资阳市第六中学八年级数学上册第二章实数21认识无理数说课稿新版北师大版2.docx
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资阳市第六中学八年级数学上册第二章实数21认识无理数说课稿新版北师大版2
2.1《认识无理数》说课稿
一、说教材
1、教材的地位与作用：
人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的，学生在七年级上学期有了一次“数不够用了”的经历，从而使数的范围扩大到了有理数。
本节在上一章勾股定理及有理数的基础上再一次让学生感受“数怎么又不够用了”从而引入新数“无理数”将数的范围扩大到实数。
本节课是北师大版八年级数学第二章实数的第一节“认识无理数”，本节课通过各种丰富多彩的数学活动，让学生体会无理数产生的背景，以及无理数存在的必要性和合理性，同时借助计算器探索无理数是无限不循环小数，从中体会无限逼近的思想。
本节课上一章勾股定理应用的进一步深化，同时又是实数概念及运算的开始，起着承上启下的作用。
2、教材的处理：
立足教材，又不局限于教材，依据学情对教材进行有机整合。
二、说学情
八年级的学生已经积累了一些数学活动经验，也经历了一次数系的扩充，但无理数不象有理数那样，直观易懂，总有一种虚幻的感觉，学生理解起来会有些困难。
因此，在教学中要通过丰富多彩的数学活动，逐步渗透和加强。
三、说教学目标
根据对教材和学情的分析，及《数学课程标准》知识与技能、过程与方法、情感与态度等方面对该部分的要求，确定本节课的教学目标如下：
1、让学生亲自动手做拼图活动以及勾股定理的应用，让学生感受无理数产生的实际背景，以及无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.
2、经历探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别的过程，会判断一个数是有理数还是无理数..
3、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.
4、通过了解有关无理数发现的历史，培养他们为真理而奋斗的献身精神。
5、理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力。
6、充分调动学生的积极性，培养他们的勇于探索、独立思考以及合作精神，提高他们的辨识能力以及有条理的表达能力.
四、说教学重、难点
教学重点：
1、让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.
2、无理数概念的探索过程
3、会判断一个数是否为无理数.
教学难点：
1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
2、用计算器进行无理数的估算。
3、判断一个数是否为无理数.
难点成因诊断及突破策略：
把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形需要学生创造性思维，一些学生可能有些困难，在教学中可以多给学生交流和展示的时空，让学生感受数学的奇妙。
用计算器进行无理数的估算，这种方法学生以前没有接触过，所以有些困难，需要教师适当引导。
另外，无理数的概念比较抽象，不象有理数那样，直观易懂，学生理解起来会有些困难，需要教师在教学中不断渗透，和反复训练。
五、说策略与方法
学数学不能只是模仿和记忆，需要学生动手做一制、算一算，与别人议一议，本节课以活动为主线，通过丰富多彩的数学活动，以及各种问题串的形式让学生经历无理数的发现过程，体会理数存在的必要性和合理性，同时经历无理数概念的生成过程。
教师在教学中注重引导，引导学生对新知识领悟和生成。
另外利用多媒体辅助教学，让数学课堂变得有声有色。
六、说教具准备
让学生准备两个边长为1的正方形，一把剪刀还有一个计算器。
七、说教学过程
一、情境导入
师：
同学们,你们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来你们都学过哪些数呢?
生：
在小学我们学过自然数、小数、分数.
生：
在初一我们还学过负数.
师：
对，我们在小学学了非负数，在七年级发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？
有没有一类数既不是整数也不是分数呢？
下面我们就来共同研究这个问题.
【设计意图】通过对数的回忆一方面复习有理数的有关概念，为后面的学习提供知识上的储备，另一方面让学生体会到人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的，为数系的再扩充提供依据。
二、探究新知
（一）概念的引入
活动探究一.剪一剪拼一拼想一想
问题提出：
有两个边为1的小正方形，如何通过剪一剪拼一拼，得到一个大的正方形？
动手操作：
请同学们利用我们课前准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，亲自动手剪一剪，拼一拼，看谁先得到一个大正方形。
小组交流和展示：
有几种不同的方法得到打正方形？
让学生分别展示。
如果学生展示的不全，教师用多媒体进行补充展示。
思考与交流：
（1）拼成的大正方形面积是多少？
（2）你能求出大正方形的边长吗？
如果设大正方形的边长为
，则
满足什么条件？
（3）
可能是整数吗？
如果不是它介于那两个整数之间？
为什么？
（4）
可能是分数吗？
说说你的理由，并与同伴交流。
（5）
是有理数吗？
说说你的理由，并与同伴交流。
效果预测及难点突破策略：
对于问题
（1）学生不难得出结论，对于问题
（2）学生也容易得出
满足的条件
=2但大正方形的边长却求不出来，从而引发学生思维冲突。
对于问题（3）
显然不是整数，通过计算
，
而
=2显然1<
<2，很容易得到
介于1和2之间。
问题（4）是个难点，学生不能确定
不是分数，但是又找不出一个分数使它的平方为2，对于这个问题教师可以适当引导，指出所有分数的平方一定都是分数，从而确定
不是一个分数。
解决了前面四个问题，最后一个问题就水到渠成了，
既不是整数也不是分数当然不会是有理数了，这个问题可以放给中下游的学生回答，进一步明确有理数的概念。
活动探究二
究竟有多大
接下来师生一起利用计算器探究这个神秘的数
究竟有多大
从活动一可知1<
<2，也就是说
的整数部分是1，即
=1.…再进一步研究
的范围，它的十分位数是几？
百分位是几？
千分位呢？
……借助计算器探索。
1、由于1.42=1.961.52=2.251.42<
<1.52所以1.4<
<1.5，大家想一想
的十分位是几？
继续探索，1.412=1.98811.422=2.01641.412<
<1.422所以1.41<
<1.42那么
的百分位是几？
2、利用上面的方法，请同学们自己有计算器探索
的千分位、万分位和十万分位分别是多少？
3、还可以继续探索下去吗？
随着数位的增多，我们探索的数与真正的数
有怎样的关系？
（引导学生体会无限逼近，却不相等的数学思想）
4、从我们探究的结果看数
是个有限小数吗？
它的小数位循环吗？
（引导学生得出
是个无限不循环的小数，可利用多媒体展示
……数位越多越好，让学生真切直观地感受到无限不循环小数的意义）
（二）概念的生成
探究活动三
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
3，
。
学生板演结果，并引导学生观察，最后得出结论：
有理数总可以用有限小数或无限循化小数表示，反过来任何有限小数和无限循环小数也都是有理数（教学中还可以让学生随意说出任意一个数进行验证）。
那么，像我们上面探究的那个神秘的无限不循环的小数
又是什么数呢？
引出无理数的概念：
无限不循环小数叫做无理数。
同学们，无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。
同学们请看下面的例子。
探究活动四（利用多媒体出示以下问题，给学生10分钟时间思考与交流的时间）
（1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？
（3）b是有理数吗？
为什么？
（4）请估计一下边长b的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计。
（5）结果精确到，百分位、千分位、万分位……呢？
它是一个无理数吗？
为什么？
（6）你能设计一个图形，使其某一边的边长是一个无限不循环小数即无理数吗？
设计意图及效果预测：
勾股定理学生不陌生，又有了前面活动的经验，因此前五个问题学生不难回答。
问题（6）是在教材基础上加入的一个新问题，问题（6）是一个开放性问题，通过学生的尝试、思考、判断不仅让学生体会到了这类新数存在的合理性和必然性，还有助于培养学生的创新思维，是这节课的一个亮点。
但由于（6）对学生的思维要求较高，一部分学生可能有些困难，所以要给学生充分的思考交流的空间，同时让学生学会有条理的表达自己的思想和观点，必要时引导学生，像一些直角三角形的边长，面积为3、5、6等的正方形的边长，体积为2、3、4、5等的正方体的棱长都是无理数等等。
师总结：
无理数的发现是数学史上的一个大的进步，但无理数不象有理数那样，直观易懂，总有一种虚幻的感觉，让人感到迷惑，其实当初发现这一问题的时候数学家们也很迷惑甚至惶恐，甚至有人为此献出了宝贵的生命，大家想知道怎么回事吗？
请看下面的一个悲剧的数学史话。
（设计意图：
总结梳理，同时承上启下。
）
数学家希伯索斯的悲剧人生（利用多媒体呈现数学史话）
早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比（分数）”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的惶恐，为此希伯索斯被投进了大海。
他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.并进一步给出了证明。
该环节通过了解无理数产生的历史背景，进一步理解无理数存在的合理性和必然性，也让学生体会真理是不可战胜的，要有为真理而献身的勇气。
（三）概念的辨析
下列各数中，哪些是有理数？
哪些是无理数？
－
，
，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），圆周率π，3.14，0
设计意图及效果预测：
到这里，学生虽然知道了什么是无理数，但对无理数的概念的认识模糊的，需要进一步在习题中甄别和强化。
例题中肯定有一部分学生会出错，比如圆周率π和3.14以及0等学生极易错判，出了错师生要一起分析讨论和纠正。
最终要让学生明白以下几点：
（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.
（3）圆周率π是也是个无限不循环小数，因此它是个无理数，但3.14是个有限的小数是圆周率π的近似值，它是个有理数，要注意它们的区别。
（四）概念的深化
下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段
设计意图以及效果预测：
这是一道开放性的动手操作题，学生在尝试、思考、判断的过程中会对有理数和物理书的概念有个梳理和再认识，深化了概念，同时开放性习题因其答案的不确定性以及挑战性很受学生喜欢，教师应鼓励学生大胆尝试，这个问题会把课堂再次推向高潮。
（五）巩固练习
1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？
可能是分数吗？
它是有理数吗？
它是无理数吗？
试用计算器算出他的近似值结果精确到千分位。
2、长宽分别是3、2的长方形，它的对角线是无理数吗？
为什么？
试用计算器算出他的近似值结果精确到万分位。
设计意图：
能正确判断一个数是否为无理数，是本节的重点也是难点需要反复训练，同时也让学生进一步感知无理数存在的实际背景以及引入的必要性。
（六）课堂小结
让学生谈本节课的收获与感悟，教师要引导学生梳理本节重要的知识和方法，以及活动过程中体现的无限逼近的数学思想。
课例评析：
本节课的教学设计有以下几个鲜明特点
1、以活动为主线，让学生在做中学。
《课程标准》特别指出数学教学是数学活动的教学，学生要在老师的指导下积极主动的掌握数学知识技能，发展能力。
本节课以活动为主线，让学生在做中学。
比如，课堂首先通过拼图游戏，得到一个数
，通过探究发现数a既不是整数也不是分数，那么它又是怎样的数呢？
引发学生思维冲突，这一活动不仅为无理数概念的提出，设置了鲜活的生活背景，同时也为下一个探究活动“
究竟有多大”，埋下了伏笔，使课堂流畅自然。
活动三是在前面两个活动的基础上探究无理数的概念，活动四则是无理数概念的巩固和应用。
整个活动过程，学生都是在教师引导下经历操作、探究、思考、讨论等过程，体现了以活动为中心，注重让学生在做中学的教学思路。
2、层层递进、环环相扣，体现了数学概念的形成与应用过程。
这是一节概念教学课，本节课的设计遵循“概念的提出——概念的生成——概念的辨析——概念的深化与应用”的教学模式，且各环节环环相扣、层层深入，使学生对概念有了一个清晰、全面、完整的认识，同时也可以培养学生良好的思维习惯和用数学的意识。
3、内容的呈现体现了层次性、趣味性、开放性、挑战性。
课堂的每一环节都提供了丰富的、有趣的、具有挑战性的活动情境，引导学生观察、思考、辨别、总结、归纳、猜想等，经历了数学概念的生成过程，也提升了学生的数学思维。
比如活动一的拼图，活动二的探究，相对于八年级的学生来说都具有趣味性和挑战性。
本节课每一个探究活动又都是以问题串的形式，由易到难，层层递进，充分体现了层次性、开放性与挑战性，让学生深入其中，欲罢不能。
4、教材处理得当，立足教材，又不局限于教材，体现了创新的理念。
比如探究活动四在教材提出的三个问题后，有提出了三个问题，其中问题（4）和（5）是对探究活动二的巩固和深化，问题（6）设计一个开放性的题目，通过对这个问题的探索，学生会对无理数产生的背景的广泛性有一个更深的认识，同时也培养了学生的创性思维。
纵观本节课的设计，很多地方都体现了创新性的理念。
5、强化了知识间的内在联系。
人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的，本节课立足学生已有的知识背景（有理数）和活动经验，通过丰富多彩的活动，让学生经历了从有理数到无理数的数系扩充过程。
无理数概念比较抽象，学生不易理解，教师在课堂设计的时候让学生充分体会了无理数与整数、分数及有理数概念的内在联系。
其中概念辨析环节又对学生易错、易混淆的地方进行了辨析和强化，起到了很好的效果。
理论成绩占30%,体育技能占60%,一名学生上述三项成绩依次为90分、92分、73分,那么该同学这学期的体育成绩为__________分．
（三）计算题（共55分,要求写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤,只写出最后答案的不能给分）
16．（10分）某校为了充实师资力量,决定招聘一位数学教师,対应聘者进行笔试和试讲两项综合考核,根据重要性,笔试成绩占30%,试讲成绩占70%.应聘者张颖、李默两人的得分如下表,如果你是校长,你会录用谁？
请说明理由．
姓名
笔试
试讲
张颖
78分
94分
李默
92分
80分
17．（10分）每年3月12日为〞全民植树节〞,某校初二综合小组为了了解今年植树情况,対一个有500户居民的村庄进行调查,他们随机调查了10户家庭．这10户家庭当天植树的棵数分别是:
5,4,10,6,1,6,3,4,6,5,根据以上数据回答以下问题:
（1）此次调查中,这10户家庭当天植树的棵数的众数是__________,中位数是__________,平均数是__________．
（2）请你估计这个村庄当天植树多少棵？
（3）你対这次活动有何感想,请你说一句体会或提一条合理化建议．
18．（11分）下面是两种股票在2011年某周的交易日收盘价格（单位:
元）,分别计算它们一周来收盘价格的方差、极差（结果保存两位小数）．
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲股票
11.62
11.51
11.94
11.17
11.01
乙股票
18.50
18.50
18.50
18.50
18.50
19．（11分）统计2010年上海世博会前20天日参观人数,得到如下频数分布表和频数分布直方图（局部未完成）（如以下图）:
上海世博会前20天日参观人数的频数分布表
组别（万人）
组中值（万人）
频数
频率
7.5～14.5
11
5
0.25
14.5～21.5
6
0.30
21.5～28.5
25
0.30
28.5～35.5
32
3
上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图
（1）请补全频数分布表和频数分布直方图;
（2）求出日参观人数不低于22万的天数和所占的百分比;
（3）利用以上信息,试估计上海世博会（会期184天）的参观总人数．
20．（13分）某水果销售公司去年3至8月销售吐鲁番葡萄、哈密大枣的情况见下表:
3月
4月
5月
6月
7月
8月
吐鲁番葡萄
4
8
5
8
10
13
哈密大枣
8
7
9
7
10
7
（1）请你根据以上数据填写下表:
平均数
方差
吐鲁番葡萄
8
9
哈密大枣
（2）补全折线统计图（如以下图）．
（3）请你从以下两个差别的方面対这两种水果在去年3月份至8月份的销售情况进行分析:
①根据平均数和方差分析;②根据折线图上两种水果销售量的趋势分析.
参考答案
1.答案:
B
2.答案:
B
3.答案:
B
4.答案:
C
5.答案:
B
6.答案:
B
7.答案:
B
8.答案:
D
9.答案:
B
10.答案:
B
11.答案:
7
12.答案:
－1
13.答案:
8
14.答案:
6
15.答案:
80.4
16.解:
录用张颖,理由如下:
张颖的平均成绩是:
李默的平均成绩是:
．
所以录用张颖．
17.解:
（1）6,5,5;
（2）5×500＝2500（棵）;
（3）略．
18.解:
甲的极差＝0.93,乙的极差＝0.
19.解:
（1）填频数分布表和频数分布直方图（如以以下图）;
上海世博会前20天日参观人数的频数分布表
组别（万人）
组中值（万人）
频数
频率
7.5～14.5
11
5
0.25
14.5～21.5
18
6
0.30
21.5～28.5
25
6
0.30
28.5～35.5
32
3
0.15
上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图
（2）日参观人数不低于22万有9天,所占百分比为45%.
（3）世博会前20天的平均每天参观人数约为
20.45×184＝3762.8（万人）．
∴估计上海世博会参观的总人数约为3762.8万人．
20.答案:
分析:
（1）由表格提供的数据结合平均数和方差的计算公式,可求得哈密大枣销售量的平均数和方差．
（2）将哈密大枣的销售数据在折线统计图上一一表示出来,并连接表示这些数据的点即可得到关于哈密大枣销售的折线统计图（注意图例按虚线表示）．（3）由计算出的两种水果的销售量的平均数、方差及方差可得出哪种水果的销售情况稳定;由折线统计图的走势很容易分析出这两种水果的销售趋势．
解:
（1）
平均数
方差
吐鲁番葡萄
8
9
哈密大枣
8
（2）如以下图;
（3）①由于平均数相同,
所以大枣的销售情况相対比拟稳定．
②从图上看,葡萄的月销售量呈上升趋势．
学习资料
八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线第2课时三角形三边的垂直平分线教案（新版）北师大版
班级：
科目：
第2课时三角形三边的垂直平分线
【知识与技能】
1。
能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。
2.垂直平分线的应用.
【过程与方法】
经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，提高实践能力和创新意识。
【情感态度】
体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性。
【教学重点】
作已知线段的垂直平分线。
【教学难点】
垂直平分线的应用。
一.情景导入,初步认知
上节课我们学习了线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质定理、判定定理是什么?
【教学说明】回顾旧知，为本节课作准备.
二。
思考探究，获取新知
探究1:
请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线,你是否发现同样的结论?
与同伴交流．
【教学说明】让学生自己经历探究的过程,不要直接给出答案或很有指向性的提示.
【归纳结论】三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离相等.
探究2：
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：
线段a、h
求作：
△ABC，使AB=AC,BC=a，高AD=h
作法:
1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB、AC。
∴△ABC就是所求作的三角形（如图所示）．
探究3：
已知直线l和l上一点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P.
如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线,使它经过点P呢？
【教学说明】学生先独立思考完成，然后交流，说出做法并解释作图的理由.
三.运用新知，深化理解
1.如图，已知:
在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.求证：
点P在AC的垂直平分线上.
证明：
P是AB、BC边上的垂直平分线,
∴AP=BP，BP=CP，
∴AP=CP,
∴P点在AC的垂直平分线上.
2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）尺规作图:
作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．
求证：
EF=2DE。
解：
（1）直线l即为所求．
（2）证明:
在Rt△ABC中,
∵∠A=30°,∴∠ABC=60°,
又∵l为线段AB的垂直平分线,
∴EA=EB,
∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°,
∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°．
又∵ED⊥AB,EC⊥BC，∴ED=EC．
在Rt△ECF中，
∠FEC=60°,∴∠EFC=30°,
∴EF=2EC，
∴EF=2ED．
3。
已知：
线段a=4cm，h=6cm.
求作：
作一个△ABC,使AB=AC,且BC=a，高AD=h.
作法：
略
【教学说明】通过练习，巩固所学知识.熟练运用垂直平分线解决问题。
四.师生互动,课堂小结
本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点,及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的
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