高考数学一轮配套学案讲解《简单的逻辑联结词全称量词与存在量词》苏教版.docx

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高考数学一轮配套学案讲解《简单的逻辑联结词全称量词与存在量词》苏教版

§1.3　量词与逻辑联结词

1．全称量词

我们把表示全体的量词称为全称量词．

对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符合“∀”表示．

含有全称量词的命题，称为全称命题．如“对任意实数x∈M，都有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．

2．存在量词

我们把表示部分的量词称为存在量词．

对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”“有个”“某个”“有些”“有的”等词，用符号“∃”表示．

含有存在量词的命题称为存在性命题．“存在实数x∈M，使p（x）成立”简记成“∃x∈M，p（x）”．

3．简单逻辑联结词有或（符号为∨），且（符号为∧），非（符号为綈）．

4．命题的否定：

“∀x∈M，p（x）”与“∃x∈M，綈p（x）”互为否定．

5．复合命题的真假：

对p且q而言，当p，q均为真时，其为真；当p，q中有一个为假时，其为假．对p或q而言，当p，q均为假时，其为假；当p，q中有一个为真时，其为真；当p为真时，綈p为假；当p为假时，綈p为真．

1．判断下面结论是否正确（请在括号内打“√”或“×”）

（1）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．（　×　）

（2）已知命题p：

∃n0∈N,2n0>1000，则綈p：

∃n∈N,2n0≤1000.（　×　）

（3）命题p和綈p不可能都是真命题．（　√　）

（4）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．（　×　）

（5）若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．（　√　）

2．命题“对于函数f（x）＝x2＋

（a∈R），∃a∈R，使得f（x）是偶函数”是________命题．（填“真”或“假”）

答案　真

解析　∵a＝0时，f（x）＝x2为偶函数，

∴命题为真命题．

3．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．

答案　存在x0∈R，使得x

<0

解析　因为“∀x∈M，p（x）”的否定是“∃x∈M，綈p（x）”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x

<0”．

4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．

答案　（綈p）∨（綈q）

解析　“至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝（綈p）∨（綈q）．

5．若命题“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．

答案　[－4,0]

解析　“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，

∴－4≤m≤0

题型一　含有一个量词的命题的否定

例1

　写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p：

∀x∈R，x2－x＋

≥0；

（2）q：

所有的正方形都是矩形；

（3）r：

∃x0∈R，x

＋2x0＋2≤0；

（4）s：

至少有一个实数x0，使x

＋1＝0.

思维启迪　本题考查命题的否定形式，要分析其是全称命题还是存在性命题，要抓住本质，然后根据其否定形式来判断其真假．

解　

（1）綈p：

∃x0∈R，x

－x0＋

<0，假命题．

（2）綈q：

至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

（3）綈r：

∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．

（4）綈s：

∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

思维升华　全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．

　写出下列命题的否定，并判断真假：

（1）正方形都是菱形；

（2）存在x∈R，使4x－3>x；

（3）任意x∈R，x＋1＝2x.

解　

（1）命题的否定：

正方形不都是菱形．假命题．

（2）命题的否定：

任意x∈R,4x－3≤x.

∵x＝2时，4×2－3＝5>2，

∴“任意x∈R,4x－3≤x”是假命题．

（3）命题的否定：

存在x∈R，使x＋1≠2x.

∵x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，

∴“存在x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．

题型二　含有逻辑联结词命题的真假判断

例2

　命题p：

将函数y＝sin2x的图象向右平移

个单位得到函数y＝sin

的图象；命题q：

函数y＝sin

cos

的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”为真命题的个数是________．

思维启迪　先判断命题p、q的真假，然后利用真值表判断p∨q、p∧q、綈p的真假．

答案　2

解析　函数y＝sin2x的图象向右平移

个单位后，

所得函数为y＝sin

＝sin

，

∴命题p是假命题．

又y＝sin

cos

＝sin

cos

＝sin2

＝

－

cos

，

∴其最小正周期为T＝

＝π，

∴命题q真．

由此，可判断命题“p∨q”真，“p∧q”假，“綈p”真．

思维升华　“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤：

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假．

　若命题p：

函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：

函数y＝x－

的单调递增区间是[1，＋∞），则p∧q为________命题．（填“真”或“假”）

答案　假

解析　因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），

所以p是真命题；

因为函数y＝x－

的单调递增区间是（－∞，0）和（0，＋∞），

所以q是假命题．

所以p∧q为假命题．

题型三　逻辑联结词与命题真假的应用

例3

　已知p：

∃x∈R，mx2＋1≤0，q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为________．

（2）已知命题p：

“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：

“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

思维启迪　利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围．

答案　

（1）m≥2　

（2）[e,4]

解析　

（1）依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得

，即m≥2.

（2）若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex,得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.

思维升华　以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可．

（1）已知命题p：

“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：

“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

（2）命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

答案　

（1）{a|a≤－2或a＝1}　

（2）[－2

，2

]

解析　

（1）由题意知，p：

a≤1，q：

a≤－2或a≥1，

∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，∴a≤－2或a＝1.

（2）因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2

≤a≤2

.

借助逻辑联结词求解参数范围

典例：

（14分）已知c>0，且c≠1，设p：

函数y＝cx在R上单调递减；q：

函数f（x）＝x2－2cx＋1在

上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

思维启迪　

（1）p、q都为真时，分别求出相应的a的取值范围；

（2）用补集的思想，求出綈p、綈q分别对应的a的取值范围；（3）根据“p且q”为假、“p或q”为真，确定p、q的真假．

规范解答

解　∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0

即p：

00且c≠1，∴綈p：

c>1.[3分]

又∵f（x）＝x2－2cx＋1在

上为增函数，∴c≤

.

即q：

0

，∵c>0且c≠1，∴綈q：

c>

且c≠1.[5分]

又∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假或p假q真．[7分]

①当p真，q假时，

{c|0

＝

.[9分]

②当p假，q真时，{c|c>1}∩

＝∅.[12分]

综上所述，实数c的取值范围是

.[14分]

第一步：

求命题p、q对应的参数的范围．

第二步：

求命题綈p、綈q对应的参数的范围．

第三步：

根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p且q”或“p或q”．

第四步：

根据新命题的真假，确定参数的范围．

第五步：

反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．

温馨提醒　解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．

答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.

方法与技巧

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．

2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．

失误与防范

1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．

2．p或q的否定：

非p且非q；p且q的否定：

非p或非q.

3．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.

A组　专项基础训练

一、填空题

1．设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图象关于直线x＝

对称．则p∧q为________命题．（填“真”或“假”）

答案　假

解析　p是假命题，q是假命题，因此p∧q为假命题．

2．下列命题中的真命题是________．（填序号）

①∃x0∈R，lgx0＝0；

②∃x0∈R，tanx0＝1；

③∀x∈R，x3>0；

④∀x∈R,2x>0.

答案　①②④

解析　对于①，当x0＝1时，lgx0＝0，正确；对于②，当x0＝

时，tanx0＝1，正确；对于③，当x<0时，x3<0，错误；对于④，∀x∈R,2x>0，正确．

3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是______________________________．

答案　任意一个无理数，它的平方不是有理数

4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：

∀x∈A,2x∈B，则綈p为________．

答案　∃x∈A,2x∉B

解析　命题p：

∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B.

5．下列命题中，真命题为________．（填序号）

①∃x0∈

，sinx0＋cosx0≥2；

②∀x∈（3，＋∞），x2>2x＋1；

③∃x0∈R，x

＋x0＝－1；

④∀x∈

，tanx>sinx.

答案　②

解析　对于①，

∀x∈

，sinx＋cosx＝

sin

≤

，

∴此命题为假命题；

对于②，当x∈（3，＋∞）时，x2－2x－1＝（x－1）2－2>0，

∴此命题为真命题；

对于③，∀x∈R，x2＋x＋1＝

2＋

>0，

∴此命题为假命题；

对于④，当x∈

时，tanx<0

∴此命题为假命题．故只有②正确．

6．下列结论正确的个数是________．

①命题p：

“∃x0∈R，x

－2≥0”的否定为綈p：

“∀x∈R，x2－2<0”；

②若綈p是q的必要条件，则p是綈q的充分条件；

③“M>N”是“

M>

N”的充分不必要条件．

答案　2

解析　对于①，易知①是正确的；对于②，由“綈p是q的必要条件”知，q可推知綈p，则p可推知綈q（注：

互为逆否的两个命题的真假性一致），因此p是綈q的充分条件，②正确；对于③，由M>N不能得到

M>

N，因此③是错误的．

7．若命题p：

关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－

}，命题q：

关于x的不等式（x－a）（x－b）<0的解集是{x|a

答案　綈p、綈q

解析　依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真．

8．下列结论：

①若命题p：

∃x∈R，tanx＝1；命题q：

∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命题；

②已知直线l1：

ax＋3y－1＝0，l2：

x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是

＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：

“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．

其中正确结论的序号为________．

答案　①③

解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，

所以p∧綈q为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；

③正确．所以正确结论的序号为①③.

二、解答题

9．若p：

sinx＋cosx>m，q：

x2＋mx＋1>0，如果∀x∈R，p为假命题，且q为真命题，求实数m的取值范围．

解　由于sinx＋cosx＝

·sin

∈[－

，

]，对于∀x∈R，p为假命题，则∃x0∈R，使sinx＋cosx≤m为真命题．故m≥－

.又由∀x∈R，q为真命题，即不等式x2＋mx＋1>0，所以Δ＝m2－4<0，解得－2

≤m<2.

10．已知c>0，设命题p：

函数y＝cx为减函数．命题q：

当x∈

时，函数f（x）＝x＋

>

恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．

解　由命题p为真知，0

由命题q为真知，2≤x＋

≤

，

要使此式恒成立，需

<2，即c>

，

若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，

则p、q中必有一真一假，

当p真q假时，c的取值范围是0

；

当p假q真时，c的取值范围是c≥1.

综上可知，c的取值范围是

.

B组　专项能力提升

1．下列命题中的真命题是________．（填序号）

①∀x∈R,2x－1>0；

②∀x∈N*，（x－1）2>0；

③∃x∈R，lgx<1；

④∃x∈R，tanx＝2.

答案　①③④

解析　①正确；对于②，当x＝1时，（x－1）2＝0，错误；

对于③，当x∈（0,1）时，lgx<0<1，正确；

对于④，∃x∈R，tanx＝2，正确．

2．设有两个命题，p：

不等式

＋

>a的解集为R；q：

函数f（x）＝－（7－3a）x在R上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是________．

答案　1≤a<2

解析　记A＝{a|不等式

＋

>a的解集为R}；

B＝{a|f（x）＝－（7－3a）x在R上是减函数}．

由于函数y＝

＋

的最小值为1，故A＝{a|a<1}．

又因为函数f（x）＝－（7－3a）x在R上是减函数，

故7－3a>1，即a<2，所以B＝{a|a<2}．

要使这两个命题中有且只有一个真命题，a的取值范围为[（∁RA）∩B]∪[（∁RB）∩A]，

而（∁RA）∩B＝[1，＋∞）∩（－∞，2）＝[1,2），

（∁RB）∩A＝[2，＋∞）∩（－∞，1）＝∅，

因此[（∁RA）∩B]∪[（∁RB）∩A]＝[1,2）．

3．已知命题p：

“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是__________．

答案　（－∞，1]

解析　若綈p是假命题，则p是真命题，

即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，

由于m＝－（4x－2·2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，∴m≤1.

4．下列四个命题：

①∀x∈R，x2＋x＋1≥0；

②∀x∈Q，

x2＋x－

是有理数；

③∃α，β∈R，使sin（α＋β）＝sinα＋sinβ；

④∃x，y∈Z，使3x－2y＝10.

所有真命题的序号是________．

答案　①②③④

解析　①②显然正确；③中，若α＝

，β＝0，

则sin（α＋β）＝1，sinα＋sinβ＝1＋0＝1，

等式成立，∴③正确；

④中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，

∴④正确，故填①②③④.

5．设p：

关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：

函数y＝

的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________________．

答案　

∪[1，＋∞）

解析　根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P＝{a|0

对于命题q：

函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．

当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；

当a≠0时，不等式恒成立的条件是

，解得a≥

.

所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥

}．

由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，

当p真q假时，a的取值范围是P∩（∁RQ）＝{a|0

}＝{a|0

}；

当p假q真时，a的取值范围是（∁RP）∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥

}＝{a|a≥1}．

综上，a的取值范围是

∪[1，＋∞）．

6．已知命题p：

方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：

只有一个实数x0满足不等式x

＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

解　由2x2＋ax－a2＝0得（2x－a）（x＋a）＝0,

∴x＝

或x＝－a，

∴当命题p为真命题时

≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.

又“只有一个实数x0满足不等式x

＋2ax0＋2a≤0”，

即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，

∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.

∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.

∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.

∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.

即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．