广东省深圳市届高三第二次调研考试二模文科数学试题.docx
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广东省深圳市届高三第二次调研考试二模文科数学试题
2009年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（文科）2009.5
本试卷共6页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：
若锥体的底面积为，高为，则锥体的体积为；
若圆锥底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为．
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则集合
A．B．C．D．
2．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．在空间直角坐标系中，过点作直线的垂线，则直线与平面的交点的坐标满足条件
A．
B．
C．
D．
4．如右图，一个空间几何体的主（正）视图、侧（左）视图都是周长为8、一个内角为60°的菱形及其一条对角线，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为
A．B．
C．D．
5．已知离心率为的曲线，其右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为
A．B．C．D．
6．若奇函数在区间上是增函数，又=0，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
7．设数列是等差数列，且是数列的前项和，则
A．B．
C．D．
8．已知直线、与函数图像的交点分别为、，与函数图像的交点分别为、，则直线与
A．相交，且交点在第一象限
B．相交，且交点在第二象限
C．相交，且交点在第四象限
D．相交，且交点在坐标原点
9．在右程序框图中，当N（n>1）时，函数表示函数的导函数.若输入函数，则输出的函数可化为
A．B．
C．D．
10．某宾馆有N间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：
每间客房的定价
220元
200元
180元
160元
每天的住房率
50℅
60℅
70℅
75℅
对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为
A．220元B．200元C．180元D．160元
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：
第11、12、13题为必做题（第13题前一空2分，后一空3分），每道试题考生都必须做答
11．已知向量，向量与方向相反，且，则实数．
12．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为辆．
13．数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：
则，若存在正整数，使，，则．
（二）选做题：
第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）已知点P是曲线为参数，上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点的直角坐标为．
15．（几何证明选讲选做题）如右图，、是两圆的交点，是小圆的直径，和分别是和的延长线与大圆的交点，已知，且，则=．
三、解答题：
本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知复数在复平面上对应的点为．
（Ⅰ）设集合，从集合中随机取一个数作为，从集合中随机取一个数作为，求复数为纯虚数的概率；
（Ⅱ）设，求点落在不等式组：
所表示的平面区域内的概率．
17．（本小题满分12分）
如图，已知点点为坐标原点，点在第二象限，且，记．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若科，求的面积．
18．（本小题满分14分）
在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若，，为的中点，求三棱锥的体积．
19．（本题满分14分）
已知函数，且其导函数的图像过原点．
（Ⅰ）当时，求函数的图像在处的切线方程；
（Ⅱ）若存在，使得，求的最大值；
（Ⅲ）当时，求函数的零点个数．
20．（本题满分14分）
已知等比数列的公比，且与的一等比中项为，与的等差中项为6．
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，，请比较与的大小；
（Ⅲ）数列中是否存在三项，按原顺序成等差数列？
若存在，则求出这三项；若不存在，则加以证明．
21．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且求证：
直线过定点，并求出该定点的坐标．
2009年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：
本大题每小题5分，满分50分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
C
B
C
B
D
D
C
C
二、填空题：
本大题每小题5分；第13题第一空2分,第二空3分;第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分），满分20分．
11．.12．76.13．，．14．．15．.
三、解答题：
本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知复数在复平面上对应的点为.
（Ⅰ）设集合，从集合中随机取一个数作为，从集合
中随机取一个数作为,求复数为纯虚数的概率；
（Ⅱ）设,求点落在不等式组：
所表示的平面区内的概率.
解：
（1）记“复数为纯虚数”为事件
∵组成复数的所有情况共有12个：
，，
，，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型.……2分
其中事件包含的基本事件共2个:
………4分
∴所求事件的概率为………………6分
（2）依条件可知,点均匀地分布在平面区域内,
属于几何概型.该平面区域的图形为右图中矩形围成的区域,面积为
……8分
所求事件构成的平面区域为,其图形如下图中的三角第16题图
形（阴影部分）
又直线与轴、轴的交点分别为,
所以三角形的面积为……10分
∴所求事件的概率为………………12分
17．（本小题满分12分）
如图,已知点点在第二象限，且，为坐标原点，记．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若,求的面积．
解：
（1）点的坐标为，
………………3分
……………6分
（2）（解法一）在中，，
，第17题图
，
………10分
的面积………………12分
（解法二）设，由，得
，………8分
解得：
，或
又点在第二象限，故.………10分
的面积………12分
18．（本小题满分14分）
在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.
（Ⅰ）求证：
;
（Ⅱ）若，,为的中点，求三棱锥的体积.
（Ⅰ）证明：
三棱柱为直三棱柱，
平面，
又平面，
------------------------------------------------------2分
平面，且平面，
.
又平面,平面,，
平面，----------------------------5分第18题图
又平面，
-----------------------------------7分
（2）在直三棱柱中，.
平面，其垂足落在直线上,
.
在中，，，,
在中，------------------------9分
由
（1）知平面，平面,从而
为的中点，-----------------------11分
---------------------14分
19.（本题满分14分）
已知函数，且其导函数的图像过原点.
（Ⅰ）当时,求函数的图像在处的切线方程;
（Ⅱ）若存在,使得,求的最大值；
（Ⅲ）当时，求函数的零点个数.
解:
由得,.---------------------2分
（Ⅰ）当时,,，,
所以函数的图像在处的切线方程为,即--------------------4分
（Ⅱ）存在,使得,
，，
当且仅当时，
所以的最大值为.9分
极大值
极小值
（Ⅲ）当时，的变化情况如下表：
-
---------11分
的极大值，的极小值
又，.
所以函数在区间内各有一个零点，
故函数共有三个零点。
--------------------14分
注：
①证明的极小值也可这样进行:
设，则
当时,,当时,,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,故函数在区间上的最大值为,从而的极小值.
②证明函数共有三个零点。
也可这样进行:
的极大值，的极小值,
当无限减小时，无限趋于当无限增大时，无限趋于
故函数在区间内各有一个零点，
故函数共有三个零点。
--------------------14分
20．（本题满分14分）
已知等比数列的公比,且与的一等比中项为,与的等差中项为.
（I）求数列的通项公式;
（Ⅱ）设为数列的前项和,,请比较与的大小；
（Ⅲ）数列中是否存在三项,按原顺序成等差数列?
若存在，则求出这三项；若不存在，则加以证明.
解:
（I）由题意得,解得或--------------------2分
由公比,可得.--------------------3分
故数列的通项公式为--------------------5分
（Ⅱ）,--------------------6分
，，
.--------------------8分
当或为正偶数时,--------------------9分
当正奇数且时,---------10分
（Ⅲ）假设数列中存在三项成等差数列,---------11分
则,即,---------12分
由知为奇数,为偶数,从而某奇数某偶数,产生矛盾.--
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