中考数学二次函数压轴题题型归纳.docx

1、中考数学二次函数压轴题题型归纳中考二次函数综合压轴题型归类、常考点汇总1用 和参数的其他要求确定参数的取值范围;2解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）3分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程 x22 m 1 x m2=0有两个整数根， mv5且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线y mx2 3m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且 m为正整数，试确定 此抛物线的解析式。固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于 m的方程y x2 2 ml x ；抛物线总经过

2、一个固定的点(1, -1 )。小结：关于x的方程ax b有无数解7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)MN之(1)如图，直线11、丨2，点A在12上，分别在11、12上确定两点 M、N，使得AM和最小。N，使得(2)如图，直线11、12相交，两个固定点 A、B，分别在11、12上确定两点M、BM MN AN之和最小。 (3)如图，A、B是直线I同旁的两个定点，线段a，在直线1上确定两点E、F (&在平面直角坐标系中求面积的方法： 直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图， S PAB=1/2 PM- x=1/2 ANA y29、函数的交点问题： 二次函数(y= ax + b

3、x+ c)与一次函数(y= kx+ h)y=9X + bx+ C可求出两个图象交点的坐标。y=kx+ h尸获+ bx+ c，即 ax2+ b-kx+ c-h = 0 ,y=kx+ h通过可判断两个图象的交点的个数 有两个交点 0仅有一个交点 0没有交点 v 010、 方程法(1)设：设主动点的坐标或基本线段的长度(2 )表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3 )列方程或关系式11、 几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移y1 y2l1 /

4、 l2 k2、k x1 x2平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理 利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补等几r 丨 2 2AB 十 yA yB Xa Xb直角三角形 直角梯形 矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、 中垂线的性质等。AB J yA yB 2 Xa Xb 2等腰三角形全等 等腰梯形跟角有关的图 形利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补等y=x2 2x 3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大 在对称轴上找一点 P,使得PB+PC的和最小，求出 P点坐标在对称轴上找一点 P,使得PB-PC的差最大，求出 P点坐标求面积最大 连接AC,在第四象限

5、找一点 P,使得 ACP面积最大，求出 P坐标 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点 P,使得 ACP为直角三角形， 求出P坐标或者在抛物线上求点 卩，使厶ACP是以AC为直角边的直角三角形. 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点 P,使得 ACP为等腰三角形, 求出P坐标 讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点 F在抛物线上,且以B, A, F , E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F的坐标二综合题型例1 (中考变式)如图，抛物线y x2 bx c与X轴交与A(1,0),B(-3 , 0)两点，顶点为Do交Y轴于C(1)求该抛物线的解析式与厶 ABC的面积。(2)在抛物

6、线第二象限图象上是否存在一点 M，使 MBC是以/ BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由J/pcs1I X若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点 (不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L ,求L关于X的函数关系式？关写出 X的取值范围？例2 考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点 A、C的坐标分别为(一1,0)、(03)，点B在x轴上.已知某 二次函数的图象经过 A、B、C三点，且它的对称轴为直线 x= 1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点 P与B、C不重合)，过点 P作y轴的平行线交BC于

7、点F.(1)求该二次函数的解析式；(2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段(3) 求厶PBC面积的最大值，并求此时点 P的坐标.例3 考点：讨论等腰1 2如图，已知抛物线 y= -x2+ bx+ c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2, 0),2点C的坐标为(0, 1).(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AC上一动点，过点 E作DE丄x轴于点D，连结。，当厶DCE的面积最大时， 求点D的坐标；(3) 在直线BC上是否存在一点 卩，使厶ACP为等腰三角形，若存在，求点 P的坐标，若不存在， 说明理由.例4考点：讨论直角三角 如图，已知点 A (一 1 , 0)和

8、点B ( 1, 2),在坐标轴上确定点P,使得 ABP为直角三角形，则满足这样条件的点 P共有()(A)2个 (B)4个 ( C) 6个(D) 7个1 1 o 已知：如图一次函数 y= x + 1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B ;二次函数y= - x2 +2 21bx+ c的图象与一次函数 y= x+ 1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,20)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S;(3) 在x轴上是否存在点 P,使得 PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的 点P,若不存在，请说明理由.例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x

9、的抛物线y= ax2 + x+ c (0)与x轴交于点A ( -2, 0),点B (6, 0), 与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2) 在抛物线上有一点 D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点 D的坐标，并求出直线 AD的 解析式；(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点 M ,抛物线上有一动点 P, x轴上有一动点 Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由.综合练习：1、平面直角坐标系 xOy中，抛物线y ax2 4ax 4a c与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴 交于点C，点A的坐标为(1

10、, 0)，OB = OC,抛物线的顶点为 D。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点 P满足/ APB = Z ACB，求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点A关于/ AQB的平分线的对称点为 A，若QA QB , 2，求点Q的坐 标和此时厶QAA的面积。2、在平面直角坐标系 xOy中，已知二次函数 y ax2+2ax c的图像与y轴交于点C 0,3，与x 轴交于A、B两点，点B的坐标为 3,0 。(1)求二次函数的解析式及顶点 D的坐标;两部分，求出此时点 M的坐标;是多少？并求出此时点 P的坐标。3、如图，在平面直角坐标系 且对称轴与x轴交于点C 。线BC上，若以A、

11、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P的坐标。4已知关于x的方程(1 m)x2 (4 m)x 3 0。(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围；(2) 若正整数m满足8 2m 2，设二次函数y (1 m)x2 (4 m)x 3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在 x轴下方的部分沿 x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一 个新的图象；请你结合这个新的图象回答： 当直线y kx 3与此图象恰好有三个公共点时， 求出k的值(只需要求出两个满足题意的 k值即可)。ft42bFV-4 -2 0,_2-44” 2 4 x5如图，抛物线 y=ax2+2ax+c (a工0与y轴交于点

12、C (0, 4)，与x轴交于点 A (- 4, 0)和B .(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点 Q作QE / AC ,交BC于点E, 连接CQ.当 CEQ的面积最大时，求点 Q的坐标；(3)平行于x轴的动直线I与该抛物线交于点 P,与直线AC交于点F, 点D的坐标为(-2, 0).问是否有直线I，使 ODF是等腰三角形？ 若存在，请求出点 F的坐标；若不存在，请说 明理由.三、中考二次函数代数型综合题 题型一、抛物线与 x轴的两个交点分别位于某定点的两侧2例1.已知二次函数 y=x + (m- 1)x+ m-2的图象与x轴相交于A (Xi, 0), B (X2, 0)

13、两点，且xi X2.(1)若xiX2 0,且m为正整数，求该二次函数的表达式；(2)若xi 1，求m的取值范围；(3) 是否存在实数 m使得过A B两点的圆与y轴相切于点C( 0, 2),若存在，求出 m的值； 若不存在，请说明理由；亠 1 - , 宀 MD 1(4) 右过点D(0, 2)的直线与(1)中的二次函数图象相交于 M N两点，且DN =，求该直 线的表达式.题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y= x 2+mx+m-5 ,(1)求证：不论 m取何值时，抛物线总与 x轴有两个交点；(2)求当m取何值时，抛物线与 x轴两交点之间的距离最短.题型三、抛物线方程的整数解

14、问题例1. 已知抛物线y x2 2(m 1)x m2 0与x轴的两个交点的横坐标均为整数， 且m 5,则整数m的值为 例2.已知二次函数 y=x2 2mx+ 4m 8.(1)当x0, c丰0)与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为 B(m,n),且AB=2.(1)求m,b的值如果抛物线的顶点位于 x轴的下方，且 BO= 20。求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒: 请画图思考)题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等) 例1 已知：二次函数y x2 4x m的图象与x轴交于不同的两点 A ( x-i , 0)、B ( x2, 0) ( x1 X2)

15、,其顶点是点 C,对称轴与x轴的交于点D.(1)求实数m的取值范围；(2)如果(为+1)( X2+1)=8,求二次函数的解析式；(3)把(2)中所得的二次函数的图象沿 y轴上下平移，如果平移后的函数图象与 x轴交于点A、B1，顶点为点C1，且 A3G是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式.1.已知二次函数的图象与 x轴交于A, B两点，与y轴交于点C (0, 4),且I AB = 2.3，图象的 对称轴为x = 1.(1 )求二次函数的表达式；(2)若二次函数的图象都在直线 y = x+m的下方，求 m的取值范围.22.已知二次函数 y = x + mx- m 2.(1) 若该二次函数图象

16、与 x轴的两个交点 A B分别在原点的两侧，并且 AB= E,求m的值；(2) 设该二次函数图象与 y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点 M N,且&mnc =27,求m的值.2 23.已知关于x的一元二次方程 x 2( k + 1)x + k = 0有两个整数根，kv 5且k为整数.(1 )求k的值；2 2(2) 当此方程有两个非零的整数根时，将关于 x的二次函数y= x 2(k+ 1)x+ k的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；(3) 根据直线y = x+ b与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求 b的取值范围.4.已知二次函数的图象经过点 A

17、(1, 0)和点B(2, 1)，且与y轴交点的纵坐标为 m (1 )若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与 x轴还有异于点 A的另一个交点，求 m的取值范围；(3)若二次函数的图象截直线 y = x+ 1所得线段的长为2 , 2,求m的值.四、中考二次函数定值问题1.如图，已知二次函数 y=x2 - 4x+3与x轴交于A. B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.(1)写出二次函数 Li的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2) 研究二次函数 L2： y=kx - 4kx+3k (0).1写出二次函数 L2与二次函数Li有关图象的两条相同的性质；2EF若直线y=8k与抛物线L2

18、交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出 的长度；如果会，请说明理由.2.O的直如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A( 2, 0)、B(2 , 0)、C(0, - I)三点，过坐标原点线y=kx与抛物线交于 M N两点.分别过点 C、D(0, 2)作平行于x轴的直线|1、|2 .(1) 求抛物线对应二次函数的解析式；求证以0N为直径的圆与直线|1相切;(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M N两点到直线l2的距离之和等于线段 MN的长3.如图1,已知直线y=kx与抛物线y= x2 + 22x交于点A (3, 6).27 3(1)求直线y=kx的解析式和线段 0A的长度

19、；(2) 点P为抛物线第一象限内的动点，过点 P作直线PM交x轴于点M (点M 0不重合)，交直 线0A于点Q再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：线段 QM与线段QN的长度之比 是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；(3) 如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点， 点E在线段0A上(与点O A不重合)，点D( m0)是x轴正半轴上的动点，且满足/ BAEK BED/ AOD继续探究： m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？4 孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 y=ax2(a 0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O,两直角边与该抛物线交于 A、B两点，请解答以下问题：(1)若测得OA=OB=2 、2 (如图1)，求a的值；(2) 对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 O旋转到如图2所示位置时，过 B作BF丄x轴于点 F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点 A的横坐标；(3) 对该抛物线，孔明将三角板绕点 O旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标.|y图1图2