMS算法和RLS算法收敛曲线对比
分析3：
从图5町以看出，在“和2—定的情况卜•，RLS比LMS具有更快的收敛速度。
在算法的前期收敛段，RLS算法的收敛速度要明显高于LMS算法＜
总的來说，LMS算法的收敛性和步长有关，受协方差矩阵的特征根影响，然而RLS算法一定足收敛的，II收敛速度很快，不过其迭代过程由于要求增益囚子和逆矩卩乍等，使得并算法复杂度高，计算量比较人。
接下來修改步长卩值，观察曲线的收敛情况。
图6给出了卩=001,M=003和卩=0.06三
种情况卜的最优权値变化曲线，由此分析不同步长对曲线收敛性产生的影响。
分析4：
可以看出匚MS算法中的步长参数p决定抽头权向量在每步迭代中的更新量，是影响算法收敛速度的关键参数，其决定fLMS算法学习过程的快慢。
图6展示了当收敛步长p值变小时，其均方误差的收敛速度也相应减慢，降低对实变系统的跟踪速度，不能及时调解至最优权值。
由前面的理论推导我们可以知道OV“V—-—,在这个范闱内，p越人，均方误差收敛
max
（2）
速度越快，收敛速度和步长因子成正比。
町是如果卩人于这个范I韦I会造成不稳定，较人步长会造成较人的稳态误差，帯來算法的发散。
图7入对RLS收敛速度的影响
分析5：
RLS算法中遗忘因子的作用是对离n时刻越近的误差加比较人的权重，而对离n时刻越远的误差加比较小的比重。
遗忘因子的选择对RLS算法的性能起决定性的作用。
%是个小于等于1的数，如果入越小，能最信号就越接近最新的误差平方，对前面的误差遗忘的越快，跟踪效果就越好。
但是，递推RLS算法中的误差是由期塑信号•决定的，如果九很小则误差信号对期望信号的依赖性就会很犬，所以，输出信号就很接近期望信号。
从图7町以看出，遗忘因子入越小，系统的跟踪能力越强，收敛的越快（即变平稳得越快），但是收敛值比较人；入越大，系统跟踪能力减弱，收敛时均方误差也越小，学习曲线收敛值越小。
所以，我们在用普通递推RLS算法时，一定要对入有个准确的取值，才能保证系统性能的故佳状态。
总结：
LMS算法其优点是结构简单，算法复杂度低，易于实现，稳定性高，便于硕件实现，但是这种算法收敛速度慢，对快速变化的信号不适合。
RLS算法是基于最小二乘准则的精确方法，它的收敛速度快，稳定性强，因此常被应用于实时系统识别和快速启动的信道均衡。
附件（程序代码）：
%
（1）信号序列与高斯白噪声的产生
%泰数初始化
al=-0.195;%生成信号所用AR
（2）滤波器的参数
a2=0.95;
N-2000;%信号长度%信号及白噪声信号序列的初始化
x-zeros（1,N）';%信号的初始化
sigmasqu=O.0965;%噪声方差
sigma=sqrt（sigmasqu）;%噪声标准差w=normrnd（0,sigma,N）z;%高斯白噪声的初始化，均值为0,方差为0.0965
x⑴-w⑴；％信号前两点的初始赋值
x
（2）—al*x（l）+w
（2）;
%信号序列的产生
fori=3:
N
x（i）=-al*x（i-1）-a2*x（i-2）+w（i）;号由AR
（2）产生
end
%绘制信号和高斯白噪声波形
figure
（1）
subplot（2,1,1）,
plot（1:
N,x,'b-z）
axis（[0,2000,-5,5]）
titleC基于AR
（2）撲型产生的佶号疋）；
xlabel（!
信号长度nJ;
ylabel（zx（n）z）；
subplot（2,1,2）,
plot（1:
N,w,zr-z）;
axis（[0,2000,-5,5]）
titleC基于AR
（2）模型产生的高斯白噪声w（n）O；
xlabelC信号长度nz）;
ylabelCw（n）z）；
%%%胖%%%%%%%%%%%%%%%%%%—LMS100次叠
加%胖%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N-2000;
M=100;%计算的次数
wl=zeros（N,M）;w2=zeros（N,M）;Il=eye⑵；El=zeros（N,M）;wal-zeros（N,1）;wa2-zeros（N,1）;en-zeros（N,1）;
e=zeros（1,N）z;%定义误差向量
%根据RLS算法进行递推
x-zeros（1,N）z;%信号的初始化
sigmasqu-O.0965;%噪声方差sigma-sqrt（sigmasqu）;%噪声标准差w-normrnd（0,sigma,N）r;%高斯白噪声的初始化，均值为0,方差为0.0965
x⑴=w⑴；％信号前两点的初始赋值
x
（2）—al*x
（1）+w⑵;
%信号序列的产生
fori-3:
N
x（i）—a”x（i-l）-a2・x（i-2）+w（i）;*ft号由AR
（2）产生
end
L=2;%滤波器长度
u=0.04;%LMS算法下自适应增益常数初始化
wL-zeros（L,N）;%LMS滤波器的权值初始化
fori-（L+l）:
N
X-x（i-l:
-l:
（i-L））;
y（i）-Xz♦wLC,!
）;%i时刻输出信号
e⑴-x（i）-y（i）;%i时刻误差信号wL（:
（i+l））=wL（:
i）+2*u*e（i）*X;%i时刻滤波器的权值end;
%alR-wR（l,l：
n）;%al在RLS算法下值的变化
%a2R-wR（2,l:
n）;%b2在RLS算法下值的变化
wl（:
k）=wL（l,l：
N）z；w2（:
k）«wL（2,1:
N）'；博次计算得到的权矢量值储存
E1（:
k）=e（:
1）;%将每次计算得到的误差储存
%求权矢量和谋差的M次的平均值
wal（:
1）-wal（:
1）+wl（:
k）;wa2（:
1）-wa2（:
1）+w2（:
k）;en（:
1）=en（:
1）+E1（:
k）;
end
%%%*%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%—止LMS100次叠
加%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%绘制LMS算法下al.a2单次及100次平均收敛曲线
figure
（2）
plot（1:
N,wl（1:
N,M）,,/r-z,1:
N,w2（l:
N,M）,,/b—z,1:
N,-a2,'k-z,1:
N,-al,zk-z）;
legendCLMS-W1变化zzLMS-W2变化，，51收敛值，，52收敛值，，0）;X图例titlefLMS单次实现的权值收敛曲线,）;
xlabelC信号长度if）;
ylabelC权值的）；
figure（3）
plot（1:
N,wal（1:
N,1）・/M,'t-‘,1:
N,wa2（1:
N,1）・/M,'b—',1:
N,-a2,'k-z,1:
N，-al/k-z）；%^出100次计算权矢量的平均变化曲线
xlabelCNOjylabelCWOOOjtitleCLMS算法下100次仿真Wl（n）和W2（n）的平均变化曲线々
%%RLS滤波
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%—RLS100次叠
加%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N-2000;
M-100;%计算的次数
w3-zeros（N,M）;w4-zeros（N,M）;I2-eye
（2）;E2-zeros（N,M）;
wa3-zeros（N,1）;wa4-zeros（N,1）;en2-zeros（N,1）;
fork=l:
M
e=zeros（1,N）7;%定义误差向量
%根据RLS算法进行递推
x-zeros（1,N）f;%信号的初始化
sigmasqu=0.0965;%噪声方差sigma=sqrt（sigmasqu）;%噪声标准差w=normrnd（0,sigma,N）z;%高斯白噪声的初始化，均值为0,方差为
0.0965
x⑴=w⑴；％佶号前两点的初始赋值
X⑵一8”X⑴+W⑵；
%信号序列的产生
fori=3:
N
x（i）—al*x（i-1）-a2*x（i-2）+w（i）;号由AR
（2）产生
end
L-2;%滤波器长度
lam-O.98;%RLS算法下lambda取值
wR-zeros（L,N）;%权系数，初值为0
T-eye（L,L）*10;%%RLS算法下T参数的初始化,T初始值为10
fori=（L+l）:
N
X=x（i-1:
-1:
（i-L））;
K=（T*X）/（lam+Xz・T*X）;%i时刻增益值
el-x
（1）-wR（:
i-1）f*X;
wR（:
i）-wR（:
i-l）+K*el;%：
时刻权值
y（D-wR（:
i）z*X;%输出信号
e⑴-x（i）-y（i）;%预测谋差
T-（T-K*r♦D/lam;%i时刻的维纳解
end;
w3（:
k）-wR（l,:
）z;w4（:
k）-wR（2,:
）z;絳每次计算得到的权矢量值储存
E2（:
k）-e（:
1）;%将每次计算得到的误差储存
%求权矢董和误差的M次的平均值
wa3（:
l）=wa3（:
l）+w3（:
k）;wa4（:
1）=wa4（:
1）+w4（:
k）;en2（:
1）-en2（:
1）+E2（:
k）;
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%—止RLS100次叠
加%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%胖%%%%%%%帰%%%%%胖
figure（4）
plot（1:
N,w3（1:
N,M）Z,Zr-z,1:
N,w4（l:
N»M）,/b—z,1:
N,-a2,'k-z,1:
N,-al,zk-z）；
legendCRLS-W1变化zzRLS-W2变化z,51收敛值，，52收敛值，，0）;X图例titleCRLS单次实现权值收敛曲线J;
xlabelC信号长度if）;
ylabel＜权值卯）；
figure（5）
plot（1:
N,wa3（1:
N,1）・/M,,1:
N,wa4（1:
N,1）./M,，b—z,1:
N,-a2,'k-‘,1:
N
，-al,zk-z）;%作出100次计算权矢量的平均变化曲线
xlabelfNO;ylabelfW（10,）；titleCRLS算法下100次仿真（n）和W2（n）的平均变化曲线线仃
%绘制LMS与RLS算法下al、&2收敛曲线
figure（6）
plot（l:
N,wl（1:
N,l）z,zr-z,l:
N,w2（1:
N,1）z,zb:
z,1:
N,w3（1:
N,1）z,g—z,1:
N,w4（1:
N,-a2,zk-z,1:
N,-al/k-7）;
legendCLMS71变化,,zLMS-W2变化,,'RLS-W1变化,，'RLS-W2变化,,zWl收敛值"2收敛值，，0）;%图例
titleCLMS与RLS算法单次实现的对比,）;
xlabelC信号长度『）；
ylabel（'权值卯）；
5^3）LMS算法下不同u值的参数收敛曲线
wL-zeros（L,N,3）;
eL-zeros（N,3）;%LMS算法下谋差初始化
yL-zeros（N,3）;%LMS算法下滤波器输出初始化
u=[0.01,0.03,0.06];%不同的u值
forj=l:
3
fori-（L+l）:
N
yL（i,j）-x（i-1:
-1:
i-2）'♦wL（1:
L,i-1,j）;
eL（i,j）-x（i）-yL（i,j）;
wL（1:
L,i,j）-wL（1:
L,i-1,j）+2“（j）“L（i,j）“（i-1:
-1:
i-L）;
end
end
alLl=wL（l,l:
N,1）;
alL2=wL（l,1:
N,2）;
alL3-wL（l,1:
N,3）;
a2Ll-wL（2,1:
N,1）;
a2L2-wL⑵1:
N,2）;
a2L3-wL⑵1:
N,3）;
figure（7）
plot（l:
N,alLl,'b-‘，1:
N,alL2,zt:
',1:
N,alL3,zg-^kN,-al,'L,1:
N,a2Ll/b-z,l:
N,a2L2,zr:
/,1:
N,a2L3/g-Sl:
H,-a2/V）%画图显示不同u值下LMS算法性能差别
legendCu-0.OF,zu-0.03z,zu-0.06z,7W收敛值，，0）%图例
titleCLMS算法下不同的u值对W收敛速度形响,）
xlabelC信号长度if）
ylabel＜权值卯）
%⑷RLS算法下不同lambda值的参数收敛曲线
wR-zeros（2,N,3）;%RLS算法下自适应滤波器参数初始化
eR-zeros（N,3）;%RLS算法下谋差项初始化
yR-zeros（N,3）;%RLS算法下滤波器输出初始化
lam=[l,0.98,0.94];
forj=l:
3
fori=（L+l）:
N
xR-x（i-1:
-1:
i-2）;
k-（T・xR）/（lam（j）+xRz^xR）;
T・（T-k»xRrT）/lam（j）;
eR-x（i）-xRz*wR（1:
2,i-1,j）;
yR（i,j）-xRz•wR（1:
2,i-1,j）;
wR（1:
2,i,j）=wR（1:
2,i-1,j）+k“R;
end
end
alRl-wR（1,1:
N,1）;
alR2-wR（l,l:
N,2）;
alR3-wR（l,1:
N,3）;
a2Rl-wR（2,1:
N,1）;
a2R2=wR（2,1:
N,2）;
a2R3=wR⑵1:
N,3）;
figure（8）
plot（1:
N,alRl,z1,1:
N,alR2,,r:
z,1:
N,alR3,'g-・'，1:
N,-al,'k，,1:
N,
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