届高考一轮数学复习资料第三节 函数的奇偶性与周期性.docx

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届高考一轮数学复习资料第三节函数的奇偶性与周期性

第三节　函数的奇偶性与周期性

命题导航

课程标准（2017年版）

命题预测

　　1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.

2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.

　　1.考向预测:

以基本初等函数为载体考查函数的奇偶性、周期性与对称性,其中与函数单调性的交汇问题是考查的热点.

2.学科素养:

主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

　　1.函数的奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有①　f（-x）=f（x）　,那么函数f（x）是偶函数 

关于②　y轴　对称 

奇函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有③　f（-x）=-f（x）　,那么函数f（x）是奇函数 

关于④　原点　对称 

▶提醒　函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.

2.周期性

（1）周期函数:

对于函数y=f（x）,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有⑤　f（x+T）=f（x）　成立,那么就称函数y=f（x）为周期函数,T为这个函数的周期. 

（2）最小正周期:

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.

　　【常用结论】

1.函数奇偶性的常用结论

（1）如果函数f（x）是偶函数,那么f（x）=f（|x|）.

（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

（3）在公共定义域内有:

奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

2.函数周期性的常用结论

对f（x）定义域内任意一自变量x,

（1）若f（x+a）=-f（x）,则T=2a（a>0）;

（2）若f（x+a）=,则T=2a（a>0）;

（3）若f（x+a）=-,则T=2a（a>0）.

1.判断正误（正确的打“√”,错误的打“✕”）.

（1）若f（x）是定义在R上的奇函数,则f（-x）+f（x）=0.（　　）

（2）偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.（　　）

（3）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.（　　）

（4）若T是函数的一个周期,则nT（n∈Z,n≠0）也是函数的周期.（　　）

（5）若函数y=f（x+b）是奇函数,则函数y=f（x）的图象关于点（b,0）中心对称.（　　）

答案　

（1）√　

（2）✕　（3）√　（4）√　（5）√

2.下列函数中为偶函数的是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.y=x2sinxB.y=x2cosx

C.y=|lnx|D.y=2-x

答案　B

3.已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是（　　）

A.-B.C.D.-

答案　B

4.（教材习题改编）已知函数f（x）是奇函数,且当x>0时,f（x）=x2+,则f（-1）=　　　. 

答案　-2

5.设f（x）是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1）时,f（x）=则f=　　　　. 

答案　1

函数的奇偶性

命题方向一　奇偶性的判断

典例1　判断下列函数的奇偶性:

（1）f（x）=+;

（2）f（x）=;

　　（3）f（x）=

解析　

（1）由得x2=3,解得x=±,

即函数f（x）的定义域为{-,},

∴f（x）=+=0.

∴f（-x）=-f（x）且f（-x）=f（x）,

∴函数f（x）既是奇函数又是偶函数.

（2）由得函数的定义域为（-1,0）∪（0,1）,关于原点对称.

∴x-2<0,

∴|x-2|-2=-x,

∴f（x）=.

∵f（-x）===-f（x）,

∴函数f（x）为奇函数.

（3）显然函数f（x）的定义域为（-∞,0）∪（0,+∞）,关于原点对称.

∵当x<0时,-x>0,

则f（-x）=-（-x）2-x=-x2-x=-f（x）;

当x>0时,-x<0,

则f（-x）=（-x）2-x=x2-x=-f（x）.

综上可知,对于定义域内的任意x,总有f（-x）=-f（x）,

∴函数f（x）为奇函数.

方法技巧

（1）定义法:

（2）图象法:

函数是奇（偶）函数⇔函数图象关于原点（y轴）对称.

命题方向二　奇偶性的应用

典例2　

（1）已知函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R）,若f（a）=2,则f（-a）的值为（　　）

A.3B.0C.-1D.-2

（2）函数f（x）在R上为奇函数,且当x>0时,f（x）=x+1,则当x<0时,f（x）=　　　. 

答案　

（1）B　

（2）x-1

解析　

（1）设F（x）=f（x）-1=x3+sinx（x∈R）,显然F（x）为奇函数,又F（a）=f（a）-1=1,所以F（-a）=f（-a）-1=-F（a）=-1,从而f（-a）=0.

（2）∵当x<0时,-x>0,

∴f（x）=-f（-x）=-（-x+1）,

即当x<0时,f（x）=-（-x+1）=x-1.

方法技巧

　　利用函数的奇偶性可解决的4个问题

（1）求函数值:

将待求函数值利用函数的奇偶性转化到已知区间上求函数值.

（2）求解析式:

将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.

（3）求解析式中的参数:

利用待定系数法求解,根据f（x）±f（-x）=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.

（4）画函数图象:

利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象.

　　1-1　设函数f（x）,g（x）的定义域为R,且f（x）是奇函数,g（x）是偶函数,则下列结论中正确的是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.f（x）g（x）是偶函数B.|f（x）|g（x）是奇函数

C.f（x）|g（x）|是奇函数D.|f（x）g（x）|是奇函数

答案　C

1-2　（2019广州调研）已知函数f（x）=+a为奇函数,则实数a=　　　. 

答案　-

1-3　已知f（x）是奇函数,g（x）是偶函数,且f（-1）+g

（1）=2,f

（1）+g（-1）=4,则g

（1）=　　　. 

答案　3

解析　由题意知,f（-1）+g

（1）=2,

即-f

（1）+g

（1）=2①,

f

（1）+g（-1）=4,

即f

（1）+g

（1）=4②,

由①+②得,2g

（1）=6,即g

（1）=3.

函数的周期性及应用

典例3　

（1）设定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）,且当x∈[0,2）时,f（x）=2x-x2,则f（0）+f

（1）+f

（2）+…+f（2016）=　　　. 

（2）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f（x）=x3-x,则函数y=f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为　　　. 

答案　

（1）1008　

（2）7

解析　

（1）∵f（x+2）=f（x）,

∴函数f（x）的周期T=2,

又当x∈[0,2）时,f（x）=2x-x2,

所以f（0）=0,f

（1）=1,

所以f（0）=f

（2）=f（4）=…=f（2016）=0,

f

（1）=f（3）=f（5）=…=f（2015）=1.

故f（0）+f

（1）+f

（2）+…+f（2016）=1008.

（2）当0≤x<2时,

令f（x）=x3-x=x（x2-1）=0,

所以y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1.

当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f（x）的最小正周期为2,所以f（x-2）=f（x）,

所以f（x）=（x-2）（x-1）（x-3）,

所以当2≤x<4时,y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3.

同理可得,当4≤x<6时,y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5.

当x7=6时,也符合要求.

综上可知,共有7个交点.

方法技巧

　　函数周期性的判断与应用

（1）判断:

判断函数的周期性只需证明f（x+T）=f（x）（T≠0）,便可得函数是周期函数,且周期为T.

（2）应用:

根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在解决具体问题时,要注意结论:

若T是函数的周期,则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期.

　　2-1　已知函数f（x）的定义域为R.当x<0时,f（x）=x3-1;当-1≤x≤1时,f（-x）=-f（x）;当x>时,f=f,则f（6）=（　　）

A.-2B.-1C.0D.2

答案　D

2-2　已知f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x+4）=f（x-2）.若当x∈[-3,0]时,f（x）=6-x,则f（919）=　　　　. 

答案　6

解析　因为f（x+4）=f（x-2）,

所以f[（x+2）+4]=f[（x+2）-2],

即f（x+6）=f（x）,

所以f（x）是周期为6的周期函数,

所以f（919）=f（153×6+1）=f

（1）.

又f（x）是定义在R上的偶函数,

所以f

（1）=f（-1）=6,即f（919）=6.

函数性质的综合问题

命题方向一　单调性与奇偶性的综合问题

典例4　已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x）,且在区间[0,2]上是增函数,则（　　）

A.f（-25）

B.f（80）

C.f（11）

D.f（-25）

答案　D

解析　易知f（x-8）=-f（x-4）=f（x）,所以函数f（x）的周期T=8,又f（x）是R上的奇函数,所以f（0）=0.因为f（x）在[0,2]上是增函数,所以f（x）≥0,所以f（x）在[-2,0]上也是增函数,且f（x）≤0,

易知x∈[2,4]时,f（x）=-f（x-4）≥0,且f（x）为减函数.

同理f（x）在[4,6]上为减函数且f（x）≤0,从而可得y=f（x）的大致图象如图所示.

因为f（-25）=f（-1）<0,f（11）=f（3）>0,f（80）=f（0）=0.所以f（-25）

命题方向二　奇偶性与周期性的综合问题

典例5　（2018课标全国Ⅱ文,12,5分）已知f（x）是定义域为（-∞,+∞）的奇函数,满足f（1-x）=f（1+x）.若f

（1）=2,则f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（50）=（　　）

A.-50B.0C.2D.50

答案　C

解析　∵f（x）是定义域为R的奇函数,

∴f（0）=0,且f（-x）=-f（x）,①

又∵f（1-x）=f（1+x）,

∴f（-x）=f（2+x）,②

由①②得f（2+x）=-f（x）,③

∴f（4+x）=-f（2+x）,④

由③④得f（x）=f（x+4）,

∴f（x）的最小正周期为4,

对于f（1+x）=f（1-x）,

令x=1,得f

（2）=f（0）=0;

令x=2,得f（3）=f（-1）=-f

（1）=-2;

令x=3,得f（4）=f（-2）=-f

（2）=0.

故f

（1）+f

（2）+f（3）+f（4）=2+0-2+0=0,

所以f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（50）=12×0+f

（1）+f

（2）=0+2+0=2.故选C.

命题方向三　奇偶性与对称性的综合问题

典例6　（2019重庆九校模拟）已知奇函数f（x）的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f（x）=-x,则f（-16）=　　　　. 

答案　2

解析　根据题意可知,f（x）=f（6-x）,

又函数f（x）为奇