中考数学复习真题演练圆.docx

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中考数学复习真题演练圆

2019-2020年中考数学复习（真题演练）：

圆

1、（xx•烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．

（1）求证：

CB=CF；

（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．

2、（xx•聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：

（1）四边形FADC是菱形；

（2）FC是⊙O的切线．

3、（xx•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．

4、（xx•菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．

（1）求证：

AP是⊙O的切线；

（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．

5、（xx•威海）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．

（1）求∠C的大小；

（2）求阴影部分的面积．

6、（xx山东滨州，22，8分）

如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：

直线EF是⊙O的切线．

7、（xx滨州）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN.

（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；

（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，

（1）的结论是否还成立？

请说明理由；

（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积.

8、（xx临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2

（1）求证：

∠A=2∠DCB；

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留错误！

不能通过编辑域代码创建对象。

和根号）

9、

（xx枣庄）如图，是⊙O的直径，是弦，直线经过点，于点，

（1）求证：

是⊙O的切线；

（2）求证：

；

（3）若⊙O的半径为2，，求图中阴影部分的面积．

10、（xx•德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．

（1）求AD的长；

（2）BC是⊙O的切线吗？

若是，给出证明；若不是，说明理由．

11、（xx•烟台）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．

（1）求证：

CF是⊙O的切线；

（2）若sin∠BAC=，求的值．

12、（2011•烟台）已知：

AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P．设⊙O的半径为r．

（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：

OE•OP=r2；

（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，

（1）中的结论是否成立？

请说明理由．

13、（2011•潍坊）如图，AB是半圆O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．

（1）求证：

△ABC∽△OFB；

（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；

（3）求证：

当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．

14、（xx•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．

（1）猜想：

线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．

（2）求证：

PC是⊙O的切线．

15、（xx•临沂）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：

AP是⊙O的切线；

（2）求PD的长．

16、（2011•临沂）如图．以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C．与OB相交于点D，且OD=BD，己知sinA=，AC=．

（1）求⊙O的半径：

（2）求图中阴影部分的面枳．

17、（2011•东营）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD的周长为15．

（1）求此圆的半径；

（2）求图中阴影部分的面积．

18、（xx•德州）如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．

（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）求线段AF的长．

19、（2011•滨州）如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC．

求证：

（1）△ABC∽△POM；

（2）2OA2=OP•BC．

20、（xx•聊城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．

（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？

请说明理由；

（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

21、（2011•枣庄）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

22、（2011•西宁）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

（1）求证：

△ABE∽△ADB；

（2）求AB的长；

（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

23、（2011•莱芜）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE=3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．

（1）求⊙O的半径；

（2）求证：

EM是⊙O的切线；

（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD=45°时，求图中阴影部分的面积．

参考答案

1、

（1）证明：

如图1，∵AE2=EF•EB，∴=．

又∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△AEB，∴∠1=∠EAB．

∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，∴∠2=∠3，∴CB=CF；

（2）解：

如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．

由

（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．∴=．∴OE⊥AD，∴EG=1．

∵cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°，∴sin∠GAO=，∴=，即=，

解得，r=，即⊙O的半径是．

2、证明：

（1）连接OC，

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×4=2，

设OC=x，

∵BE=2，∴OE=x﹣2，

在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x﹣2）2+

（2）2，解得：

x=4，

∴OA=OC=4，OE=2，

∴AE=6，

在Rt△AED中，AD==4，∴AD=CD，

∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，

∵CD⊥AB，∴AF∥CD，

∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∴▱FADC是菱形；

（2）连接OF，

∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，

在△AFO和△CFO中，，∴△AFO≌△CFO（SSS），∴∠FCO=∠FAO=90°，

即OC⊥FC，

∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．

3、解：

（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：

连接OC．

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，

∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM，∴OC∥AM，

∵CD⊥AM，∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴直线CD与⊙O相切．

（2）∵OC=OA，∴∠BAC=∠ACO，

∵∠CAB=30°，∴∠COE=2∠CAB=60°，∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC•tan60°=．

4、

（1）证明：

连接AO，AC（如图）．∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠CAD=90°．

∵E是CD的中点，∴CE=DE=AE．∴∠ECA=∠EAC．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC．∴∠ECA+∠OCA=90°．∴∠EAC+∠OAC=90°．∴OA⊥AP．

∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；

（2）解：

由

（1）知OA⊥AP．

在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，∴sinP==，∴∠P=30°．∴∠AOP=60°．

∵OC=OA，∴∠ACO=60°．

在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，

∴AC==2，

又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，

∴CD===4．

5、解：

（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，∴=，∴∠C=∠AOD，

∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE，∵AO⊥BC，∴∠C=30°．

（2）连接OB，由

（1）知，∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，

在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴AF=，OF=，∴AB=，

∴S阴影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣××=π﹣．

6、证明：

连接OE，

∵OB=OE，

∴∠B=∠OEB．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∴∠OEB=∠C．

∴OE∥AC．

∵EF⊥AC，

∴OE⊥EF．

∴直线EF是⊙O的切线．

7、解：

（1）PN与⊙O相切.

（2）成立.

（3）连结ON，

8、

（1）证明：

连接OD，过程略。

（2）

9、

（1）证明：

连接

∵∴

∵∠DAC=∠BAC，∴

∴

又∵∴

∴是⊙O的切线

（2）证明：

连接

∵是⊙O的直径，∴

∴

又∵

∴

∴，即

（3）解：

∵∴

∴是等边三角形、

∴，

在中，AC=2，∠ACD=30°，

∴AD=1，CD=

∴

∴

10、解：

（1）连接BD，∵DE是直径∴∠DBE=90°，

∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，

在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1，则AD=2；

（2）是，理由如下：

如图，连接OB．∵BC∥OD，BC=OD，

∴四边形BCDO为平行四边形，

∵AD为圆O的切线，∴OD⊥AD，∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，

则BC为圆O的切线．

11、

（1）证明：

连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，

∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．

∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF．∴OC∥AF．∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线．

（2）解：

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．

∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，∴△ABC∽△CBE．

∴==（sin∠BAC）2==．∴=．

12、

（1）证明：

如图1，连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ．

∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ=90°．∴∠QFD+∠Q=90°．

∵CD⊥AB，∴∠P+∠C=90°．

∵∠Q=∠C，∴∠QFD=∠P．

∵∠FOE=∠POF，∴△FOE∽△POF．∴．∴OE•OP=OF2=r2．

（2）解：

（1）中的结论成立．

理由：

如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM．

∵FM是⊙O直径，∴∠FCM=90°，∴∠M+∠CFM=90°．

∵CD⊥AB，∴∠E+∠D=90°．

∵∠M=∠D，∴∠CFM=∠E．

∵∠POF=∠FOE，∴△POF∽△FOE．∴，∴OE•OP=OF2=r2．

13、

（1）证明：

∵AB为直径，∴∠ACB=90°，即：

AC⊥BC，

又OE⊥BC，∴OE∥AC，∴∠BAC=∠FOB，

∵BN是半圆的切线，∴∠BCA=∠FBO=90°，∴△ABC∽△OFB．

（2）解：

连接OP，

由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠BCA=∠FBO=90°，

∵AM、BN是⊙O的切线，∴∠DAB=∠OBF=90°，∴△ABD∽△BFO，

∴当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，∴AD=OB=1，

∵DP切圆O，DA切圆O，∴DP=DA，

∵△ABD≌△BFO，∴DA=BO=PO=DP，

又∵∠DAO=∠DPO=90°，∴四边形AOPD是正方形，

∴DQ∥AB，∴四边形ABQD是矩形，∴BQ=AD=1；

（3）证明：

由

（2）知，△ABD∽△BFO，∴=，∴BF===，

∵DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP，

过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中，

DQ2=QK2+DK2，

∴（AD+BQ）2=（AD﹣BQ）2+22．∴BQ=，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点．

14、

（1）猜想：

OD∥BC，OD=BC．

证明：

∵OD⊥AC，∴AD=DC

∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD=BC

（2）证明：

连接OC，设OP与⊙O交于点E．∵OD⊥AC，OD经过圆心O，

∴，即∠AOE=∠COE

在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP，∴∠OCP=∠OAP

∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切线．

15、

（1）证明：

连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，

∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线，

（2）解：

连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC•tan30°=3×=，

∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°，

∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=．

16、解：

（1）连接OC，

∵以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C．∴CO⊥AB，

∵sinA==，∵AC=．∴假设CO=2x，AO=5x，

4x2+21=25x2，解得：

x=1，∴CO=2，∴⊙O的半径为2；

（2）∵⊙O的半径为2，∴DO=2，

∵DO=DB，∴BO=4，∴BC=2，∴2CO=BO，

∵OC⊥BC，∴∠CBO=30°，∠COD=60°，

图中阴影部分的面枳为：

S△OCB﹣S扇形COD=×2×2﹣=2﹣π．

17、解：

（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，

∴∠ABC=∠DCB=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=30°，

∴∠DBC+∠DCB=90°，

∴∠BDC=90°

∴BC是圆的直径．

∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°

∴==，∠BCD=60°

∴AB=AD=DC，

∵BC是直径，

∴∠BDC=90°，

在直角△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC．

∴BC+BC=15，

解得：

BC=6

故此圆的半径为3．

（2）设BC的中点为O，由

（1）可知O即为圆心．

连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．

在直角△AOE中，∠AOE=30°

∴OE=OA•cos30°=

S△AOD=×3×=．

∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣=﹣=．

18、

解：

（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，

理由是：

连接OA，

∵点A，E是半圆周上的三等分点，

∴弧AB=弧AE=弧EC，

∴点A是弧BE的中点，

∴OA⊥BE，

又∵AG∥BE，

∴OA⊥AG，

∴AG与⊙O相切．

（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，

∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，

又∵OA=OB，

∴△ABO为正三角形，

又∵AD⊥OB，OB=1，

∴BD=OD=，AD=，

又∵∠EBC=∠EOC=30°（圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），

在Rt△FBD中，FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=×=，

∴AF=AD﹣DF=﹣=．

答：

AF的长是．

19、证明：

（1）∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO=90°，

∵弦AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠PMO，

∵AC∥PM，∴∠CAB=∠P，∴△ABC∽△POM；

（2）∵△ABC∽△POM，∴，又AB=2OA，OA=OM，

∴，∴2OA2=OP•BC．

20、解：

（1）当点P是的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：

∵AB=AC，∴=，

又∵=，∴=，∴PA是⊙O的直径，

∵=，∴∠1=∠2，又AB=AC，∴PA⊥BC，

又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线．

（2）连接OB，设PA交BC于点E．

由垂径定理，得BE=BC=6，

在Rt△ABE中，由勾股定理，得：

AE===8，

设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得：

r2=62+（8﹣r）2，解得r=，

∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，

又∵∠1=∠1，

∴△ABE∽△ADP，∴=，即=，解得：

DP=．

21、

（1）证明：

连接OC．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．

∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=90°．∴CD是⊙O的切线．

（2）解：

∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°．∴S扇形OBC=．

在Rt△OCD中，∵，∴．

∴

．∴图中阴影部分的面积为．

（21）（22）

22、

（1）证明：

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C（等边对等角），

∵∠C=∠D（同弧所对的圆周角相等），∴∠ABC=∠D（等量代换），

又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB，

（2）解：

∵△ABE∽△ADB，∴，

∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，∴AB=．

（3）解：

直线FA与⊙O相切，理由如下：

连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，

∴

=4

BF=BO=，

∵AB=，∴BF=BO=AB，∴∠OAF=90°，∴OA⊥AF，∴直线FA与⊙O相切．

23、

（1）解：

连接OE．∵DE垂直平分半径OA，∴OC=OA

∵OA=OE，∴OC=OE，CE=DE=，∴∠OEC=30°，

∴OE=

=；

（2）证明：

由

（1）知：

∠AOE=60°，，∴∠B=∠AOE=30°，∴∠BDE=60°

∵BD∥ME，∴∠MED=∠BDE=60°，∴∠MEO=∠MED+∠OEC=60°+30°=90°，

∴OE⊥EM，∴EM是⊙O的切线；

（3）解：

连接OF．

∵∠DPA=45°，∴∠DCB=90°，∴∠CDP=45°，∴∠EOF=2∠EDF=90°，

∴S阴影=S扇形EOF﹣S△EOF=

=π﹣．