最新人教版版初一数学上册第三章 一元一次方程 全单元教案设计含教学反思.docx

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最新人教版版初一数学上册第三章一元一次方程全单元教案设计含教学反思

3．1　从算式到方程

3．1.1　一元一次方程

教学目标

1．通过现实生活中的例子，体会方程的意义，领悟一元一次方程的概念，并会进行简单的辨别；（重点）

2．初步学会找实际问题中的等量关系，设出未知数，列出方程．（重点，难点）

教学过程

一、情境导入

问题：

一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A，B两地间的路程是多少？

1．若用算术方法解决应怎样列算式？

2．如果设A，B两地相距xkm，那么客车从A地到B地的行驶时间为________，货车从A地到B地的行驶时间为________．

3．客车与货车行驶时间的关系是____________．

4．根据上述关系，可列方程为____________．

5．对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？

如果能，你依据的是哪个相等关系？

二、合作探究

探究点一：

方程的概念

判断下列各式是不是方程；若不是，请说明理由．

（1）4×5＝3×7－1；　

（2）2x＋5y＝3；

（3）9－4x＞0；　（4）

＝

；　（5）2x＋3.

解析：

根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可．

解：

（1）不是，因为不含有未知数；

（2）是方程；

（3）不是，因为不是等式；

（4）是方程；

（5）不是，因为不是等式．

方法总结：

本题考查的是方程的概念，方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．

探究点二：

一元一次方程的概念

【类型一】一元一次方程的辨别

下列方程中是一元一次方程的有（　　）

A．x＋3＝y＋2

B．1－3（1－2x）＝－2（5－3x）

C．x－1＝

D.

－2＝2y－7

解析：

A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B.化简后含有未知数项可以消去，不是方程，错误；C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误；D.符合一元一次方程的定义，正确．故选D.

方法总结：

判断一元一次方程需满足三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的次数是1；（3）是整式方程．

【类型二】利用一元一次方程的概念求字母次数的值

方程（m＋1）x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程，则（　　）

A．m＝±1　　　　B．m＝1

C．m＝－1D．m≠－1

解析：

由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以

，

解得m＝1.故选B.

方法总结：

解决此类问题要明确：

若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可求方程中相关字母的值．

探究点三：

方程的解

下列方程中，解为x＝2的方程是（　　）

A．3x－2＝3　　B．－x＋6＝2x

C．4－2（x－1）＝1　　D.

x＋1＝0

解析：

A.当x＝2时，左边＝3×2－2＝4≠右边，错误；B.当x＝2时，左边＝－2＋6＝4，右边＝2×2＝4，左边＝右边，即x＝2是该方程的解，正确；C.当x＝2时，左边＝4－2×（2－1）＝2≠右边，错误；D.当x＝2时，左边＝

×2＋1＝2≠右边，错误．故选B.

方法总结：

检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等．

探究点四：

列方程

某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为（　　）

A．1.2×0.8x＋2×0.9（60＋x）＝87

B．1.2×0.8x＋2×0.9（60－x）＝87

C．2×0.9x＋1.2×0.8（60＋x）＝87

D．2×0.9x＋1.2×0.8（60－x）＝87

解析：

设铅笔卖出x支，根据“铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元”，得出等量关系：

x支铅笔的售价＋（60－x）支圆珠笔的售价＝87，据此列出方程为1.2×0.8x＋2×0.9（60－x）＝87.故选B.

方法总结：

解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到题目当中的等量关系，列方程．

三、板书设计

1．方程的定义

2．一元一次方程：

只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的整式方程叫做一元一次方程．

3．列方程解决实际问题的步骤：

①设未知数（用字母）

②找等量关系（表示出相关的量）

③列出方程

教学反思

本课首先用实际问题引入课题，然后运用算术的方法给出解答．在各环节的安排上都设计成一个个的问题，使学生能围绕问题展开思考、讨论．通过本节的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步，渗透化未知为已知的重要数学思想．使学生体会到数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决；从而激发学生学习数学的热情．

3.1　从算式到方程

3.1.1　一元一次方程

教学目标:

1.通过处理实际问题,让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步.

2.初步学会如何寻找问题中的相等关系,列出方程,了解方程的概念.

3.理解一元一次方程、方程的解等概念.

4.掌握检验某个值是不是方程的解的方法.

教学重难点:

寻找相等关系,列出方程.

教学过程:

一、情境引入

提出课本P78的问题,可用多媒体演示题目描述的行驶情境.

1.理解题意:

客车比卡车早1小时经过B地,从这句话中可知客车、卡车行驶的路程和时间分别有什么关系?

2.能否列算式求出A、B两地之间的路程,要求能够解释列出的算式表示的实际意义.

3.提出问题,如果用字母x表示A、B两地的路程,根据题意会得到一个什么样的式子?

二、学习新知

1.引导学生把题中的数量用表格形式反映题意:

路程（km）

速度（km/h）

时间（h）

卡车

x

60

客车

x

70

　　2.学生回顾方程的概念,探讨、列出方程,并说出列得方程的依据.

3.讨论列出方程表示的意义,并对比算术方法,体会列方程解决问题与列算式解决问题的优越性.

4.反思:

这个问题中除了A、B两地的路程是一个未知量,还有没有其它的量是未知的?

如果还有其它的量是未知的,能否用字母（或未知数y）表示这个未知量,列出与前面不同的方程呢?

学生分组讨论.

5.将题中的已知量和未知量用表格列出:

路程（km）

速度（km/h）

时间（h）

卡车

60

y

客车

70

y-1

　　6.探讨:

①列出关于y的方程;②解释这个方程表示的实际意义（或列出这个方程的依据）;③如何求题目问题:

A、B之间的路程.

7.总结以上列出两个含不同未知数x、y的方程的方法:

①以路程为未知数,则根据两车行驶时间的关系列方程.②以行驶时间为未知数,则从两车行驶路程的关系列方程.

8.比较列算式和列方程两种方法的特点:

阅读课本P79.

9.举一反三:

分别列算式和设未知数列方程解决下列问题:

（1）某数与它的的和是8,求这个数;

（2）班上有女生32人,比男生多,求男生人数;

（3）公园购回一批风景树,其中桂花树占总数的,樟树比桂花树的棵数多,杉树比前两种树木的棵数和还多12棵,求这批树木总共多少棵?

三、初步应用

1.例1:

课本P79例1.

例2（补充）:

根据下列条件,列出关于x的方程:

（1）x与18的和等于54;

（2）27与x的差的一半等于x的4倍.

列出方程后教师说明:

“4x”表示4与x的积,当乘数中有字母时,通常省略乘号“×”,并把数字乘数写在字母乘数的前面.

2.练习（补充）

（1）列式表示:

①比a小9的数;　　②x的2倍与3的和;

③5与y的差的一半;④a与b的7倍的和.

（2）根据下列条件,列出关于x的方程:

①12与x的差等于x的2倍;

②x的三分之一与5的和等于6.

二、自主尝试

1.尝试:

让学生尝试解答课本P79的例1.

2.交流:

在学生基本完成解答的基础上,请几名学生汇报所列的方程,并解释方程等号左右两边式子的含义.

3.教师在学生回答的基础上作补充讲解,并强调:

（1）方程等号两边表示的是同一个量;

（2）左右两边表示的方法不同.

4.讨论:

问题1:

在第

（1）题中,你还能用两种不同的方法来表示另一个量,再列出方程吗?

问题2:

在第（3）题中,你还能设其它的未知数为x吗?

5.建立概念

（1）概念的建立:

在学生观察上述方程的基础上,教师进行归纳:

各方程都只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.

“一元”:

一个未知数;“一次”:

未知数的指数是一次.

判断下列方程是不是一元一次方程:

①23-x=-7;　②2a-b=3;

③y+3=6y-9;④0.32m-（3+0.02m）=0.7.

（2）引导学生归纳:

从上面的分析过程我们可以发现,用方程的方法来解决实际问题,一般要经历哪几个步骤?

在学生回答的基础上,教师用方框表示:

实际问题

一元一次方程

分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.

三、课时小结

对于本节课的学习,你有什么收获?

四、课堂作业

1.x=3是下列哪个方程的解（　　）

A.3x-1-9=0　　　　B.x=10-4x

C.x（x-2）=3D.2x-7=12

2.方程=6的解是（　　）

A.-3B-

C.12D.-12

3.已知x-5与2x-4的值互为相反数,列出关于x的方程.

4.某班开展为贫困山区学校捐书活动,捐的书比平均每人捐3本多21本,比平均每人捐4本少27本,求这个班共有多少名学生?

如果设这个班有x名学生,请列出关于x的方程.

第三章一元一次方程

3.1从算式到方程

3.1.2等式的性质

教学目标

1.利用等式的基本性质对等式进行变形.

2.会用等式的性质解简单的一元一次方程；

教学过程

一、情境导入

同学们，你们玩过跷跷板吗?

它有什么特征?

翘翘板的两边增加的量之间到底满足什么关系时，翘翘板才能保持平衡?

二、合作探究

探究点一：

应用等式的性质对等式进行变形.

例1：

用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式．

（1）如果2x+7=10，那么2x=10-_______；

（2）如果-3x=8，那么x=________；

（3）如果x−

＝y−

，那么x=_____；

（4）如果

＝2，那么a=_______．

解析：

（1）根据等式的基本性质

（1），在等式两边同时减去7可得2x=10-7；

（2）根据等式的基本性质

（2），在等式两边同时除以-3可得x=

；

（3）根据等式的基本性质

（1），在等式两边同时加上

可得x=y；

（4）根据等式的基本性质

（2），在等式两边同时乘以4可得a=8．

故答案为：

7，-83，y，8．

方法总结：

运用等式的性质，可以将等式进行变形，变形时等式两边必须同时进行完全相同的四则运算，否则就会破坏原来的相等关系。

例2：

已知mx=my，下列结论错误的是（　　）

A．x=yB．a+mx=a+my

C．mx-y=my-yD．amx=amy

解析：

A、等式的两边都除以m，根据等式性质2，m≠0，而A选项没有说明，故A错误；B、符合等式的性质1，正确．C、符合等式的性质1，正确．D、符合等式的性质1，正确．故选A．

方法总结：

本题主要考查等式的基本性质．在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，这里的数或字母没有条件限制，但是在等式的两边同时乘以或除以同一个数或字母时，这里的数或字母必须不为0．

探究点二：

利用等式的性质解方程

例3：

用等式的性质解下列方程：

（1）4x+7=3；

（2）

x-

x=4．

解析：

（1）在等式的两边都加或都减7，再在等式的两边都除以4，可得答案；

（2）在等式的两边都乘以6，在合并同类项，可得答案．

解：

（1）方程两边都减7，得4x=-4．

方程两边都除以4，得x=-1．

（2）方程两边都乘以6，得3x-2x=24，

x=24．

方法总结：

解方程时，一般先将方程变形为ax=b的形式，然后再变形为x=c的形式。

三、板书设计

1.等式的性质1：

等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式．

即如果a＝b，那么a±c＝b±c．

2.等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式.

即如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么

.

3.利用等式的基本性质解一元一次方程

教学反思

本节课采用从生活中的跷跷板入手，激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。

利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。

力求在整个探究学习的过程充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。

3.1.2等式的性质

教学目标:

1.了解等式的两条性质.

2.会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程.

3.渗透“化归”的思想.

教学重点:

理解和应用等式的性质.

教学难点:

应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”.

教学过程:

一、提出问题

用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗?

（1）3x-5=22;　

（2）0.28-0.13y=0.27y+1.

第

（1）题要求学生给出解答,第

（2）题较复杂,估算比较困难,此时教师提出:

我们必须学习解一元一次方程的其他方法.

二、探究新知

1.实验演示:

教师先提出实验的要求,请同学们仔细观察实验的过程,思考能否从中发现的规律,再用自己的语言叙述你发现的规律,然后按课本P81图3.1-1的方法演示.教师可以进行两次不同的实验.

2.归纳:

请几名学生回答前面的问题.

3.表示:

问题1:

你能用文字来叙述等式的这个性质吗?

在学生回答的基础上,教师必须说明:

等式两边加上的可以是同一个数,也可以是同一个式子.

问题2:

等式一般可以用a=b来表示.等式的性质1怎样用式子的形式来表示?

如果a=b,那么a±c=b±c.

字母a、b、c可以表示具体的数,也可以表示一个式子.

4.拓展:

观察课本P81图3.1-2,你又能发现什么规律?

你能用实验加以验证吗?

然后让学生用两种语言表示等式的性质2.

如果a=b,那么ac=bc;

如果a=b（c≠0）,那么=.

　　问题3:

你能再举几个运用等式性质的例子吗?

5.应用举例:

方程是含有未知数的等式,我们可以运用等式的性质来解方程.

例1:

课本P82例2

分析:

所谓“解方程”,就是要求出方程的解“x=?

”,因此我们需要把方程转化为“x=a（a为常数）”的形式.

问题1:

怎样才能把方程x+7=26转化为“x=a”的形式?

问题2:

式子“-5x”表示什么?

我们把其中的-5叫做这个式子的系数.你能运用等式的性质把方程-5x=20转化为“x=a”的形式吗?

例2（补充）:

小涵的妈妈从商店买回一条裤子,小涵问妈妈:

“这条裤子需要多少钱?

”妈妈说:

“按标价的八折是36元.”你知道标价是多少元吗?

要求学生尝试用列方程的方法进行解答.在学生基本完成的情况下,教师给出示范.

三、课堂练习

1.分别说出下列各式的系数:

3x,-7m,,a,-x,.

2.利用等式的性质解下列方程.

（1）x-5=6;　　

（2）0.3x=45;

（3）-y=0.6;（4）y=-2.

3.七年级3班有18名男生,占全班人数的45%,求七年级3班的学生人数.

四、课时小结

谈谈对“化归”思想的认识.

3．2　解一元一次方程

（一）——合并同类项与移项

第1课时　用合并同类项的方法解一元一次方程

教学目标

1．会利用合并同类项的方法解一元一次方程；（重点）

2．通过对实例的分析、体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用．（难点）

教学过程

一、情境导入

1．等式的基本性质有哪些？

2．解方程：

（1）x－9＝8；　

（2）3x＋1＝4.

3．下列各题中的两个项是不是同类项？

（1）3xy与－3xy；　　

（2）0.2ab与0.2ab；

（3）2abc与9bc;（4）3mn与－nm；

（5）4xyz与4xyz;（6）6与x.

4．能把上题中的同类项合并成一项吗？

如何合并？

5．合并同类项的法则是什么？

依据是什么？

二、合作探究

探究点一：

利用合并同类项解简单的一元一次方程

解下列方程：

（1）9x－5x＝8；

（2）4x－6x－x＝15.

解析：

先将方程左边的同类项合并，再把未知数的系数化为1.

解：

（1）合并同类项，得4x＝8.

系数化为1，得x＝2.

（2）合并同类项，得－3x＝15.

系数化为1，得x＝－5.

方法总结：

解方程的实质就是利用等式的性质把方程变形为x＝a的形式．

探究点二：

根据“总量＝各部分量的和”列方程解决问题

足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目的比为3∶5，一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少个？

解析：

遇到比例问题时可设其中的每一份为x，本题中已知黑、白皮块数目比为3∶5，可设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个，然后利用相等关系“黑色皮块数＋白色皮块数＝32”列方程．

解：

设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个，

根据题意列方程3x＋5x＝32，

解得x＝4，

则黑色皮块有3x＝12（个），

白色皮块有5x＝20（个）．

答：

黑色皮块有12个，白色皮块有20个．

方法总结：

解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．此题的关键是要知道相等关系为：

黑色皮块数＋白色皮块数＝32，并能用x和比例关系把黑皮与白皮的数量表示出来．

三、板书设计

1．用合并同类项的方法解简单的一元一次方程．

解方程的步骤：

（1）合并同类项；

（2）系数化为1（等式的基本性质2）．

2．找等量关系列一元一次方程．

列方程解应用题的步骤：

（1）设未知数；

（2）分析题意找出等量关系；

（3）根据等量关系列方程；

（4）解方程并作答．

教学反思

本节从复习入手，帮助学生回顾合并同类项的相关知识，为学习用合并同类项解方程做好铺垫．教学中采用引导发现的方法，课堂训练中鼓励自己动手，体现学生在课堂上的主体地位；整个教学过程中充分调动学生学习积极性，培养学生合作学习，主动探究的习惯．

3.2　解一元一次方程

（一）——合并同类项与移项

第1课时用合并同类项的方法解一元一次方程

教学目标:

1.经历运用方程解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效数学模型.

2.学会合并同类项,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程.

3.能够找出实际问题中的已知数和未知数,分析它们之间的数量关系,列出方程.

教学重点:

建立方程解决实际问题,会解“ax+bx=c”类型的一元一次方程.

教学难点:

分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程.

教学过程:

一、设置情境,提出问题

（出示背景资料）约公元820年,中亚细亚的数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书,重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢?

通过下面几节课的学习讨论,相信同学们一定能回答这个问题.

出示课本P86问题1:

某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机?

二、探索分析,解决问题

引导学生回忆:

实际问题

一元一次方程

设问1:

如何列方程?

分哪些步骤?

师生讨论分析:

（1）设未知数:

前年这个学校购买计算机x台;

（2）找相等关系:

前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台.

（3）列方程:

x+2x+4x=140.

设问2:

怎样解这个方程?

如何将这个方程转化为“x=a”的形式?

学生观察、思考:

根据分配律,可以把含x的项合并,即

x+2x+4x=（1+2+4）x=7x

老师板演解方程过程:

略.

为帮助有困难的学生理解,可以在上述过程中标上箭头和框图.

设问3:

在以上解方程的过程中“合并”起了什么作用?

每一步的根据是什么?

学生讨论回答,师生共同整理:

“合并”是一种恒等变形,它使方程变得简单,更接近“x=a”的形式.

三、拓广探索,比较分析

学生思考回答:

若设去年购买计算机x台,得方程

+x+2x=140.

若设今年购买计算机x台,得方程

++x=140.

课本P87例2.

问题:

①每相邻两个数之间有什么关系?

②用x表示其中任意一个数,那么与x相邻的两个数怎样表示?

③根据题意列方程解答.

四、综合应用,巩固提高

1.课本P88练习第1,2题.

2.一个黑白足球的表面一共有32个皮块,其中有若干块黑色五边形和白色六边形,黑、白皮块的数目之比为3:

5,问黑色皮块有多少?

（学生思考、讨论出多种解法,师生共同讲评.）

3.有一列数按一定规律排成-1,2,-4,8,-16,32,……,其中某三个相邻数的和是-960.求这三个数.

五、课时小结

1.你今天学习的解方程有哪些步骤,每一步的依据是什么?

2.今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点?

学生思考后回答、整理:

解方程的步骤及依据分别是:

合并和系数化为1;总量=各部分量的和.

第2课时　用移项的方法解一元一次方程

教学目标

1．掌握移项变号的基本原则；（重点）

2．会利用移项解一元一次方程；（重点）

3．会抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题．（难点）

教学过程

一、情境导入

上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：

一边是含有未知数的项，一边是常数项．这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答．那么像3x＋7＝32－2x这样的方程怎么解呢？

二、合作探究

探究点一：

移项法则

通过移项将下列方程变形，正确的是（　　）

A．由5x－7＝2，得5x＝2－7

B．由6x－3＝x＋4，得3－6x＝4＋x

C．由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8

D．由x＋9＝3x－1，得3x－x＝－1＋9

解析：

A.由5x－7＝2，得5x＝2＋7，故选项错误；B.由6x－3＝x＋4，得6x－x＝3＋4，故选项错误；C.由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8，故选项正确；D.由x＋9＝3x－1，得3x－x＝9＋1，故选项错误．故选C.

方法总结：

①所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这个方程的一边变换两项的位置．②移项时要变号，不变号不能移项．

探究点二：

用移项解一元一次方程

解下列方程：

（1）－x－4＝3x；　

（2）5x－1＝9；

（3）－4x－8＝4;（4）0.5x－0.7＝6.5－1.3x.

解析：

通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可．

解：

（1）移项得－x－3x＝4，

合并同类项得－4x＝4