一元二次方程竞赛题.docx

1、一元二次方程竞赛题 一元二次方程竞赛题例1、解方程：x2-3x-4=0解法1 显然x0当x0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)当x0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)所以原方程的根为x1=4，x2=-4解法2 由于x2=x2，所以x2-3x-4=0，所以 (x-4)(x+1)=0，所以 x=4，x=-1(舍去)所以 x1=4，x2=-4例2 解关于x的方程：(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0分析 讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-10两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-10时，再分0，=0，0三种情况讨论

2、解 分类讨论(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程x-2=0，所以x=2(2)当m1时，原方程为一元二次方程=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11例3 求k的值，使得两个一元二次方程x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0有相同的根，并求两个方程的根解 不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0， a2+a+(k-2)=0 -有ka-1-a-(k-2)=0，即 (k-1)(a-1)=0，所以k=1，或a=1(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有相异的根；(2)当a=1时，代入或都有k=0，此时两个方程变为x2

3、-1=0，x2+x-2=0解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2x=1为两个方程的相同的根例4设a，b，c为ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：ABC一定是直角三角形证 因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0 ，则两式相加得若x0=0，代入式得b=0，这与b为ABC的边不符，所以公共根x0=-(ac)把x0=-(ac)代入式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以ABC为直角

4、三角形例5 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x720有两个不相等的正整数根解法1 首先，m2-10，m1=36(m-3)20，所以m3用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2这时x1=6，x2=4解法2 首先，m2-10，m1设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m23，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=2，3，5经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根例6

5、、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x2a2-13a15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值分析 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来解 因为a0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5例7 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x10有有理根，求m的值解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数令=(m-1)2-4mn2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3n)(m-3-n)8

6、由于m-3nm-3-n，并且(m-3n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3n与m-3-n同奇偶，所以说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决例8 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax22(2a-1)x4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值解 将原方程变形为(x2)2a= 2(x6)显然x20，于是由于a是正整数，所以a1，即所以 x2+2x-80，(x4)(x-2)0，所以 -4x2(x-2)当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明 从解题过

7、程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解例9 已知方程x2+bx+c=0与x2+cxb=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1cb1；(3)求b，c的所有可能的值解 (1)由x1x20知，x1与x2同号若x10，则x20，(2)由(1)知，x10，x20，所以x1-1，x2-1由韦达定理c-(b-1)=x1x2x1x21=(x11)(x2+1)0，所以 cb-1同理有所以 cb+1，所以 b-1cb+1(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b1由韦达定理

8、知x1x2=-(x1x2)1，所以 (x11)(x21)=2，解得x1x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6(ii)c=b由韦达定理知x1x2=-(x1x2)，所以 (x1+1)(x21)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4(iii)c=b-1由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)解：由已知，得x23x-1 x4+3x3-16x2+3x-17x2(x2+3x-16)+3x-17(3x-1)(6x-17)+3x-1718(3x-1)-54x-18例10 已知a，b都不为1，且有5a2+1995a+80及8b2+1995b+5=0，例1

9、1 设实数a、b、c满足a0，b0，2ca+b，且c2 ab，证明： 。分析 由，联想到一元二次方程的求根公式，抓住这个特点构造方程。证明 设，。显然x1x2，由x1、x2的结构特点可知，x1、x2是关于x的一元二次方程：的两根。 （x1-a）（x2-a）=x1x2-（x1+x2）a+a2=ab-2ca+a2=a（b+a-2c） a0 ， 2ca+b 。 a（b+a-2c）0 。 x1ax2 。即。课后作业1、若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b的取值范围2、若a，b，c为ABC的三边，且关于x的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2

10、+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证ABC是等边三角形3填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，(2)已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x18=0有两个不相同的正整数根，则k=_(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21xt=0的两个根，(4)方程x2+pxq=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于_(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是_4设m为整数，且4m40，又方程(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+80有两个整数根，求m的值及方程的根5已知关于x的一元二次方程x2+(m-17)x+m-2=0的两个根都是正整数，求整数m的值6求使关于x的方程a2x2ax1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a7求所有的整数a，使得关于x的二次方程ax22axa-90至少有一个整数根