教育资料北师版八年级上册第二章212认识无理数教案学习精品.docx
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教育资料北师版八年级上册第二章212认识无理数教案学习精品
2.1.2认识无理数
掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.
借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.
在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.
【重点】 能用所学定义正确判断所给数的属性.
【难点】 无理数概念的建立.
【教师准备】 计算器、立方体、多媒体课件.
【学生准备】 计算器、复习有理数的分类.
导入:
前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?
1.有理数是如何分类的?
【问题解决】有理数
2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数?
如圆周率π,0.020190002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?
那么它们究竟是什么数呢?
本节课我们就来揭示它们的真面目.
[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.
[过渡语] 上一节我们已经感受到数不够用了,下面我们继续探索用什么数来表示.
一、数的小数表示
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?
（1）如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?
说说你的理由.
（2）边长a的整数部分是几?
十分位是几?
百分位呢?
千分位呢?
……借助计算器进行探索.
（3）小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?
边长a
面积S
111.41.961.411.98811.4141.9993961.41421.99996164 【思考】 a的范围在哪两个数之间?
左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?
【归纳总结】 a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?
事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.
【做一做】
（1）请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到0.1）,并用计算器验证你的估计.
（2）如果结果精确到0.01呢?
（提示:
精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24）
同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.
[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356…,b=2.2360679…,c=1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.
二、有理数的小数表示,明确无理数的概念
思路一:
请同学们以学习小组的形式活动.
【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么?
3,
-
.
【答案】 3=3.0,
=0.8,
=0.
-
=-0.1
=0.
.
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
思路二:
回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?
（3.14）它是确切的值吗?
（不是,是近似值）那π是有理数吗?
（不是）并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?
【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数称为无理数.（圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数）
【想一想】 你能找到其他的无理数吗?
[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.
三、例题讲解
下列各数中,哪些是有理数?
哪些是无理数?
3.14,-
0.
0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.
解:
有理数有:
3.14,-
0.
;
无理数有:
0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.
【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.
2.任何一个有理数都可以化成分数
的形式（q≠0,p,q为整数且互质）,而无理数不能.
[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.
[知识拓展] 确定x2=a（a≥0）中正数x的近似值的方法:
1.确定正数x的整数部分.
根据平方的定义,把x夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:
求x2=5中的正数x的整数部分,因为22<5<32,即222.确定x的小数部分十分位上的数字.
（1）将这两个整数平方和的平均数与a比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为
=6.5>5,所以x的十分位上的数字一定比3小,不妨设x≈2.2.
（2）设误差为k（k必为一个纯小数,且k可能为负数）,则x=2.2+k,所以（2.2+k）2=5,所以4.84+4.4k+k2=5,因为k是小数,所以k2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k=5,所以k≈0.036,所以x=2.2+k≈2.2+0.036=2.236.
实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22数
1.下列说法中正确的是（ ）
A.无限小数都是无理数B.有限小数是无理数
C.无理数都是无限小数D.有理数是有限小数
答案:
C
2.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形B.面积为
的正方形
C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形
解析:
52=25,
（1.2）2=1.44.故选C.
3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a是有理数吗?
解:
由勾股定理得:
a2=32+52,即a2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a不是有理数.
4.已知-
5,-1.
π,3.1416,
0,42,（-1）2n,-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
（1）写出所有有理数;
（2）写出所有无理数.
解:
（1）有理数:
-
5,-1.
3.1416,
0,42,（-1）2n.
（2）无理数:
π,-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
2.1.2认识无理数
1.数的小数表示.
2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.
3.例题讲解.
一、教材作业
【必做题】教材随堂练习.
【选做题】教材习题2.2第2,4题.
二、课后作业
有限空间作业试题【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x（ ）
政治考核A.12.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是（ ）
A.整数B.分数C.有限小数D.无理数
暑假防溺水安全教育教案【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是 ,则斜边长是 数.
歌唱学校热爱班级【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20π.
（1）a是有理数吗?
说说你的理由;
（2）估计a的值（精确到十分位,并利用计算器验证你的估计）;
教学科研（3）如果精确到百分位呢?
5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?
要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:
昆虫记阅读题及答案
（1）如果精确到十分位,正方形的边长是多少?
（2）如果精确到百分位呢?
提出全面改革总目标的会议是【答案与解析】
智慧树思辨与创新考试答案1.A（解析:
12=1,22=4.）
2.D（解析:
由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.）
3.13 无理（解析:
由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.）
4.解:
（1）∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.
（2）a≈4.5. （3）a≈4.47.
政治经济学04任务答案5.解析:
1.72=2.89,1.73=2.9929.
数学专业论文选题解:
（1）1.7米.
（2）1.73米.
本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.
对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.
知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.
感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.
随堂练习（教材第24页）
解:
有理数有:
0.4583,3.
-
18.无理数有:
-π.
习题2.2（教材第25页）
1.解:
-
3.9
-234.10101010…（相邻两个1之间有1个0）是有理数,0.12345678910111213…
（小数部分由相继的正整数组成）是无理数.
2.提示:
（1）x不是有理数.
（2）x≈3.2. （3）x≈3.16.
3.
（1）✕
（2） （3）✕ （4）✕
4.解:
π-1,3.4141141114…（相邻两个4之间1的个数逐次加1）等,答案不唯一.
由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设（或相同类型）的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.
本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.
为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.
鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.
一根长为5米的电线杆竖立于地面,为
保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?
它是有理数吗?
大概是多长?
〔解析〕 每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.
解:
由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.
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