一元二次方程竞赛题.docx

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一元二次方程竞赛题

一元二次方程竞赛题

例1、解方程：

x2-3｜x｜-4=0．

解法1显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1（舍去）．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1（舍去）．

　　所以原方程的根为x1=4，x2=-4．

　　解法2由于x2=｜x｜2，所以｜x｜2-3｜x｜-4=0，所以（｜x｜-4）（｜x｜+1）=0，所以｜x｜=4，｜x｜=-1（舍去）．

　　所以x1=4，x2=-4．

例2解关于x的方程：

　　（m-1）x2+（2m-1）x+m-3=0．

　　分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况（不能认为方程一定是一元二次方程）；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．

　　解分类讨论．

（1）当m=1时，原方程变为一元一次方程

x-2=0，

　　所以x=2．

（2）当m≠1时，原方程为一元二次方程．

　　△=（2m-1）2-4（m-1）（m-3）=12m-11．

例3求k的值，使得两个一元二次方程

　　x2+kx-1=0，x2+x+（k-2）=0

　　有相同的根，并求两个方程的根．

　　解不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有

　　a2+ka-1=0，①

　　a2+a+（k-2）=0．②

　　①-②有

　　ka-1-a-（k-2）=0，

　　即（k-1）（a-1）=0，

　　所以k=1，或a=1．

（1）当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根

　　没有相异的根；

（2）当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为

x2-1=0，x2+x-2=0．

　　解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．

例4设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：

△ABC一定是直角三角形．

　　证因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0，则

　　两式相加得

　　若x0=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x0=-（a＋c）．把x0=-（a＋c）代入①式得

（a+c）2-2a（a+c）+bg2=0，

　　整理得

a2=b2+c2

　　所以△ABC为直角三角形．

例5m是什么整数时，方程

（m2-1）x2-6（3m-1）x＋72＝0

　　有两个不相等的正整数根．

　　解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36（m-3）2＞0，所以m≠3．用求根公式可得

　　由于x1，x2是正整数，所以

m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，

　　解得m=2．这时x1=6，x2=4．

　　解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知

　　所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即

m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，

　　只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．

　　经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．

例6、已知关于x的方程

a2x2-（3a2-8a）x＋2a2-13a＋15=0

　　（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．

　　分析“至少有一个整数根”应分两种情况：

一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．

　　解因为a≠0，所以

　　所以

　　所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．

　例7设m是不为零的整数，关于x的二次方程

mx2-（m-1）x＋1＝0

　　有有理根，求m的值．

　　解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令

Δ=（m-1）2-4m＝n2，

　　其中n是非负整数，于是

m2-6m+1=n2，

　　所以（m-3）2-n2=8，

（m-3＋n）（m-3-n）＝8．

　　由于m-3＋n≥m-3-n，并且

（m-3＋n）+（m-3-n）=2（m-3）

　　是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以

　　说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．

例8已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程

ax2＋2（2a-1）x＋4（a-3）=0

　　至少有一个整数根，求a的值．

　　解将原方程变形为

（x＋2）2a=2（x＋6）．

　　显然x＋2≠0，于是

　　由于a是正整数，所以a≥1，即

　　所以x2+2x-8≤0，

（x＋4）（x-2）≤0，

　　所以-4≤x≤2（x≠-2）．

　　当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，

　　说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．

例9已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2

（2）求证：

b-1≤c≤b＋1；

　　（3）求b，c的所有可能的值．

　　解

（1）由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，

（2）由

（1）知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理

　　c-（b-1）=x1x2＋x1＋x2＋1

　　　　　=（x1＋1）（x2+1）≥0，

　　所以c≥b-1．

　　同理有

　　所以c≤b+1，

　　所以b-1≤c≤b+1．

　　（3）由

（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：

　　（i）c=b＋1．由韦达定理知

x1x2=-（x1＋x2）＋1，

　　所以（x1＋1）（x2＋1）=2，

　　解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．

　　（ii）c=b．由韦达定理知

x1x2=-（x1＋x2），

　　所以（x1+1）（x2＋1）=1，

　　所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．

　　（iii）c=b-1．由韦达定理知

　　所以

　　综上所述，共有三组解：

（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．

　　解：

由已知，得x2＝3x-1．

　　∴x4+3x3-16x2+3x-17

　　＝x2（x2+3x-16）+3x-17

　　＝（3x-1）（6x-17）+3x-17

　　＝18（3x-1）-54x

　　＝-18．

例10已知a，b都不为1，且有5a2+1995a+8＝0及8b2+1995b+5=0，

例11设实数a、b、c满足a＞0，b＞0，2c＞a+b，且c2＞ab，

证明：

。

分析由

，联想到一元二次方程的求根公式，抓住这个特点构造方程。

证明设

，

。

显然x1＜x2，由x1、x2的结构特点可知，x1、x2是关于x的一元二次方程：

的两根。

∴（x1-a）（x2-a）=x1x2-（x1+x2）a+a2=ab-2ca+a2

=a（b+a-2c）

∵a＞0，2c＞a+b。

∴a（b+a-2c）＜0。

∴x1＜a＜x2。

即

。

课后作业

1、若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b的取值范围．

2、若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程4x2+4（a2+b2+c2）x+3（a2b2+b2c2+c2a2）=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．

　3．填空：

（1）方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，

（2）已知k为整数，且关于x的方程

（k2-1）x2-3（3k-1）x＋18=0

　　有两个不相同的正整数根，则k=____．

　　（3）两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，

　　（4）方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．

　　（5）已知方程（a2-1）x2-2（5a+1）x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是____．

　　4．设m为整数，且4＜m＜40，又方程

（x2-2（2m-3）x+4m2-14m+8＝0

　　有两个整数根，求m的值及方程的根．

　　5．已知关于x的一元二次方程

x2+（m-17）x+m-2=0

　　的两个根都是正整数，求整数m的值．

　　6．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．

　7．求所有的整数a，使得关于x的二次方程

ax2＋2ax＋a-9＝0

　　至少有一个整数根．