初升高数学衔接课程.docx

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初升高数学衔接课程

初升高中衔接教程

数学

第 1 讲数与式

1、理解并掌握乘法公式与因式分解

教学目标2、理解并掌握二次根式的运算与化简

3、理解并掌握繁分式的化简

乘法公式与因式分解

重点、难点

二次根式与分式

1、理解并掌握乘法公式与因式分解

考点及考试要求2、理解并掌握二次根式的运算与化简

3、理解并掌握繁分式的化简

教学内容

知识框架

⎧⎧乘法公式

⎪⎪

⎪

⎩

数与式⎨⎧公式法

⎪⎪

⎪

⎩

知识点一：

乘法公式

【内容概述】

【公式 1】（a + b + c） 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca

【公式 2】（a + b）（a 2 - ab + b 2 ） = a 3 + b 3 （立方和公式）

【公式 3】（a - b）（a 2 + ab + b 2 ） = a 3 - b 3 （立方差公式）

【公式 4】（a + b）3 = a3 + b3 + 3a 2b + 3ab 2 （请同学证明）

【公式 5】（a - b）3 = a3 - 3a 2b + 3ab2 - b3 （请同学证明）

【典型例题—1】：

第 1 页共 92 页

例 3.计算

（1）（3x + 2 y ）（9 x2 - 6 xy + 4 y 2 ）

（2）（2 x - 3）（4 x2 + 6 xy + 9）

变式 1：

利用公式计算

⎛ 111

⎝ 23 ⎭ 469

变式 2:

利用立方和、立方差公式进行因式分解

（1） 27m3 - n3

（2） 27m3 -

（3） x3 - 125 （4） m6 - n6

【典型例题—2】：

例 4.计算：

（1）（ m -

1 1 1 1

n）（ m 2 - mn + n 2 ）

2 25 10 4

例 5.已知 x2 - 3x + 1 = 0 ，求 x 3 +

x 3

的值．

例 6.已知 a + b + c = 0 ，求

1 1 1 1 1 1

a（ + ） + b（ + ） + c（ + ）的值．

b c c a a b

变式 1:

计算：

（ x + 1）（x - 1）（x 2 - x + 1）（x 2 + x + 1）．

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变式 2:

已知 a + b + c = 4 ， ab + bc + ac = 4 ，求 a 2 + b2 + c2 的值．

知识点二、根式

【内容概述】

式子 a （a ≥ 0）叫做二次根式，其性质如下：

（1）（ a ）2 = a（a ≥ 0）

（2） a2 =| a |

=（a > 0, b ≥ 0）

【典型例题—1】：

基本的化简、求值

例 7.化简下列各式：

（1）（ 3 - 2）2 + （ 3 - 1）2

（2）（1- x）2 + （2 - x）2 （ x ≥ 1）

例 8. 计算 4 + 2 3

变式 1:

二次根式 a2 = -a 成立的条件是（）

A． a > 0B． a < 0C． a ≤ 0D． a 是任意实数

变式 2:

若 x < 3 ，则 9 - 6 x + x2 - | x - 6 | 的值是（）

A．－３B．３C．－９D．９

变式 3：

计算 7 + 4 3

【说明】

1、二次根式的化简结果应满足：

①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2、二次根式的化简常见类型有下列两种：

第 3 页共 92 页

①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开

出来；

②分母中有根式（如3

2 b 2

x x

）．这时可将其化为形式（如可

化为x

化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．（如3

2 + 3

化为3（2 - 3）

【典型例题—2】：

有理化因式和分母有理化

有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代

数式叫做有理化因式。

如 a 与 a ；

a x + b y

与 a x - b y

互为有理化因式。

分母有理化：

在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

例 9.计算：

（1）（ a + b + 1）（1-a + b ） - （ a + b ）2

（2） a

a + ab

例 10.设 x =

2 + 3

2 - 3 , y =

2 - 3

2 + 3 ，求 x3 + y3 的值

知识点三、分式

【典型例题—1】：

分式的化简

x 2 + 3x + 96 xx - 1

例 11.化简例 12.化简

x3 - 279 x - x36 + 2 x

【典型例题—2】：

分式的证明

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x +

1 - x

x -

n（n + 1）nn + 1

（其中 n 是正整数）；

（2）计算：

1 1

+ +

9 ⨯10

；

（3）证明：

对任意大于1 的正整数n ，有

1 1

+ +

1 1

< ．

n（n + 1） 2

【典型例题—3】：

分式的运用

例 14.设 e =

，且 e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求 e 的值．

变式 1：

对任意的正整数 n，

n（n + 2）

= ______________-

变式 2:

选择题：

若

2 x - y 2 x

= ，则 =（）

x + y 3 y

546

（A）１（B）（C）（D）

455

变式 3:

计算

1 1 1 1

+ + + ... +

1⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 99 ⨯100

．

知识点四、因式分解

【内容概述】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。

在分式运算、解

方程及各种恒等变形中起着重要的作用。

是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方

公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等。

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【典型例题—1】：

公式法（立方和、立方差公式）

【内容概述】

我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

（a + b）（a 2 - ab + b2 ） = a3 + b3 （立方和公式）

（a - b）（a 2 + ab + b2 ） = a3 - b3 （立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

a3 + b3 = （a + b）（a 2 - ab + b2 ）a3 - b3 = （a - b）（a 2 + ab + b2 ）

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）。

运用

这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。

例 15.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

（1） 8 + x3

（2） 0.125 - 27b3

变式：

分解因式：

（1） 3a3b - 81b4

（2） a7 - ab6

【典型例题—2】：

分组分解法

【内容概述】

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项

以上的多项式，如ma + mb + na + nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多

项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．

分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：

（1）分组后能提取公因式

（2）分组后能直接运用公式

（1）分组后能提取公因式

例 16.把 2ax - 10ay + 5by - bx 分解因式。

变式：

把 ab（c2 - d 2 ） - （a 2 - b2 ）cd 分解因式。

（2）分组后能直接运用公式

例 17.把 x 2 - y 2 + ax + ay 分解因式。

变式：

把 2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 - 8 z 2 分解因式。

【典型例题—3】：

十字相乘法

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【内容概述】

（1） x2 + （ p + q） x + pq 型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③

一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵ x2 + （ p + q） x + pq = x2 + px + qx + pq = x（ x + p） + q（ x + p） = （ x + p）（ x + q），

运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式．

（2）一般二次三项式 ax 2 + bx + c 型的因式分解

由 a a x 2 + （a c + a c ） x + c c = （a x + c ）（a x + c ），我们发现，二次项系数a 分解成 a a ，

1 21 22 11 211221 2

a ⨯ c

如果它正好等于 ax 2 + bx + c 的一次项系数 b ，那么 ax 2 + bx + c 就可以分解成

（a x + c ）（a x + c ），其中 a , c 位于上一行， a , c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，

11221122

从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个

二次三项式能否用十字相乘法分解．

（1） x 2 + （ p + q） x + pq 型的因式分解

例 18.把下列各式因式分解：

（1） x 2 - 7 x + 6

（2） x2 + 13x + 36

例 19.把下列各式因式分解：

（1） x2 + 5x - 24

（2） x2 - 2 x - 15

例 20.把下列各式因式分解：

（1） x 2 + xy - 6 y 2

（2）（ x2 + x）2 - 8（ x 2 + x） + 12

（2）一般二次三项式 ax 2 + bx + c 型的因式分解

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例 21.把下列各式因式分解：

（1） 12 x2 - 5x - 2

（2） 5 x 2 + 6 xy - 8 y 2

变式练习:

（1）x2-6x+5

（2）x2+15x+56（3）x2+2xy-3y2

（4）（x2+x）2-4（x2+x）-12

【典型例题—3】：

其它因式分解的方法

（1）配方法

例 22.分解因式 x2 + 6 x - 16变式:

（1）x2+12x+20

（2）a4+a2b2+b4

（2）拆项法（选讲）

例 23.分解因式 x3 - 3x2 + 4

（3）其它方法（选讲）

例 24.（x2-5x+2）（x2-5x+4）-8

课后练习

1．填空：

（1）

1 1 1 1

a 2 - b2 = （ b + a）（）；

9 4 2 3

（2）（4 m +）2 = 16m2 + 4m + （）；

（3）（a + 2b - c）2 = a 2 + 4b2 + c 2 + （）．

（4）若（x - 2 y ）（x2 + 2 xy + 4 y 2 ）+ 8 y3 = 1 ，则 x, y 的值为________

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（5）若 x 2 + x + 1 = 0 ，则 x4 - x2 - 2 x - 1 = ______________

（6） a =， b =，则

3a2 - ab

3a2 + 5ab - 2b2

= ________________

x2 + 3xy + y 2

（7）若 x 2 + xy - 2 y 2 = 0 ，则= _______________

x2 + y 2

（8）若 -a - b - 2 ab =-b - -a ，则（）

（A） a < b（B） a > b（C） a < b < 0（D） b < a < 0

（9 ）计算 a - 1

等于（）

（A） -a（B）a（C） - -a（D） - a

13x + xy - 3 y

-= 2 ，则

xyx - xy - y

的值为（）

A． 3

5 C． -

9m + 10m- 2m2

325m

（2）

2 x - 2 y x - y

÷ （ x > y > 0）

x 2 x2 y

3．把下列各式分解因式：

（1） 3ax - 3ay + xy - y 2

（2） 8x3 + 4 x2 - 2 x - 1 （3） 5 x 2 - 15 x + 2 xy - 6 y

（4） 4 xy + 1 - 4 x 2 - y 2

（5） a 4b + a 3b 2 - a 2b 3 - ab 4

（6） x6 - y 6 - 2 x3 + 1

第 2 讲一元二次函数与二次不等式

教学目标1、能熟练掌握二次函数的图像，能够根据解析式快速画出函数的图像

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2、理解并掌握二次函数的三种表达式

3、理解并掌握二次函数的最值问题

4、能够根据二次函数、一元二次不等式不等式的关系解二次不等式

二次函数的最值问题

重点、难点

一元二次不等式的解法

考点及考试要求二次函数的最值与一元二次不等式的解法

教学内容

知识框架

1、二次函数的图像与性质2、二次函数的三种表达式

3、二次函数的最值问题4、一元二次不等式

知识点一、 y = ax2 + bx + c 的图像与性质

【内容概述】

1、当 a > 0 时，

函数 y = ax2 + bx + c 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直

线；

当

时，y 随着 x 的增大而；当时，y 随着 x 的增大而；

当时，函数取最小值．

2、当 a < 0 时，

函数 y = ax2 + bx + c 图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直

线；

当

时，y 随着 x 的增大而；当时，y 随着 x 的增大而；

当时，函数取最大值．

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，

可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

【典型例题】

例 1 . 求二次函数 y = -3x2 - 6 x + 1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值）并

指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？

并画出该函数的图象．

变式 1：

作出以下二次函数的草图

（1） y = x 2 - x - 6

（2） y = x 2 + 2 x + 1

（3） y = - x 2 + 1

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例 2 .某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）

之间关系如下表所示：

x /元

y/件

130

150

165

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价

应定为多少元？

此时每天的销售利润是多少？

例 3.把二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y＝x2 的

图像，求 b，c 的值．

知识点二、二次函数的三种表示方式

【内容概述】

1、一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

2、顶点式：

y＝a（x＋h）2＋k （a≠0），其中顶点坐标是（－h，k）．

3、交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

【典型例题】

例 4.已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y＝x＋1 上，并且图象经过点（3，－1），求

二次函数的解析式．

例 5.已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表

达式．

例 6.已知二次函数的图象过点（－1，－22），（0，－8），（2，8），求此二次函数的表达式．

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例 7.函数 y＝－x2＋x－1 图象与 x 轴的交点个数是（）

（A）0 个（B）1 个（C）2 个（D）无法确定

变式 1:

已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点（－1，0）和（2，0），则该二次函数的解析式可设为

y＝a（a≠0）．

变式 2：

二次函数 y＝－x2+2 3x＋1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为．

变式 3：

根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点（1，－2），（0，－3），（－1，－6）；

（2）当 x＝3 时，函数有最小值 5，且经过点（1，11）；

（3）函数图象与 x 轴交于两点（1－ 2，0）和（1＋ 2，0），并与 y 轴交于（0，－2）．

知识点三、二次函数的最值问题

【内容概述】

1．二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0）的最值．

二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况：

当 a > 0 时，函数在 x = -处取得最小值，无最大值；当 a < 0 时，函数在 x = -

2a2a

4ac - b2

处取得最大值，无最小值

2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步：

确定 a 的符号，a＞0 有最小值，a＜0 有最大值；

第二步：

配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：

y = ax 2 + bx + c 在 m ≤ x ≤ n （其中 m < n ）的最值．

第一步：

先通过配方，求出函数图象的对称轴：

x = x ；

第二步：

讨论：

（1）若 a > 0 时求最小值或 a < 0 时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于 m 即 x < m ，即对称轴在 m ≤ x ≤ n 的左侧；

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②对称轴 m ≤ x ≤ n ，即对称轴在 m ≤ x ≤ n 的内部；

③对称轴大于 n 即 x > n ，即对称轴在 m ≤ x ≤ n 的右侧。

（2）若 a > 0 时求最大值或 a < 0 时求最小值，需分两种情况讨论：

①对称轴 x ≤

m + n

，即对称轴在 m ≤ x ≤ n 的中点的左侧；

m + n

②对称轴 x >，即对称轴在 m ≤ x ≤ n 的中点的右侧；

说明：

求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置

【典型例题】

例 8.求下列函数的最大值或最小值．

（1） y = 2 x 2 - 3x - 5 ；

（2） y = - x 2 - 3x + 4

例 9.当1 ≤ x ≤ 2 时，求函数 y = - x 2 - x + 1 的最大值和最小值．

例 10.当 x ≥ 0 时，求函数 y = - x（2 - x）的取值范围．

例 11.当 t ≤ x ≤ t + 1时，求函数 y =

1 5

x2 - x - 的最小值（其中 t 为常数）．

2 2

变式 1：

设 a > 0 ，当 -1 ≤ x ≤ 1 时，函数 y = - x2 - ax + b + 1 的最小值是 -4 ，最大值是 0，求 a, b

的值．

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变式 2：

已知函数 y = x 2 + 2ax + 1 在 -1 ≤ x ≤ 2 上的最大值为 4，求 a 的值．

变式 3：

求关于 x 的二次函数 y = x 2 - 2tx + 1 在 -1 ≤ x ≤ 1 上的最大值（ t 为常数）．

变式 4：

已知函数 y＝－x2－2x＋3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小

值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：

（1）x≤－2；

（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

知识点四、一元二次不等式

【内容概述】

通过前面的学习，咱们已经掌握了根据二次函数的解析式画函数的图像，现在同学们根据图像

与 x 轴交点的个数分类，详细总结，然后对比二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关

系.（在黑板上画出表格的框架，让学生来填，引导学生自主找规律）

1、一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0或ax 2 + bx + c < 0（a ≠ 0）的解集：

设相应的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x 、x 且 x ≤ x ， ∆ = b 2 - 4ac ，

1212

则不等式的解的各种情况如下表：

∆> 0∆= 0∆< 0

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二次函数

y = ax 2 + bx + c

（ a > 0 ）的图象

一元二次方程

ax 2 + bx + c = 0

（a > 0 的根

ax 2 + bx + c > 0

（a > 0）的解集

ax 2 + bx + c < 0

（a > 0）的解集

2．简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式的方法：

对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注

意分母不为零.

3．含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为 ax > b 的形式：

（1）当 a > 0 时，不等式的解为：

x >

；

（2）当 a < 0 时，不等式的解为：

x <；

（3）当 a = 0 时，不等式化为：

0 ⋅ x > b ；

① 若 b > 0 ，则不等式的解是全体实数；

② 若 b ≤ 0 ，则不等式无解．

【典型例题】

例 12.解下列不等式：

（1） x2 + x - 6 > 0

（2）（ x - 1）（x + 2） ≥ （ x - 2）（2 x

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