中考数学二次函数压轴题题型归纳.docx
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中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考二次函数综合压轴题型归类
、常考点汇总
1用和参数的其他要求确定参数的取值范围;
2解方程，求出方程的根；（两种形式：
分式、二次根式）
3分析求解：
若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：
关于x的一元二次方程x2—2m1xm2=0有两个整数根，mv5且m为整数，求m的值。
4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。
（方法同上）
例：
若抛物线ymx23m1x3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。
固定的点，并求出固定点的坐标。
解：
把原解析式变形为关于m的方程yx22mlx；
抛物线总经过一个固定的点（1,-1）。
小结：
关于x的方程axb有无数解
7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
MN之
（1）如图，直线11、丨2，点A在12上，分别在11、12上确定两点M、N，使得AM
和最小。
N，使得
（2）如图，直线11、12相交，两个固定点A、B，分别在11、12上确定两点M、
BMMNAN之和最小。
（3）如图，A、B是直线I同旁的两个定点，线段a，在直线1上确定两点E、F（
&在平面直角坐标系中求面积的方法：
直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法：
如右图，SPAB=1/2•PM-^x=1/2•AN・Ay
2
9、函数的交点问题：
二次函数（y=ax+bx+c）与一次函数（y=kx+h）
y=9X+bx+C可求出两个图象交点的坐标。
y=kx+h
尸获+bx+c，即ax2+b-kx+c-h=0,
y=kx+h
通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点>0
仅有一个交点0
没有交点v0
10、方程法
（1）设：
设主动点的坐标或基本线段的长度
（2）表示：
用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
（3）列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”
等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求
几何分析
涉及公式
应用图形
跟平行有关的
图形
平移
y1y2
l1//l2k2、k——
x1x2
平行四边形
矩形
梯形
跟直角有关的
图形
勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
几r丨22
AB十yAyBXaXb
直角三角形直角梯形矩形
跟线段有关的
图形
利用几何中的全等、中垂线的性质等。
ABJyAyB2XaXb2
等腰三角形
全等等腰梯形
跟角有关的图形
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
y=x22x3（以下几种分类的函数解析式就是这个）
★和最小，差最大在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小，求出P点坐标
在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大，求出P点坐标
★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P,使得ACP面积最大，求出P坐标
★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为直角三角形，求出P坐标或者在抛物线上求点卩，使厶ACP是以AC为直角边的直角三角形.
★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为等腰三角形,求出P坐标
★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上,
且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标
二综合题型
例1（中考变式）如图，抛物线yx2bxc与X轴交与A（1,0）,B（-3,0）两点，顶点为Do
交Y轴于C
（1）求该抛物线的解析式与厶ABC的面积。
（2）在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以/BCM为直角的直角三角形，若存
在，求出点P的坐标。
若没有，请说明理由
J
/p
c
\s
1
I°
X
⑶若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与A、B重合），过E作EF与X轴垂直，交
BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L,
求L关于X的函数关系式？
关写出X的取值范围？
例2考点：
关于面积最值
如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（一1,0）、（03），点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数
图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F.
（1）
求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段
（3）求厶PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.
例3考点：
讨论等腰
12
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为（2,0）,
2
点C的坐标为（0,—1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE丄x轴于点D，连结。
。
，当厶DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点卩，使厶ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.
例4考点：
讨论直角三角⑴如图，已知点A（一1,0）和点B（1,2）,在坐标轴上
确定点P,使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）
（A）2个（B）4个（C）6个（D）7个
11o
⑵已知：
如图一次函数y=—x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B;二次函数y=-x2+
22
1
bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1,
2
0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S;
（3）在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？
若存在，求出所有的点P,若不存在，请说明理由.
例5考点：
讨论四边形
已知：
如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c（0）与x轴交于点A（-2,0）,点B（6,0）,与y轴交于点C.
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；
（3）在
（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是
否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？
如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果
不存在，请说明理由.
综合练习：
1、平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4ac与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1,0），OB=OC,抛物线的顶点为D。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点P满足/APB=ZACB，求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于/AQB的平分线的对称点为A，若QAQB,2，求点Q
的坐标和此时厶QAA的面积。
2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax2+2axc的图像与y轴交于点C0,3，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为3,0。
（1）
求二次函数的解析式及顶点D的坐标;
两部分，求出此时点M的坐标;
是多少？
并求出此时点P的坐标。
3、如图，在平面直角坐标系且对称轴与x轴交于点C。
线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。
4^已知关于x的方程（1m）x2（4m）x30。
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若正整数m满足82m2，设二次函数y（1m）x2（4m）x3的图象与x轴交于
A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：
当直线ykx3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。
ft
4
2
b
F
V
-4-20
_2
-4
4
”24x
5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a工0与y轴交于点C（0,4），与x轴交于点A（-4,0）和B.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）
点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE//AC,交BC于点E,连接CQ.当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）平行于x轴的动直线I与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为（-2,0）.问是否有直线I，使△ODF是等腰三角形？
若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
2
例1.已知二次函数y=x+（m-1）x+m-2的图象与x轴相交于A（Xi,0）,B（X2,0）两点，且
xi（1）若xiX2<0,且m为正整数，求该二次函数的表达式；
（2）若xi<1,X2>1，求m的取值范围；
（3）是否存在实数m使得过AB两点的圆与y轴相切于点C（0,2）,若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
亠1-,宀MD1
（4）右过点D（0,~2）的直线与
（1）中的二次函数图象相交于MN两点，且"DN=—，求该直线的表达式.
题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题
例2已知二次函数y=x2+mx+m-5,
（1）求证：
不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.
题型三、抛物线方程的整数解问题
例1.已知抛物线yx22（m1）xm20与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m<5,则
整数m的值为
例2.已知二次函数y=x2—2mx+4m—8.
（1）当x<2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）
AMN（M,N两点
以抛物线y=x2—2mx+4m—8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正
在拋物线上），请问：
△AMN勺面积是与m无关的定值吗？
若是，请求出这个定值；若不是，请说
明理由；
（3）若抛物线y=x2—2mx+4m—8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的值.
题型四、抛物线与对称，包括：
点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1•已知抛物线yx2bxc（其中b>0,c丰0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的
对称点为B（m,n）,且AB=2.
（1）求m,b的值
⑵如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=20。
求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒:
请画图思考）
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例1•已知：
二次函数yx24xm的图象与x轴交于不同的两点A（x-i,0）、B（x2,0）（x1
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果（为+1）（X2+1）=8,求二次函数的解析式；
（3）把
（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A、
B1，顶点为点C1，且△A3G是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式.
1.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C（0,4）,且IAB=2.3，图象的对称轴为x=1.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方，求m的取值范围.
2
2.已知二次函数y=—x+mx-m^2.
（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点AB分别在原点的两侧，并且AB=E,求m的值；
（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点’MN,且&mnc=27,求m的值.
22
3.已知关于x的一元二次方程x—2（k+1）x+k=0有两个整数根，kv5且k为整数.
（1）求k的值；
22
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x—2（k+1）x+k的图象沿x
轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）根据直线y=x+b与
（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围.
4.已知二次函数的图象经过点A（1,0）和点B（2,1），且与y轴交点的纵坐标为m
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数的图象截直线y=—x+1所得线段的长为2,2,求m的值.
四、中考二次函数定值问题
1.如图，已知二次函数y=x2-4x+3与x轴交于A.B两点（点A在点B左边），与y轴交于点
C.
（1）写出二次函数Li的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：
y=kx-4kx+3k（0）.
1写出二次函数L2与二次函数Li有关图象的两条相同的性质；
2
EF
若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？
如果不会，请求出的长度；如果会，请说明理由.
2.
O的直
如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（—2,0）、B（2,0）、C（0,-I）三点，过坐标原点
线y=kx与抛物线交于MN两点.分别过点C、D（0,—2）作平行于x轴的直线|1、|2.
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
⑵求证以0N为直径的圆与直线|1相切;
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明MN两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长
£
3.如图1,已知直线y=kx与抛物线y=—x2+22x交于点A（3,6）.
273
（1）求直线y=kx的解析式和线段0A的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM交x轴于点M（点M0不重合），交直线0A于点Q再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？
如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段0A上（与点OA不重合），点D（m
0）是x轴正半轴上的动点，且满足/BAEKBED/AOD继续探究：
m在什么范围时，符合条件的
E点的个数分别是1个、2个？
4•孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a<0）的性质时，将
一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点，
请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=2'、2（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF丄x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总
经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标.
|y
图1
图2
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