中考数学二次函数原卷版.docx
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中考数学二次函数原卷版
热点05二次函数
在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。
而考察的内容主要有：
二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。
其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
1.二次函数
的解析式：
根据已知条件，选择合适的表达式求解；
一般情况下：
①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）求其表达式；②当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式y＝a（x-m）2+h（a≠0）求其表达式；
③若（x1，0）（x2，0）是抛物线与x轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式y＝a（x-x1）（x-x2）（a≠0）求其表达式；
2.二次函数
图象及其性质：
牢记顶点公式、注意识别图象与系数的关系、注意抛物线的对称性及其性质的应用；
其中：
二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶
①a、b、c单个字母的判断，a由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断;
②含有a、b两个字母时，考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母，且a和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，
另：
含有a、b、c三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶
④含有b2和4ac，考虑顶点坐标，或考虑△.
⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
3.二次函数的简单应用：
认真审题、分清问题类型、注意计算；
利润最大化问题与二次函数模型：
两公式：
①单位利润=售价-进价；②总利润=单位利润×销量；
两转化：
①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；
函数性质：
利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；
与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；
二次函数在中考中单独出题和结合出题的形式都比较常见，和实际应用结合时，多考察现实生活中的“生意问题”或者“省钱问题”；数学模型考察热点有：
一次函数与二次函数结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图形结合的点在坐标特征问题等。
A卷（建议用时：
80分钟）
1．（2021•广州·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ）
A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5
2．（2021•包头·中考真题）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c（a≠0）的图象经过第一象限的点（1，﹣b），则一次函数y＝bx﹣ac的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2021•常州·中考真题）已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1
4．（2021•阜新·中考真题）如图，二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
5．（2021•绍兴·中考真题）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6
6．（2021•徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1C．y＝（x+2）2﹣1D．y＝（x﹣2）2﹣1
7．（2021•黔东南州·中考真题）如图，抛物线L1：
y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2021•深圳·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2021•淄博·中考真题）对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 ．
10．（2021•陕西·中考真题）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9mB．10mC．11mD．12m
11．（2021•北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
12．（2021•沈阳·中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
13．（2021•阿坝州·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5
14．（2021•滨州·中考真题）对于二次函数y＝
x2﹣6x+21，有以下结论：
①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝
x2向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
15．（2021•巴中·中考真题）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：
函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：
f（x）＝x2是偶函数，f（x）＝
是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ ．
16．（2021•日照·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣1，其图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+1|＞|x2+1|时，y1＜y2；④抛物线的顶点坐标为（﹣1，m），则关于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
17．（2021•湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：
当
的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则
的值是 ．
18．（2021•北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
19．（2021•阿坝州·中考真题）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？
最大利润是多少？
20．（2021•泰州·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
21．（2021•赤峰·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在
（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
B卷（建议用时：
80分钟）
1．（2021•兰州·中考真题）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（ ）
A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4
2．（2021•江西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2021•贺州·中考真题）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3
4．（2021•黔西南州·中考真题）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t，则足球距地面的最大高度是 m．
5．（2021•连云港·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．
6．（2021•雅安·中考真题）定义：
min{a，b}＝
，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0B．2C．3D．4
7．（2021•铜仁市·中考真题）已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
8．（2021•苏州·中考真题）已知抛物线y＝x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．﹣5或2B．﹣5C．2D．﹣2
9．（2021•岳阳·中考真题）定义：
我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1B．
，﹣1C．4，0D．
，﹣1
10．（2021•攀枝花·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣
，且经过点（﹣2，0），下列说法错误的是（ ）
A．bc＜0
B．a＝b
C．当x1＞x2≥﹣
时，y1＞y2
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜
11．（2021•烟台·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：
①ac＞0；
②当x＞0时，y随x的增大而增大；
③3a+c＝0；
④a+b≥am2+bm．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2021•株洲·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（ ）
A．M＜﹣1B．﹣1＜M＜0C．M＜0D．M＞0
13．（2021•杭州·中考真题）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：
A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2021•福建·中考真题）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
15．（2021•益阳·中考真题）已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝ ．
16．（2021•广西·中考真题）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
17．（2021•牡丹江·中考真题）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，3）．
（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1：
2两部分，并与x轴交于点Q，则点Q的坐标为
．
注：
抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣
）
18．（2021•广西·中考真题）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：
y＝﹣
x2+
x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：
y＝﹣
x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在
（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
19．（2021•锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？
（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
20．（2021•随州·中考真题）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝﹣
x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为
米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
21．（2021•内江·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
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