④当F2>F时，有唯一解，如图丁所示．
二、力的正交分解法
1．正交分解的目的：
当物体受到多个力作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便，为此先将各力正交分解，然后再合成．
2．正交分解法求合力的步骤
（1）建立坐标系：
以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
（2）正交分解各力，即将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图5所示．
图5
（3）分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…
（4）求共点力的合力：
合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα＝.
三、矢量相加的法则
1．三角形定则
（1）内容：
如图6所示，把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向，这就是矢量相加的三角形定则．
图6
（2）实质：
平行四边形定则的简化．（如图7所示）
图7
2．矢量和标量
（1）矢量既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则（或三角形定则）．
（2）标量只有大小，没有方向，相加时按照算术法则．
注意矢量和标量的最本质的区别是运算法则不同．
一、按力的作用效果分解
例1如图8甲所示，在一个直角木支架上，用塑料垫板作斜面，将一用橡皮筋拉着的小车放在斜面上（如图乙），观察塑料垫板和橡皮筋的形变．
图8
（1）小车重力对斜面和橡皮筋产生了哪些作用效果？
如果没有小车重力的作用，还会有这些作用效果吗？
（2）请根据重力产生的两个效果将重力分解，并求两分力的大小．
答案
（1）斜面上小车重力产生了两个效果：
一是使小车压紧斜面，二是使小车沿斜面下滑，拉伸橡皮筋．不会．
（2）重力的分解如图所示
设斜面的倾角为θ（忽略斜面的形变）．由几何关系知∠DOE＝θ.
由三角函数可得：
F1＝mgsinα，F2＝mgcosα.
针对训练如图9所示，轻杆与柱子之间用铰链连接，杆的末端吊着一个重为30N的物体，轻绳与水平轻杆之间的夹角为θ＝30°，求轻绳和轻杆各受多大的力？
图9
答案60N52N
解析重物对O点的拉力F＝G，产生两个作用效果：
一个是沿绳方向拉轻绳，一个是沿杆方向压杆（因轻杆处于静止时杆所受的弹力一定沿着杆，否则会引起杆的转动），作平行四边形如图所示，由几何关系解得
F1＝＝60N
F2＝≈52N
二、有限制条件的力的分解
例2按下列两种情况把一个竖直向下的180N的力分解为两个分力．
图10
（1）一个分力在水平方向上，并等于240N，求另一个分力的大小和方向．
（2）一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下（如图10所示），求两个分力的大小．
解析
（1）
力的分解如图所示．
F2＝＝300N
设F2与F的夹角为θ，则
tanθ＝＝，解得θ＝53°
（2）
力的分解如图所示．
F1＝Ftan30°＝180×N＝60N
F2＝＝N＝120N
答案
（1）300N与竖直方向夹角为53°
（2）水平方向分力的大小为60N，斜向下的分力的大小为120N
三、力的正交分解法
例3如图11所示，水平地面上有一重60N的物体，在与水平方向成30°角斜向上、大小为20N的拉力F作用下匀速运动，求地面对物体的支持力和摩擦力的大小．
图11
解析对物体进行受力分析，如图所示，物体受重力G、支持力FN、拉
力F、摩擦力Ff.建立直角坐标系，
对力进行正交分解得：
y方向：
FN＋Fsin30°－G＝0①
x方向：
Ff－Fcos30°＝0②
由①②得：
FN＝50N，Ff＝10N.
答案50N10N
1．力的分解：
已知一个力求它的分力的过程．力的分解遵循平行四边形定则．
2．力的分解有唯一解的条件
（1）已知两个分力的方向．
（2）已知一个分力的大小和方向．
3．力的分解方法
（1）按力的实际作用效果分解．
（2）正交分解法
以共点力的作用点为原点建立直角坐标系（让尽量多的力在坐标轴上），把不在坐标轴上的力分解到x轴、y轴上，然后分别求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，则共点力的合力大小F＝，合力方向与x轴夹角为α，tanα＝.
4．矢量相加的法则
平行四边形定则、三角形定则．
1.（按力的作用效果分解）在图12中，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如果把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为（ ）
图12
A.G，GB.G，G
C.G，GD.G，G
答案A
解析对球所受重力进行分解如图所示，由几何关系得F1＝Gsin60°＝G，F2＝Gsin30°＝G，A正确．
2．（有限制条件的力的分解）甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1000N的力拉绳子，方向如图13所示，要使船沿OO′方向航行，乙的拉力最小值为（ ）
图13
A．500NB．500N
C．1000ND．400N
答案B
解析要使船沿OO′方向航行，甲和乙的拉力的合力方向必须沿OO′方向．如图所示，作平行四边形可知，当乙拉船的力的方向垂直于OO′时，乙的拉力F乙最小，其最小值为F乙min＝F甲sin30°＝1000×N＝500N，故B正确．
3．（正交分解法）如图14所示，放在水平面上的物体A用轻绳通过光滑定滑轮连接另一物体B，并静止，这时A受到水平面的支持力为FN，摩擦力为Ff，若把A向右移动一些后，A仍静止，则（ ）
图14
A．FN将增大
B．Ff将增大
C．轻绳拉力将减小
D．物体A所受合力将增大
答案AB
解析物体A受力分析如图，系统处于静止状态，绳子的拉力不变，始终等于B的重力，即F＝mBg，A所受合力为零，故C、D均错；当A向右移动时，θ角减小，FN＝mAg－Fsinθ，Ff＝Fcosθ，由此可得，FN、Ff均增大，所以A、B正确．
题组一对力的分解的理解
1．若将一个力F分解为两个力F1、F2，则下列说法正确的是（ ）
A．F是物体实际受到的力
B．F1、F2不是物体实际受到的力
C．物体同时受到F、F1、F2三个力的作用
D．F1、F2共同作用的效果与F相同
答案ABD
2．把一个力分解为两个力时（ ）
A．一个分力变大时，另一个分力一定要变小
B．两个分力不能同时变大
C．无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
D．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的2倍
答案C
解析设把一个力F分解为F1、F2两个分力，当F1、F2在一条直线上且方向相反时，则有F＝|F1－F2|，当F1变大时，F2也变大，A、B错．F1、F2可以同时大于F的2倍，D错．当将F沿一条直线分解为两个方向相同的力F1、F2时，则有F＝F1＋F2，可知F1、F2不可能同时小于F，C对．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．一个2N的力能分解为7N和4N的两个分力
B．一个2N的力能分解为7N和9N的两个分力
C．一个6N的力能分解为3N和4N的两个分力
D．一个8N的力能分解为4N和3N的两个分力
答案BC
题组二有限制条件的力的分解
4．下列说法正确的是（ ）
A．已知合力大小、方向，则其分力必为确定值
B．已知合力大小、方向和一个分力的大小、方向，则另一个分力必为确定值
C．分力数目确定后，若已知各分力大小、方向，可依据平行四边形定则求出总的合力
D．若合力为确定值，两分力方向已知，依据平行四边形定则一定可以求出这两个分力的大小
答案BCD
解析已知合力大小、方向，其分力有无数组，A错．若已知合力大小、方向和一个分力的大小、方向，则根据平行四边形定则，另一分力为确定值，B对．若分力确定后，可依据平行四边形定则，求出总的合力，C对．合力为确定值，两分力的方向已知，则两分力是唯一的．
5．将一个有确定方向的力F＝10N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6N，则在分解时（ ）
A．有无数组解B．有两组解
C．有唯一解D．无解
答案B
解析由
三角形定则作图如图所示，由几何知识知另一分力的最小值F2′＝Fsin30°＝10×N＝5N，而题中分力的大小为6N，大于最小值5N，小于F＝10N，所以有两组解．
题组三按力的作用效果分解
6．如图1为某同学设计的一个小实验．他将细绳的一端系在手指上（B处），绳的另一端系在直杆的A端，杆的另一端C顶在掌心上，组成一个“三角支架”．在杆的A端悬挂不同重物，并保持静止．通过实验会感受到（ ）
图1
A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C指向A
C．绳对手指施加作用力的方向沿绳由B指向A
D．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大
答案ACD
解析
重物重力的作用效果，一方面拉紧绳，另一方面使杆压紧手掌，所以重力可以分解为沿绳方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2，如图所示．由几何知识得F1＝，F2＝Gtanθ，若所挂重物质量变大，则F1、F2都变大，选项A、C、D正确．
7．如图2所示，将绳子的一端系在汽车上，另一端系在等高的树干上，两端点间绳长为10m．用300N的拉力把水平绳子的中点往下拉离原位置0.5m，不考虑绳子的重力和绳子的伸长量，则绳子作用在汽车上的力的大小为（ ）
图2
A．1500NB．6000N
C．300ND．1500N
答案A
解析
由题意可知绳子与水平方向的夹角正弦值为sinα＝＝0.1，所以绳子的作用力为F绳＝＝1500N，A项正确，B、C、D项错误．
8．如图3所示，三段不可伸长的细绳，OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定在水平天花板上和竖直墙上．若逐渐增加C端所挂重物的质量，则最先断的绳是（ ）
图3
A．必定是OAB．必定是OB
C．必定是OCD．可能是OB，也可能是OC
答案A
解析OC下悬挂重物，
它对O点的拉力等于重物的重力G.OC绳的拉力产生两个效果：
使OB在O点受到水平向左的力F1，使OA在O点受到沿绳子方向斜向下的力F2，F1、F2是G的两个分力．由平行四边形定则可作出力的分解图如图所示，当逐渐增大所挂物体的质量时，哪根绳受的拉力最大则哪根最先断．从图中可知：
表示F2的有向线段最长，F2分力最大，故OA绳最先断．
题组四力的正交分解
9．如图4所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为（ ）
图4
A.mg和mgB.mg和mg
C.mg和μmgD.mg和mg
答案A
解析根据重力mg的作用效果，可分解为沿斜面向下的分力F1和使三棱柱压紧斜面的力F2，根据几何关系得
F1＝mgsin30°＝mg，
F2＝mgcos30°＝mg，
因为，F1与三棱柱所受静摩擦力大小相等，F2与斜面对三棱柱的支持力大小相等，因此，选项A正确．
10．如图5所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面的动摩擦因数相同，受到三个大小相同的作用力F，当它们滑动时，受到的摩擦力大小是（ ）
图5
A．甲、乙、丙所受摩擦力相同
B．甲受到的摩擦力最大
C．乙受到的摩擦力最大
D．丙受到的摩擦力最大
答案C
解析题图中三个物体对地面的压力分别为FN甲＝mg－Fsinθ，FN乙＝mg＋Fsinθ，FN丙＝mg，因它们均相对地面滑动，由Ff＝μFN知，Ff乙＞Ff丙＞Ff甲，故C正确．
11．如图6所示，质量为m的物块与水平面之间的动摩擦因数为μ，现用斜向下与竖直方向夹角为θ的推力作用在物块上，使物块在水平面上匀速移动，求推力的大小．（重力加速度为g）
图6
答案
解析对物块受力分析如图所示
将物块受到的力沿水平和竖直方向分解，根据平衡条件有
水平方向：
Fcosθ＝Ff①
竖直方向：
FN＝mg＋Fsinθ②
Ff＝μFN③
由①②③得F＝
12．如图7所示，物体的质量m＝4.4kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g＝10N/kg，求推力F的大小．（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
图7
答案88N或40N
解析若物体向上做匀速直线运动，则受力分析如图甲所示．
Fcosθ＝mg＋Ff
Fsinθ＝FN
Ff＝μFN
故推力F＝＝N＝88N
若物体向下做匀速直线运动，受力分析如图乙所示．
Fcosθ＋Ff＝mg
Fsinθ＝FN
Ff＝μFN
故推力F＝＝N＝40N
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