（r－L）2＋（kL）2＝r2
解得r＝L
又qvB0＝m，则
v＝
粒子在Ⅱ区洛伦兹力提供向心力，
即qvB＝m
由对称性及几何关系可知
＝
即r1＝L
联立上式解得
B＝B0.
11．[2014·四川卷]如图所示，水平放置的不带电的平行金属板p和b相距h，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应．p板上表面光滑，涂有绝缘层，其上O点右侧相距h处有小孔K；b板上有小孔T，且O、T在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面．质量为m、电荷量为－q（q>0）的静止粒子被发射装置（图中未画出）从O点发射，沿p板上表面运动时间t后到达K孔，不与板碰撞地进入两板之间．粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g.
（1）求发射装置对粒子做的功；
（2）电路中的直流电源内阻为r，开关S接“1”位置时，进入板间的粒子落在b板上的A点，A点与过K孔竖直线的距离为l.此后将开关S接“2”位置，求阻值为R的电阻中的电流强度；
（3）若选用恰当直流电源，电路中开关S接“1”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场（磁感应强度B只能在0～Bm＝范围内选取），使粒子恰好从b板的T孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b板板面的夹角的所有可能值（可用反三角函数表示）．
解：
（1）设粒子在p板上做匀速直线运动的速度为v0，有
h＝v0t①
设发射装置对粒子做的功为W，由动能定理得
W＝mv②
联立①②可得 W＝③
（2）S接“1”位置时，电源的电动势E0与板间电势差U有
E0＝U④
板间产生匀强电场的场强为E，粒子进入板间时有水平方向的速度v0，在板间受到竖直方向的重力和电场力作用而做类平抛运动，设加速度为a，运动时间为t1，有
U＝Eh⑤
mg－qE＝ma⑥
h＝at⑦
l＝v0t1⑧
S接“2”位置，则在电阻R上流过的电流I满足
I＝⑨
联立①④～⑨得
I＝⑩
（3）由题意知此时在板间运动的粒子重力与电场力平衡，当粒子从K进入板间后立即进入磁场做匀速圆周运动，如图所示，粒子从D点出磁场区域后沿DT做匀速直线运动，DT与b板上表面的夹角为题目所求夹角θ，磁场的磁感应强度B取最大值时的夹角θ为最大值θm，设粒子做匀速圆周运动的半径为R，有
qv0B＝⑪
过D点作b板的垂线与b板的上表面交于G，由几何关系有
DG＝h－R（1＋cosθ）⑫
TG＝h＋Rsinθ⑬
tanθ＝＝⑭
联立①⑪～⑭，将B＝Bm代入，求得
θm＝arcsin⑮
当B逐渐减小，粒子做匀速圆周运动的半径为R也随之变大，D点向b板靠近，DT与b板上表面的夹角θ也越变越小，当D点无限接近于b板上表面时，粒子离开磁场后在板间几乎沿着b板上表面运动而从T孔飞出板间区域，此时Bm>B>0满足题目要求，夹角θ趋近θ0，即
θ0＝0⑯
则题目所求为 0<θ≤arcsin⑰
12．[2014·四川卷]在如图所示的竖直平面内，水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r＝m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点，GH与水平面的夹角θ＝37°.过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B＝1.25T；过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E＝1×104N/C.小物体P1质量m＝2×10－3kg、电荷量q＝＋8×10－6C，受到水平向右的推力F＝9.98×10－3N的作用，沿CD向右做匀速直线运动，到达D点后撤去推力．当P1到达倾斜轨道底端G点时，不带电的小物体P2在GH顶端静止释放，经过时间t＝0.1s与P1相遇．P1与P2与轨道CD、GH间的动摩擦因数均为μ＝0.5，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力．求：
（1）小物体P1在水平轨道CD上运动速度v的大小；
（2）倾斜轨道GH的长度s.
解：
（1）设小物体P1在匀强磁场中运动的速度为v，受到向上的洛伦兹力为F1，受到的摩擦力为f，则
F1＝qvB①
f＝μ（mg－F1）②
由题意，水平方向合力为零
F－f＝0③
联立①②③式，代入数据解得
v＝4m/s④
（2）设P1在G点的速度大小为vG，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理
qErsinθ－mgr（1－cosθ）＝mv－mv2⑤
P1在GH上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a1，根据牛顿第二定律
qEcosθ－mgsinθ－μ（mgcosθ＋qEsinθ）＝ma1⑥
P1与P2在GH上相遇时，设P1在GH上运动的距离为s1，则
s1＝vGt＋a1t2⑦
设P2质量为m2，在GH上运动的加速度为a2，则
m2gsinθ－μm2gcosθ＝m2a2⑧
P1与P2在GH上相遇时，设P2在GH上运动的距离为s2，则
s2＝a2t2⑨
联立⑤～⑨式，代入数据得
s＝s1＋s2⑩
s＝0.56m⑪
13．[2014·天津卷]同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图所示的模型．M、N为两块中心开有小孔的平行金属板．质量为m、电荷量为＋q的粒子A（不计重力）从M板小孔飘入板间，初速度可视为零．每当A进入板间，两板的电势差变为U，粒子得到加速，当A离开N板时，两板的电荷量均立即变为零．两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A在磁场作用下做半径为R的圆周运动，R远大于板间距离．A经电场多次加速，动能不断增大，为使R保持不变，磁场必须相应地变化．不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应．求：
（1）A运动第1周时磁场的磁感应强度B1的大小；.
（2）在A运动第n周的时间内电场力做功的平均功率Pn；
（3）若有一个质量也为m、电荷量为＋kq（k为大于1的整数）的粒子B（不计重力）与A同时从M板小孔飘入板间，A、B初速度均可视为零，不计两者间的相互作用，除此之外，其他条件均不变．下图中虚线、实线分别表示A、B的运动轨迹．在B的轨迹半径远大于板间距离的前提下，请指出哪个图能定性地反映A、B的运动轨迹，并经推导说明理由．
A B C D
解：
（1）设A经电场第1次加速后速度为v1，由动能定理得
qU＝mv－0①
A在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力充当向心力
qv1B1＝②
由①②得
B1＝③
（2）设A经n次加速后的速度为vn，由动能定理得
nqU＝mv－0④
设A做第n次圆周运动的周期为Tn，有
Tn＝⑤
设在A运动第n周的时间内电场力做功为Wn，则
Wn＝qU⑥
在该段时间内电场力做功的平均功率为
Pn＝⑦
由④⑤⑥⑦解得
Pn＝⑧
（3）A图能定性地反映A、B运动的轨迹．
A经过n次加速后，设其对应的磁感应强度为Bn，A、B的周期分别为Tn、T′，综合②、⑤式并分别应用A、B的数据得
Tn＝
T′＝＝
由上可知，Tn是T′的k倍，所以A每绕行1周，B就绕行k周．由于电场只在A通过时存在，故B仅在与A同时进入电场时才被加速．
经n次加速后，A、B的速度分别为vn和v′n，考虑到④式
vn＝
v′n＝＝vn
由题设条件并考虑到⑤式，对A有
Tnvn＝2πR
设B的轨迹半径为R′，有
T′v′n＝2πR′
比较上述两式得
R′＝
上式表明，运动过程中B的轨迹半径始终不变．
由以上分析可知，两粒子运动的轨道如图A所示．
14．[2014·浙江卷]离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图1所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度vM从右侧喷出．
Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线处的C点持续射出一定速率范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2所示（从左向右看）．电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角（0＜α≤90°）．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速率为v0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e.（电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞）
第25题图1
（1）求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；
（2）为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向（按图2说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”）；
第25题图2
（3）α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围；
（4）要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax与α角的关系．
解：
本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动等知识和分析综合及应用数学解决物理问题的能力．
（1）由动能定理得Mv＝eU①
U＝②
a＝＝e＝③
（2）垂直纸面向外④
（3）设电子运动的最大半径为r
2r＝R.⑤
eBv＝m⑥
所以有v0≤v<⑦
要使⑦式有解，磁感应强度B>.⑧
（4）如图所示，OA＝R－r，OC＝，AC＝r
根据几何关系得r＝⑨
由⑥⑨式得vmax＝.
15．（16分）[2014·重庆卷]某电子天平原理如题8图所示，E形磁铁的两侧为N极，中心为S极，两极间的磁感应强度大小均为B，磁极宽度均为L，忽略边缘效应，一正方形线圈套于中心磁极，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C、D与外电路连接，当质量为m的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动（骨架与磁极不接触），随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流I可确定重物的质量，已知线圈匝数为n，线圈电阻为R，重力加速度为g.问
题8图
（1）线圈向下运动过程中，线圈中感应电流是从C端还是从D端流出？
（2）供电电流I是从C端还是D端流入？
求重物质量与电流的关系．
（3）若线圈消耗的最大功率为P，该电子天平能称量的最大质量是多少？
解：
（1）感应电流从C端流出．
（2）设线圈受到的安培力为FA，外加电流从D端流入．
由FA＝mg和FA＝2nBIL
得m＝I
（3）设称量最大质量为m0.
由m＝I和P＝I2R
得m0＝
16．（18分）[2014·重庆卷]如题9图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h，质量为m，带电荷量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g.
题9图
（1）求电场强度的大小和方向．
（2）要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值．
（3）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．
答题9图1 答题9图2
解：
（1）设电场强度大小为E.
由题意有mg＝qE
得E＝，方向竖直向上．
（2）如答题9图1所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ.
由r＝
有r1＝，r2＝r1
由（r1＋r2）sinφ＝r2
r1＋r1cosφ＝h
vmin＝（9－6）
（3）如答题9图2所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x.
由题意有3nx＝1.8h（n＝1，2，3…）
x≥
x＝
得r1＝，n<3.5
即n＝1时，v＝；
n＝2时，v＝；
n＝3时，v＝
17．[2014·江苏卷]某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．
（1）求磁场区域的宽度h；
（2）欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；
（3）欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值．
解：
（1）设粒子在磁场中的轨道半径为r
根据题意 L＝3rsin30°＋3dcos30°
且h＝r（1－cos30°）
解得 h＝.
（2）设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′
m＝qvB，m＝qv′B，
由题意知 3rsin30°＝4r′sin30° 解得Δv＝v－v′＝.
（3）设粒子经过上方磁场n次
由题意知 L＝（2n＋2）dcos30°＋（2n＋2）rnsin30°
且 ＝qvnB，解得 vn＝
18．（20分）[2014·山东卷]如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场．取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，一质量为m、带电荷量为＋q的粒子（不计重力），以初速度v0.由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区．当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）．上述m、q、d、v0为已知量．
图甲 图乙
（1）若Δt＝TB，求B0；
（2）若Δt＝TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
（3）若B0＝，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB.
解：
（1）设粒子做圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得
qv0B0＝①
据题意由几何关系得
R1＝d②
联立①②式得
B0＝③
（2）设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得
a＝④
据题意由几何关系得
3R2＝d⑤
联立④⑤式
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