第1讲 集合含答案.docx

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第1讲集合含答案

高一暑期讲义说明

这本讲义是我们第二次讲义升级后的版本，与之前的讲义相比，有如下变化：

1．我们的讲义开始区分尖子班（提高班与尖子班讲义相同）与目标班，目标班有些知识点是尖子班没有的，有些例题目标班难度更大，尖子班与目标班差别在15%左右．

2．知识点进行了细化，并与例题配套，可以直接顺着讲义上知识点与例题的顺序进行讲解；

3．取消了《初高衔接》一讲，将初高衔接的内容细化在各讲，并直接放在需要用到的例题后面，此部分在学生版不出现，在课件中出现．初高衔接的内容有：

第一讲集合中：

配方法、因式分解；第二讲函数中：

解一元二次不等式；第三讲函数的单调性中：

立方和与立方差公式；第九讲函数与方程中：

韦达定理；

4．吸收了一些优秀教师的教法，加入了大量的知识点引入、生活中的小例子引入与数学中的小例子，这些引入的内容与小例子只在教师版出现，所用语言比较通俗易懂，但有些会缺乏严谨，供老师选用；

5．知识点睛中配有一些“练习”，一般是对刚刚讲过的概念的直接理解，比较简单；对于一些新知识点，配有“挑战几分钟”，供学生加强练习；

6．预习讲义侧重于对新概念理解与辨析，通常不涉及具体的方法与题型的总结，与同步讲义有明显区别，例题整体难度不大．个别例题后面配有较难的备选，供老师选用；

7．我们是以知识模块划分的讲次，每讲内容的量有一些区别，以下附有建议课时表：

讲次

讲义名称

建议课时

第1讲

集合

3.5小时

第2讲

函数及其表示

4.5小时

第3讲

函数的单调性

3小时

第4讲

函数的奇偶性

2小时

第5讲

指数与指数函数

3小时

第6讲

对数运算

3小时

第7讲

对数函数

3小时

第8讲

幂函数与复合函数

2.5小时

第9讲

函数与方程

3.5小时

第10讲

综合复习

2小时

8．课后演练教师版有，学生版没有，会汇总作为一本练习册发给学生，并且网上有视频讲解．

集合

第1讲

函数2级

函数及其表示

函数3级

函数的单调性

函数1级

集合

当前形势

集合在近五年北京卷（理）考查5～18分

高考

要求

内容

要求层次

具体要求

A

B

C

集合的含义与表示

√

了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．

能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

集合间基本关系

√

理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

在具体情境中，了解全集与空集的含义．

集合基本运算

√

理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

能使用Venn图表达集合的关系及运算

北京

高考

解读

2008年

2009年

2010年（新课标）

2011年（新课标）

2012年（新课标）

第1题5分

第20题13分

第1题5分

第20题13分

第1题5分

第1题5分

考点1：

集合的概念

集合的引入（说明为什么要学习集合）

塔罗牌中有一张牌叫巴比塔，是一个倒了的塔，这个塔源自《圣经·旧约》，《圣经》上说，人类的祖先最初讲的是同一种语言．他们在两河流域定居下来，修起了城池．后来，他们的日子越过越好，决定修建一座可以通到天上去的高塔，这就是巴比塔．直到有一天，高高的塔顶已冲入云霄．上帝耶和华得知此事，立即从天国下凡视察．上帝一看，又惊又怒，认为这是人类虚荣心的象征．上帝心想，人们讲同样的语言，就能建起这样的巨塔，日后还有什么办不成的事情呢？

于是，上帝决定让人世间的语言发生混乱，使人们互相言语不通．

数学家希望建立一个所有学数学的人有一个能共同对话的平台，这个平台就是集合．

那到底什么叫集合呢？

1．⑴集合的含义：

一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．

如：

现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素．

⑵一般情况下，集合用英文大写字母表示．元素用英文小写字母表示；

⑶不含任何元素的集合叫做空集，记作．

集合含义的理解

对于集合的含义，我们需要注意集合首先是一个整体，所有满足条件的对象都必须在这个集合中．

“能够确定”是指有明确的可界定的规则，每一个对象是不是在范围中都能得到客观判定．

理解这个要注意以下三点：

①界定的规则一定是一个客观的属性，不依赖主观的感觉；

如：

中国所有的比较老的人不能构成一个集合；

中国所有年龄在60岁以上的人可以构成一个集合；

这种类型的例子很多，如我们班同学中比较高的人不能构成一个集合，因为姚明与潘长江的标准会很不相同，但给身高一个标准就构成一个集合了，如高于160cm的人．

再如我们班比较帅的人，比较漂亮的人，这个因为有审美观的主观差异，还有情人眼里出西施的特殊情况，所以都不能构成集合．

在数学上，由于数学本身的严格，这个东西会变得简单，如方程的根；小于等于的实数都可以构成集合；

②这个整体如果客观存在，即使不知道也不影响确定性．

如：

我们班头发根数最多的4个人．世界第五高的山峰；

存在，虽然你并不知道．但它们都能构成集合．

③方程的实数根能不能构成一个集合呢？

我们可以判定任意一个实数都不在其中，所以它可以构成一个集合，这个集合就是什么都没有的集合，叫做空集，用表示．

再如，小于3又大于3的集合．我们班既是男性又是女性的同学．都是空集．

下面可以构成集合的有_______．

①中国人口排在第8-12位的城市；②到两定点的距离的和等于两定点间的距离的点；

③高一数学课本中的难题；④方程的实数解；

正解：

①②④．

2．元素与集合的关系：

如果是集合中的元素，就说属于，记作；

如果不是集合中的元素，就说不属于，记作．

3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

或

<教师备案>常见数集写法的字母意义：

自然数是NaturalNumber（自然数）的首字母，即全体非负整数构成的集合；

习惯用或表示正整数集，其中的星是非零的意思；

整数集的是德文Zahlen（数字）的首字母．

有理数集的是英语/德语Quotient（商）的首字母，因为有理数都可以写成两整数的商．

实数是RealNumber（实数）的首字母．

在后面的学习中，会在均值不等式部分用表示正实数集，在复数中引入表示复数集之外，高中不会接触到其它数集的表示形式．

为什么要用一个德文首字母表示整数集呢？

使用作为整数集的标记，是因为19世纪德国数论很强很强，所以德国的某些数学家引入的记号后来就通行了，至于这个数学家是谁，说法不一，有人说是朗道，有人说是诺特（此人是迄今为止最牛的女数学家，没有之一）．

数学中的符号使用，就两个原则．一是优先：

谁先提出，得到认可，后面就跟着用．二是方便：

谁的符号更实用，更方便．就会得到大家认可，从而流行．例如数字，中国、印度、希腊都有自己的系统，但现在只用阿拉伯数字，就是它方便，而且它有0（汉字的零是后来从阿拉伯数字0抄来的）．

练习1：

用，填空．

①___；②___；③__；④___；⑤___；⑥___；___R；

答案：

；；；；；；．

4．元素的性质

①确定性：

集合中的元素是确定的，不能模棱两可．

②互异性：

集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个．

③无序性：

集合中的元素是无次序关系的．

<教师备案>确定性在讲集合的概念时就已经说明了．

互异性是指集合中的元素互不相同，这样给定一个集合，会有一些天然的避讳，有一些默认的事实存在，如由构成的集合中，一定满足．

因为这里没讲集合的表示法，所以元素的性质都需要结合一些实际中的问题进行讲解．

集合的互异性可以通过班上同学举例，如要从班上选出五个同学组队参加一个比赛，这里选出的五个人构成一个集合，这五个人必须是不同的五个人，必须满足互异性，把一个人重复指点五次并不能构成这个集合．

集合无序性是指集合中的元素没有顺序，同样还是上面选出的五个人，把他们的姓名按照姓氏笔画顺序排列，还是按照拼音字母顺序排列，还是按照体重数量排列，都是这五个人．这个集合并没有变化．

【例1】⑴若是一个集合中的三个元素，实数应满足什么条件？

⑵设，将对象，，，，，组成集合，则集合中元素最多时有（）

A．个B．个C．5个D．6个

⑶下列叙述中正确的个数是（）

①若，则；②若，则；

③，若，则；④，若，则．

A．0个B．1个C．2个D．3个

1【解析】⑴且．

⑵A

⑶C．

讲完集合的概念与元素的性质之后，我们自然需要知道如何把一个集合与数学的语言表示出来．下面，我们来看看集合的表示法．

考点2：

集合的表示法——列举法与描述法

5．集合的表示法

⑴列举法：

把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，

并写在大括号“{}”内的表示集合的方法．

例如：

，．

【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为，自然数集可以表示成．

有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程的解集可以写成；直线与直线的交点集合可以写成．

描述法引入

列举法非常简单直观，一个对象是否在集合中很容易判断，但凡是很简单的方法往往就会有一些问题与局限性，如果一个集合中元素太多，而规律性又不强，这时把所有的元素都列出来，就很难做到了：

如世界上所有高度在米以上的山峰，《红楼梦》中所有的人物，这两个集合用列举法表示非常困难；而所有大于3的实数构成的集合用列举法就根本表示不出来了．另外，有些集合虽然可以确定，元素个数也不多，但元素是哪些却不容易得到，如班上头发最多的四位同学，这用列举法就很难表示．再比如方程（为参数）的解．遇到这样的集合，就需要一些新的表示方法．

⑵描述法（又称特征性质描述法）：

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素．为的范围，有时也写为．

例如：

大于的所有整数用描述法表示为．

方程的实根用描述法表示为．

【注意】

①描述法给出了一个客观的标准，用表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．

如：

；；

，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：

孙悟空在这个集合中吗？

不在，他不是人；猪八戒在吗？

不在，他也不是人．李世民在吗？

在；天篷元帅在吗？

……

，说明集合描述的是实数，这个实数具有大于等于的特点．

若元素范围为，在不致发生误解时，也可以省略，直接写成．

但对于集合，则一定不能省略．

②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为．

如：

，说明集合是点集，点满足，故集合中的点在抛物线上，即此集合表示抛物线上所有的点．

③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即与表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．

<教师备案>在教学用书中有这样的说明：

有些集合可以直接写出元素名称，并用花括号括起来表示这类元素的全体，如用表示所有的奇数组成的集合．当成是一种特殊的特征性质描述法．遇到这种写法可以向学生作个说明，但不推荐使用．为了方便起见，在后面的教师备案中，对一些非数学的概念，我们有时会采用这样的一种写法，如用{我们班同学}表示我们班所有同学表示的集合．

练习2：