4
(3)当动点F在线段BC上运动时,求出yS梯形abcd时X的值.
15
(4)直接写出在整个运动过程中,使FQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值.
2.
(2007河北)如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点P从点
C匀速运动;点Q从点C出发沿线段
B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向,点Q向上作射线QK丄BC,交折线段
C重合时停止运•
与
CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点
于点E.点P、Q同时开始运动,当点P与运动的时间是t秒(t>0).卩
当点P到达终点C时,求t的值,并
(1)
(2)
(3)
式;
,点Q也随之停止.
CD-DA-AB
设点P、Q
^此M—BQL
当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ//DC?
?
设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD、DA上时,
的长;八
S与t的关系
备用图
3.(2008河北)如图,在RtAABC中,/C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,
BC的中点.点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点
B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK—AB,交折线BC-CA
于点G•点P,Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停止运动,点Q也随之停止.设点P,Q
运动的时间是t秒(t0).
(1)D,F两点间的距离是;
(2)射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?
若能,求出t的值•若不能,说明理
由;
(3)当点P运动到折线EF-FC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值;
(4)连结PG,当PG//AB时,请直接写出t的值.
4.(2011山西太原)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形.直线I经过0、C
两点.点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段0A上从点0出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿AtBtC的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线0-C-B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t0),△MPQ的面积为S.
(1)点C的坐标为,直线I的解析式为.
(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.
(3)试求题
(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.
(4)随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线I相交于点N.试
探究:
当t为何值时,△QMN为等腰三角形?
请直接写出t的值.
5.(2011四川重庆)如图,矩形ABCD中,AB=6,
延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒
A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P
FA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相
作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的
(1)当等边△EFG的边FG恰好经过’
BC=2,3,点O是AB的中点,点P在AB的1个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达
遇时停止运动.在点
点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线、BF的运动过程中,以EF为边I时间为t秒(t>0.
运动时间a的值;x
(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之
间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使厶AOH是等腰三角形?
若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.
备用图1
备用图2
三、测试提高
1.(2011山东烟台)如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D
416
在y轴上.直线CB的表达式为y=——x十一,点A、D的坐标分别为(一4,0),(0,4).动点
33
P自A点出发,在AB上匀速运动.动点Q自点B出发,在折线BCD上匀速运动,速度均为每秒
P运动t(秒)时,△OPQ的面
1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点积为S(不能构成△OPQ的动点除外).
(1)求出点B、C的坐标;
(2)求S随t变化的函数关系式;
(3)当t为何值时S有最大值?
并求出最大值.
备用图
第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题
1.(2011浙江温州)如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(-4,0),点B的
坐标为(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC丄x轴,垂足为C,记点P关于y轴
的对称点为P'(点P不在y轴上),连结PP',PA,PC,设点P的横坐标为a.
(1)当b=3时,
1直线AB的解析式;
2若点P的坐标是(-1,m),求m的值;
(2)若点P在第一象限,记直线AB与PC的交点为D.当PD:
DC=1:
3时,求a的值;
(3)是否同时存在a,b,使△PCA为等腰直角三角形?
若存在,请求出所有满足要求的a,b的
值;若不存在,请说明理由.
2.
(2010武汉)如图,
(2)若抛物线的顶
上一动点(不与点
上移动,且/
P'
B
D
O
C
yy=ax2_2axb
(2,-)两点,与
2
(1)求此抛物线的
2
MQ=y2,求y2
2
抛物线
经过A(-1,0),C
x轴交于另一点B.
解析式;
点为M,点P为线段OBB重合),点Q在线段MB
MPQ=45°,设线段OP=x,
与x的函数关系式,并直
接写出自变量x的取值范围;
(3)在同一平面直角坐标系中,两条直线x=m,x=n分别与抛物线交于点E,G,与
(2)中的函数图象交于点F,H•问四边形EFHG能否为平行四边形?
若能,求m,n之间的数量关系;若不能,请说明理由.
备用图
3.(2011江苏镇江)在平面直角坐标系xOy中,直线h过点A(1,0)且与y轴平行,直线J过点B(0,
k
2)且与x轴平行,直线h与12相交于点P•点E为直线12上一点,反比例函数y(k>0)的图象过
x
点E且与直线h相交于点F.
(1)若点E与点P重合,求k的值;
(2)连接OE、OF、EF.若k>2,且△OEF的面积PEF的面积2倍,求点E的坐标;
(3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?
若存在,求E点坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2010浙江舟山)△ABC中,/A=/B=30°AB=2岛.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB
的中点位于坐标原点O(如图),△ABC可以绕点O作任意角度的旋转.
J6
(1)当点B在第一象限,纵坐标是—时,求点B的横坐标;
2
2
(2)如果抛物线y=axbxc(a工0的对称轴经过点C,请你探究:
1当a二」,b=」,卫时,AB两点是否都在这条抛物线上?
并说明理由;
425
2设b=-2am,是否存在这样的m值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?
若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
5.(湖北黄冈)已知二次函数的图象如图所示.
(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点
(2)若点N为线段BM上的一点,过点
动时(点N不与点B,点M重合),设OQ的长为关系式及自变量t的取值范围;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点-1
M的坐标
-1
N作的
B
扌,垂足为点Q.当点N在线段BM上运
边形NQAC面积为S,求S与t之间的函数
.△Pac为直角三角形?
若存在,求出所有符合条
件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)将厶OAC补成矩形,使得△OAC的两个顶点形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标三、测试提高
成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩
(不需要计算过程).
1.
(2011山东东营)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(-3,0),(0,1),
1
点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线丫Jxb交折线OAB于点E.
2
(1)记厶ODE的面积为S.求S与b的函数关系式;
1
(2)当点E在线段OA上时,且tan/DEO=^.若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形
2
若不变,求出
OiAEG•试探究四边形OiABG与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,
1.
2.
该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
第三讲中考压轴题十大类型之面积问题
2
(2011辽宁大连)如图,抛物线y=ax+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点0,使厶QMB与厶PMB的面积相等,若存在,求点存在,说明理由;
(3)在第一象限、
存在,直接写出点
对称轴右侧的抛物线上是否存在一点
R的坐标;若不存在,说明理由.
2
(2011湖北十堰)
(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图
(1),己知点H(0,-1).问在抛
如图,己知抛物线
(0,3)三点,对
Q的坐标;若不
只,使厶RPM与厶RMB的面积相等,若
y=xy+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C
SA3HC=SA3HA?
若存在,求出点G的坐标,若
(3)如图
(2),抛物线上点D在x轴上的正
P为线段BD上的一点,若/EPF=
P
G(点G在y轴的左侧),使得
不存在
O
投影为点
/ADf,求线段
(-2,0),F是OC的中点,连接DF,
PF的长.B
_2
3.(2010天津)在平面直角坐标系中,已知抛物线y二-X2bx
c与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为E.
(I)若b=2,c=3,求此时抛物线顶点E的坐标;
(□)将(I)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足Sabce=S^abc,求此时直线BC的解析式;
(川)将(I)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足Sabce=2Saaoc,且
顶点E恰好落在直线y=-4x3上,求此时抛物线的解析式.
4.(2011山东聊城)如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.点E、F、G分别从点A、B、C
同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当
点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第ts时,△EFG的
面积为Scm2.
(1)当t=1s时,S的值是多少?
(2)写出S与t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;
(3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似?
请说明理由.
5.
/C=90°,AC=8,
点P出发,分别沿PA、运动,点E到达点A后点B时停止,点E也随正方形EFGH,使它与为t秒(t>0),正方形
的边长是
(2011江苏淮安)如图,在RtAABC中,BC=6,点P在AB上,AP=2,点E、F同时从
PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作△ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间
EFGH与厶ABC重叠部分面积为S.
(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是.
(2)当0vt<2时,求S与t的函数关系式;
(3)直接答出:
在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?
最大面积是多少?
备用图
三、测试提高
1.(2010山东东营)如图,在锐角三角形ABC中,BC=12,AABC的面积为48,D,E分别是边
AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE//BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.
(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长;
(2)设DE=*,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值.
1——(2011
E
T
形存在性
A
讲中考压轴题十大类型'三角形存在性问题
B
轴交于点B.
B如图,已知一次函数—C二_B备用图
(1)C
3
-•7与正比例函数y二cx的图象交于点A,且与x备用图
(2)C
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作Ady轴于点C,过点B作直线I//y轴•动点P从点0出发,以每秒1个单位长的速度,沿0—C—A的路线向点A运动;同时直线I从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线I交x轴于点R,交线段BA或线段A0于点Q当点P到达点A时,点P和直线I都停止运动•在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒•是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
(备用图)
124
2.(2009湖北黄冈)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yxx-10与x轴的交点为
189
点A,与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点
P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿0A向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE//OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为
t(单位:
秒)
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?
请写出计算过程;
9
(3)当0:
:
:
t时,△PQF的面积是否总为定值?
若是,求出此定值,若不是,请说明理由;
2
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?
请写出解答过程.
板块二、直角三角形
1
3.(2009四川眉山)如图,已知直线yx1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线
2
12一
yxbxc与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
2
(1)求该抛物线的解析式;
(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标.
4.(2010广东中山)如图所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、
N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线上时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PWQ.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:
(1)说明△FMNs\QWP;
(2)设0乞X岂4(即M从D到A运动的时间段)•试问x为何值时,△PWQ为直角三角形?
当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?
(3)问当x为何值时,线段MN最短?
求此时MN的值.
板块三、相似三角形存在性
5.(2011湖北天门)在平面直角坐标系中,q
+3与x轴的两个交点分别为A(-3,0)
(1)直接填写:
a=,b=
(2)在y轴上是否存在点D,使得△标;若不存在,说明理由;
Q
F2
y=axbx
)过顶点C作
1点WC的坐标为
C为斜边的直角三角形?
若存在,求出点
CH丄x轴于点H.
D的坐
(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)BPQ丄AC于点0,当厶PCQ与厶ACH相似时,求点P的坐标.
三、测试提高
32
1.(2009广西钦州)如图,已知抛物线yxbxC与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标
4
3
为(一1,0),过点C的直线y=—x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P
4t
作PH丄OB于点H.若PB=5t,且0:
:
t:
:
1.
(1)填空:
点C的坐标是,b=,c=;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?
若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
第五讲中考压轴题十大类型之
四边形存在性问题
3
1.(2009黑龙江齐齐哈尔)直线yx6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O
4
点出发,同时到达A点,运动停止.点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线OtBtA运动.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点Q的运动时间为t秒,△OPQ勺面积为S,求出S与t之间的函数关系式;
(3)
P的坐标,并直接写出以点
OP、Q为顶点的平行四边形的第四个顶
当S时,求出点
5
点M的坐标.
2.(2010河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m△AMB勺面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线目--X上的动点,判断有几个位置能够使得点PQBO为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
3.(2011黑龙江鸡西)已知直线y=J3x+4j3与x轴、y轴分别交于A、B两点,/ABC=60°BC与x轴交于点C.
(1)试确定直线BC的解析式;
(2)若动点P从A点出发沿AC向点C运动(不与AC重合),同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与CA重合),动点P的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S,P点的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变
量的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,当厶APC的面积最大时,y轴上有一点M平面内是否存在一点N,使以A、QMN为顶点的四边形为菱形?
若存在,请直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
7
4.(2007河南)如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平
行四边形,求四边形OEAF勺面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)①当四边形OEAF勺面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
5.(2010黑龙江大兴安岭)如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x"2的图象分别交x轴、y轴
于A、B两点.过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段OB的中点.
(1)求直线AM的解析式;
(2)试在直线AM上找一点P,使得Saabp=&aob,请直接写出点P的坐标;
(3)若点H为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、B、M、H为
顶点的四边形是等腰梯形?
若存在,请直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.
三、测试提高
1.(2009辽宁抚顺)已知:
如图所示,关于x的抛物线
y=ax+x+c(a.0)与x轴交于点A(-2,0)/LB(6,0),与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABD(为等腰梯形
M
写出点D的坐标,并求出直线
AD的解析
A.
式;
(3)在
(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是
否存在以A、MP、Q为顶点的平行四边形?
如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,
请说明理由.
第六讲中考压轴题十大类型之
线段之间的关系
1.(2010天津)在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点0在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、
y轴的正半轴上,0A=3,OB=4,D为边0B的中点.
(I)若E为边0A上的一个动点,当△
CDE的周长最小时,求点E的坐标;
2.
y
(n)若E、
F的坐标.
(2011四川
/BAD=90°
B
D
F为边
y
两个动点,,可以作点'D当四边形CD
的周长最小时,求点E、
Ax
是直角梯形,:
目交于点M,且DM疋
B
于x轴的对称点D,连接CD与x轴
刁四边形aa
BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(-1,0),
经过点D、M、N.
B(-1,2),D(3,0)连接DM,并把线fOEDM沿DA方向平移到ON.若抛物线y二ax'•bx•C
E
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大?
并求出最大值.
3.
(2011四川眉山)如图,在直角坐标系中,已知点
方向旋转90°得到点C,顶点在坐标原点的抛物线经过求抛物线的解析式和点C的坐标;
(1)
(