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APOS2
第四章数学学习理论
[教学目标]：
了解行为主义、认知学派以及建构主义的主要学习理论；理解数学学习的类型和方法；掌握数学概念、命题与问题解决的学习；了解影响数学学习的因素。
[学时]：
6
[教学方法]：
课堂讲解，课例研讨，自主学习
[教学准备]：
多媒体教学课件
[教学过程]：
数学学习论是研究数学学习过程中的心理现象和规律的科学，它是数学教育理论的基础之一。
数学教学既然是以学生为主体的数学认知活动过程，那么研究学生数学学习就尤为重要。
本章将通过对数学学习的心理分析，探讨数学知识学习和影响数学学习的各种因素及其相互关系。
§4.1数学学习的类型和方法
一、数学学习的实质
1、什么是学习？
这是一个既熟悉而又难以回答的问题。
从字面上讲：
学习是学、思、习、行的总结。
广义上讲：
是指动物和人的经验的获得，以及比较持久的行为变化的过程。
按照巴甫洛夫学说的观点，凡能建立条件反射的有机体，都具有学习的行为。
有机的学习是以行为变化表现出来的，但是并非可有行为变化都意味着存在学习。
例如：
疲劳、损伤、药物引起的个体行为变化。
学习结果的行为变化有外显与内隐之分。
数学知识和技能的学习一般都以外显形式反映行为变化，而数学情感学习所导致的行为变化则往往是内隐形式。
狭义地讲：
是指人类的学习。
它是指人在社会生活实践的过程中，通过人际交往，并以语言为媒介，自觉地、主动地掌握人类社会发展历史中所积累起来的知识和技能，并形成一定的行为和情感的过程。
人类的学习有以下几个区别于动物学习的特点：
①人类的学习是自觉的和能动的；②语言是人类学习的主要媒介（第二信号系统是人类独有的）；③人类的学习是在与他人的交际中进行的（所谓“互帮互学”）。
学生的学习是人类学习的一种特殊形式。
它是以掌握一定的系统的科学知识、技能、社会生活规范和行为准则为主要任务，是有目标、按计划，在一定组织形式下进行的比较持久的行为变化过程。
在现代社会中，学生的学习不仅指学生在学校中的学习，而且还包括利用电脑、电视、广播、自学辅导材料等形式或资料的学习。
学生学习的特点：
①以系统掌握间接经验为主；②是在教师指导下进行的；③依据一定的课程教材；④受规定的时间限制；⑤主要是为参加未来的社会实践作准备。
2、数学学习的特点
数学学习是学生学习的一个重要组成部分。
它是指学生依据数学课程标准，按照一定的目的、内容、要求，系统地掌握数学知识与技能的过程。
并在这一过程中，逐步地发展各种能力，尤其是数学能力，养成良好的数学心理品质。
数学学习除了具有学生学习的一般特点外，还有以下三个显著特点：
①是一种科学的公共语言学习；
由数学符号以及它们的各种有机组合所构成的数学，可以反映存在于现实世界中的一些关系和形式，因此，它是一种语言。
数学语言被广泛运用于各门科学。
②学生学习数学必须具备较强的抽象概括能力；
这是由数学学科的抽象性特点所决定的。
③最有利于学生推理能力的发展。
数学是一门建立在公理体系基础上，一切结论都需加以严格证明的数学。
数学证明所采用的逻辑形式最基本、最主要的就是三段论。
学生在数学学习中，反复学习使用三段论来解答各种数学问题，并且还要求他们能够达到熟练掌握的程度。
这对于他们推理能力的发展无疑是极其有利的。
中学数学学习的特点：
中学数学学习是根据中学数学教学计划、目的要求进行的，是获得数学知识经验而引起的比较持久的行为变化的过程。
具有以下显著特点：
①是人类发现基础上的再发现（掌握间接经验为主）；②是有目的，有计划地进行的（教学方法加工，教师指导）；③重点在于知识的学习和能力的培养。
二、数学学习的分类
通过分类，一方面，能使我们认识不同类型学习的特点与规律，揭示出学习者在同类学习活动中的心理机制，另一方面有利于教师根据不同的学习类型，分别采用与之相适应的教学方法和课堂活动形式，促进学生的学习。
例如，“双基训练”、“熟能生巧”、“变式练习”等的心理机制如何？
1、数学学习的等级分类（加涅的认知积累理论）
这是由著名教育心理学家和学习实验心理学家加涅（R·M·Gagne）提出的八类型学习分类，是一个从简单到繁杂，从具体到抽象从低级到高级的学习等级分类。
数学学习分为四阶段：
①理解；②习得；③存储；④提取。
①信号学习
信号学习是由单个事例或一个刺激的若干次重复所引起的一种无意识的行为变化，它属于情绪的反应。
其后果可能愉快，也可能不愉快；另一方面，由于它又是一种无意识的行为变化，虽然学习者很难自我控制，但对他的行为却可以产生相当的大影响。
②刺激—反应学习
这也是一种对信号作出反应的学习，但它有别信号学习的是：
信号学习是自发的情绪的行为变化，而刺激—反应学习则是自觉的、肌体的行为变化。
有关人的纯粹刺激—反应学习，主要发生在年幼儿童中。
③连锁学习
连锁学习是指两个或两个以上非词语刺激—反应学习的一个有序结合。
其中每个刺激—反应称为一个链环，各个链环的有序结合称为一条链。
这样，连锁学习又可以称作为运动链的学习。
人们在日常生活中许多任务的完成，像刷牙、洗脸、开门、削铅笔等，都是一种链锁学习。
在数学学习中，某些技能的学习带有一定的操作性，它们也是一种连锁学习。
例如：
利用直尺、圆规、量角器等工具进行画图或作图，制作几何模型，都是链锁学习。
④词语联想学习
与链锁学习一样，词语联想学习也是一种刺激—反应学习链，只是这条链上的链环是词语刺激—反应，而不是运动刺激—反应。
在数学学习中，记住三角公式是词语联想学习的例子。
例如，对“正弦函数”这个词，可以有以下多种智力代码出现在不同学习者的头脑中：
符号y=sinx，对边比斜边，单位图中的正弦线，直角坐标系中的图像（正弦曲线）。
对话（交互、交流、交际）——是词语联想学习最重要的应用。
数学概念的表达，命题证明过程的叙述，以及运算过程合理性的说明，都需要学习者拥有大量已学会的词语联想链。
因此，作为数学教师，应当鼓励学生正确而简明地表达数学事实、概念和原理；积极参与学生的讨论；要求他们多进行互相合作交流。
总之，利用各种可行手段来促进学生的词语联想学习。
⑤辩别学习
辩别学习，就是学会对不同的刺激，包括对那些貌似相同但实质不同的刺激作出不同的识别反应。
例如：
对0到9十个数码的识别；多面体与旋转体的区分。
辩别学习的困难在于：
一是形式相同而实质不同的两个对象；二是形式不同而实质相同的对象。
例如，直角生标系中，方程x=3是一条直线；极坐标系中方程
=3是一个圆。
又如，数1与
都是自然数且相等，因此实质是一样的但在形式上，
是一个无限循环小数，与自然数1相差甚远。
⑥概念学习
概念学习是指能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反应的过程。
这是一类十分重要的学习。
概念学习评价指标及教学要点（见田本P54）。
⑦法则学习
是一列概念学习的有序连锁，表现为能以一类行动对一类条件作出反应，它是一种推理能力的学习。
关于法则的教学程序，加涅提出五步骤。
法则学习是数学学习的一种主要类型。
1971年，加涅又将“学习的种类型”简化为6类，并构成阶梯式的发展过程，如图所示：
“加涅的累积学习层次”（见图）
⑧问题解决学习
问题解决（preblemsolving）学习是加涅的学习分类体系中层次最高的一类学习，它含有发明、创造的意思。
所谓问题解决，就是以独特的方式去选择多组法则，综合运用它们，最终建立起一个或一组新的、更高级的、学习者先前未曾遇到过的法则（数学家所进行的研究工作一般来说都属于问题解决学习之列）。
它与法则学习不同，在数学习中，解答一般的常规性问题不能算作解决问题学习，它们只不过是法则的运用。
例如：
计算lg2+lg5。
解决现实世界中的问题学习过程通常包含下列几个步骤：
①以一般形式提出问题；
②将问题改述为可进行运算的形式；
③提出条件和假设（它们往往是解题的关键）；
④通过运算检验假设，从中得到一个或一组可供选择的解；
⑤检验确定正确的或最合适的解。
2、数学学习的二维分类
认知心理学派代表人物之一，著名学习理论家奥苏倍尔（D.P.Ansnbel）提出的。
他把学习分为：
①机械学习和有意义学习；②接受学习和发现学习。
现代教育理论强调，重视有意义的接受学习和有意义的发现式学习。
三、数学学习的方法
1、摸仿：
按照一定的模式去进行学习，它直接依赖于教师的示范。
如符号的读写，学具的操作，画图技法，解题表达、方法运用、学习习惯等。
是学习的基本方法。
2、操作（即练习）：
指可以对数学学习的效果产生影响并能促成强化作用的学习行为。
如：
练习、学具的使用，几何模型的制作，实地测量。
最主要的操作形式——练习。
练习，是数学学习中一种最主要的操作形式。
它对于学业生掌握基础知识和基本技能，培养和提高他们的能力都是不可少的。
为使练习产生有效的结果需注意以下几点：
①练习应遵守循序渐近的原则进行；
②供练习使用的习题，在数量上要适度，在质量上应上乘（好的）；
③养成良好的练习习惯（正常使用课本，独立完成作业，书写规范，速度）。
3、发现
发现，就是人们运用自己的智慧去获得前人从未获得过的知识的过程。
数学学习中的发现，是指学生对自己头脑中已有的数学信息（事实、概念、原理等）进行操作、组织和转化，从而亲自获得新信息所进行的学习。
数学学习中的发现，不是数学家所进行的发现工作，而只能是一种在教材内容范围内进行的再发现学习。
其过程是：
掌握学习课题，提出猜想、验证。
§4.2中学数学学习的一般过程
学习是指知识经验的获得与行为变化的过程，只有积累知识经验基础上的行为变化才是学习，而且学习是一个不断渐近提高的过程。
学习理论的基本观点。
一、行为主义的学习观
代表人物：
桑代克（Thorndike，1874—1949）；巴甫洛夫（1849—1936）；斯金纳（Skinner,1904—1990）；班杜拉（Balndara，1925~）。
二、认知学派的学习观
代表人物：
格式塔学派（Gestaet）；托尔曼（Tolman,1886—1959）；布鲁纳（Bruner，1915~）；奥苏倍尔（Ansubel，1918）。
三、建构主义的学习观
代表人物：
杜威，皮亚杰，布鲁纳，维果斯基。
1、知识结构与认识结构
（1）知识结构：
知识结构是指由知识之间内在的联系所联结而成的整体，它包含两个要素：
①是最基本的知识；②是其他知识与最基本知识的联系。
所谓掌握知识结构，实质上就是掌握这两个基本要素。
这里所说的最基本知识和其他知识，是相对而论的，一般说来，章有章的最基本的知识，节有节的最基本的知识，课有课的最基本的知识；因而在各个不同的范围，也就有不同的知识结构。
例如：
初中阶段关于方程和方程组的知识结构，大致可归纳为：
（1）最基本知识：
一元一次方程、一元二次方程（就结构而言，一元二次方程也可以转化为一元一次方程，考虑到现行初中代数教材对一元二次方程已作详细的讨论，所以也并列于此）。
（2）其他知识与最基本知识的联系：
以换元法、代入消元法、加减消元法等方法为中介，将各类方程和方程组转化为一元一次方程式一元二次方程，即
多元方程（组）
一元方程；
高次方程
一次方程或二次方程
分式方程
整式方程；
无理方程
有理方程。
只要掌握上述这些最基本知识，以及其他知识与最基本知识的联系，就不难掌握初中阶段的方程和方程组知识。
（2）认知结构
认知是感受到的信息，在人脑中被转换、简化、储存、恢复和运用的全过程。
在认知活动中，对输入的信息进行组织或再组织的加工，形成了概括化的一般认识模式。
所谓数学的认知结构，就是学生头脑中的数学知识结构。
这种认知结构具有对以后的输入信息进行同化的功能，但当输入的信息与现有认知结构不相符合，存在着不平衡时，就要调节现有的认知结构，使之能同化这样输入的信息，建立新的平衡，形成新水平上的同化能力。
每个学生的数学认识结构各有特点，个人的认识结构在内容和组织方面的特征，称为认识结构变量，且可分为：
①一般的（长期的）认知结构变量——学生在中学数学的全部知识结构的内容和组织特征，这些特征影响他们在数学中未来的成绩。
②特殊的（短期的）认知结构变量——学生在学习某一相对小的知识单元时，他们的知识结构中对这一新的发生影响并有直接关系的概念、命题的内容和组织特征。
例如：
初中学生在学习分数指数概念时，短期的认识结构变量可有下列四种类型：
①能掌握整数指数幂的运算，但对其概念与理论较模糊；
②能比较熟练地掌握整数指数幂的运算，也能讲述有关理论，但不理解为什么要推广指数幂的概念与运算；
③概念较清楚，运算较熟练，并能理解新指数幂的意义；
④能进一步认识到只有引入零指数、负指数幂后，才能使分式与整式，根式与有理式得到和谐统一，从而便于运算。
（3）数学知识结构与认知结构的关系
数学的知识结构是数学家研究的对象，数学的认知结构是心理学家研究的对象，它们区别表现为：
①数学的知识结构是前人研究数学所积累的经验结构，是客观的，对学生是外在的东西。
数学的认知结构是学生学习数学时在自己头脑中逐步形成的认知模式，是主观的，对学生是内在的心理的东西。
②数学的知识结构是教材中按照一定顺应组织起来的，是学生通过学习能够掌握的。
数学的认知结构是学生认识这些数学内容的智能活动模式，它有正误、优劣之分，在一定程度上体现了学习数学的能力，以适应同类数学知识的学习。
③同一数学知识结构的内容，可以通过不同的数学认知结构去掌握，单纯的数学知识积累，不等于数学认知结构的形成。
数学的认知结构有一个由简单列复杂，由低级到高级的发展过程。
数学的知识结构与认知结构之间有着密切的联系。
这是因为学生学习数学时的认知结构不能离开数学的知识结构而产生，形成一定模式的认知结构不能离开数学的知识结构而产生，形成一定模式的认知结构，也就相应地掌握了有关的知识结构。
同时，人们在学习数学的过程中，如果经过创造性的思维，发现了新的认知模式，反过来，可丰富数学内容，从而发展或改组数学的知识结构。
事实上，学习数学的过程，可以说是人类的数学知识结构与转为学习者的数学认知结构的过程，也是将前人解决数学问题中所形成的独特的数学认识结构，转化为人类共同知识财富的结果。
2、中学数学学习的一般过程：
输入—相互作用—操作—输出
根据学习的认知理论，一般认为中学数学的学习过程是一个数学认知过程。
这个过程包括输入阶段，新旧知识的相互作用阶段和操作阶段。
其一般模式如图所示：
什么是同化、顺应？
在已知结构下进行教学，把有关概念纳入到已有的结构中——同化；新学习的内容与原有结构产生新的结构——顺应。
第一阶段是输入阶段。
输入阶段实际上就是创设学习情境，给学生提供新的学习内容。
在这一学习情境中，学生原有的数学认知结构和新的学习内容之间发生冲突。
在心理上产生学习新知识的需要，这是输入阶段的关键。
因此，在此阶段教师所提供的新内容应当适合学生的能力、兴趣，激发其内部学习动机。
第二阶段是相互作作阶段。
产生学习需要后，学生原有的数学认知结构和新的学习内容发生作用，并以同化和顺应两种基本形式，进入相互作用阶段。
所谓同化，就是把新学习的知识纳入到原有的数学认知结构中，进一步扩大原有知识内容的过程；所谓顺应，就是当原有认知结构不能接纳新的学习内容时，必须改组或部分改组，进而形成新的数学认知结构，并把新的知识结构接纳进去的过程。
例如学生学习负有理数，是在已有零和正有理数认知结构的基础上，对负有理数进行加工，建立正负有理数之间的联系。
当负有理数概念输入时，学生就在他们头脑中筛选出可以纳入有理数的数学认知结构——正有理数认知结构。
根据这个认知结构，学生对负有理数进行改造，建立与正有理数之间的联系：
负有理数的性质和正有理数相反，负有理数的加，减运算可用正有理数来定义，等等。
这样，负有理数就同化到正有理数的认知结构中去，原有的正有理数认知结构被扩充成有理数的认识结构。
再如，学生学习解析几何时，由于初等几何与解析几何的区别，学生就不能简单地依靠同化方式在原有初等几何认知结构基础上学习解析几何，而要改造初等几何的认知结构。
通过坐标系的建立，实现形数对应，通过曲线与方程的部分内容学习后，才能逐步顺应解析几何的学习。
再例，学生学习函数概念的过程是顺应的过程。
初中学生刚学习函数时，原有的认知结构不能适应新的认知需要。
在此以前，学生原有的认知结构中只有常量数学的有关知识，主要是代数式的恒等变形和方程、不等式的同解变形，以通过运算求得结果为目的，其主要手段为运算。
而学习变量的概念，要以变化的观点来考察变量之间的相互依赖关系，研究的着眼点是“关系”，其表达手段主要是列出解析式、表格或描绘图像。
例，在学习函数概念之前学习圆的面积公式，是为了利用圆的半径去计算圆的面积，而学习函数概念时，则要把圆的面积公式看成圆的面积与半径之间相互变化的遵循的规律。
这就使学生原有的认知结构不能和新的认知需要相适应，学生必须对原有认知结构进行调整，以适应新的学习需要，并建立新的数学认知结构。
同化和顺应是学习过程中原有认知结构与新学习的内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于同一学习过程中，只是侧重而不同而已。
上例所说的负有理数学习，原有非负有理数认知结构也有所改变，以顺应新知识的学习；而函数概念的学习中也存在着同化的过程。
第三阶段是操作阶段。
操作阶段实质上是在第二段所产生新的数学认知结构雏形的基础上，通过练习等活动，使新学习的知识得到巩固，初步形成新的数学认知结构的过程。
通过这一阶段的学习，学生学到了一定的技能，使新学习的知识与原有的认知结构之间产生较为密切的联系。
第四阶段是输出阶段。
这一阶段是在上阶段初步形成新的数学认知结构的基础上，通过解决数学问题，使新学习的知识完全融化于原有的数学认知结构之中，形成新的认知结构的过程。
通过此阶段的学习，学生的能力得到进一步的发展，数学认知结构更为完善、达到预期的教学目标。
3、如何完善与发展的数学认知结构
数学学习的过程，实质上就是数学认知结构的发展变化过程。
掌握数学学习过程的意义在于顺应学生数学学习的过程，促进学生数学认知结构的完善和发展。
具体说来，必须做到以下两点：
第一，把学生认知结构中原有的观念作为数学教学的出发点。
数学学习的四个阶段是紧密联系的，前一阶段的学习是后一阶段学习的基础，后一阶段的学习是前一阶段学习的深入和发展，而在任何情况下，已有的认知结构总是学习新认识的基础。
数学学习的重要策略之一主在于建立新认知与原有认知结构中相应知识之间的联系，这里首先应该注意：
学生知道了什么？
知道的程度如何？
是否运用自如？
等等。
例如，学习一元二次方程的求根公式，是建立在直接开方法和配方法的基础上的。
大多数学生具备了这两方面的知识和技能。
但若要学生独立推导一元二次方程的求根公式，恐怕多数学生是有困难的。
这是由于配方法虽已学过，但还未达到运用自如的程度，而由数字系数转到字母系数，难度也较大。
这就是说，原有知识与新学习的内容之间虽有联系，但它们之间的“潜在距离”较远。
教学上，我们可以设计以下三组方程依次让学生练习，从而缩短这个“距离”，使大多数学生都能自己推出求根公式。
第一组：
第二组：
第三组：
第二，把发展认知结构作为数学学习的中心和归缩。
数学认知结构是数学知识的基本结构与学生的心理结构相互作用的产物。
组织良好的知识结构有利于学生认知结构的发展，促进新的学习，而孤立、零碎的知识对新学习的影响则很小。
安排数学学习，既要注意知识之间的纵向联系，把孤立的知识组成知识链，又要注意知识之间的横向联系，把知识链组成知识网，这样的知识有利于学生塑造良好的认知结构。
例如，初中代数“一元二次方程”一章的内容较多，其知识结构可作如下的小结：
另外，“一元二次方程”学完后，初中代数中有关代数方程的内容大体上都已学完，其知识结构如下：
一元代数方程
方程组
上述箭头表明了解代数方程的基本思想：
无理方程要去掉根号化为有理方程；有理方程中的分式方程要去掉分母化为整式方程；整式方程中的高次方程要降次为一次方程或二次方程；多元方程要消元化为一元方程。
由此可见，解各种代数方程，都要通过“转化”、“消元”、“降次”，最后归结为一元一次方程或一元二次方程。
对于“转化”，要注意变形可能会产生增根；对于“消元”、“降次”，除通常用的代入法、加减法和因式分解法外，要特别注意“换元法”的掌握和运用。
（“化归”的思想）
为了发展和完善学生的认知结构，除了组织完好的知识结构外，还要注意发展学生的认知能力，如观察能力、思维能力和记忆能力。
这将在以后诸讲中讨论。
4、建构主义对数学教学的启示
建构主义学习观的实质是，主体通过对客体的思维构造，在心理上建构客体的意义。
所谓思维构造即指主体在多方位地把新知识与多方面的各种因素建立联系的过程中，获得新知识意义。
数学的概念、定理、公式、法则等代表了确定意义的一些语言和符号，这些意义是数学家们根据客观事物属性的感知进行思维构造的结果，这些语言符号只不过是前人这种思维结果的表达形式。
学生要获得这些数学知识的意义，并不仅仅是记住这些思维结果的表达形式，而是也要经过以自身为参照中心的思维构造过程。
建构主义对数学教学的启示：
要充分发挥学生学习的自主性；研究认知结构的变量，促进学生主动建构；重视数学基础和数学理解；把握好对学生学习指导的度。
§4.3数学学习中的非智力因素
一、非智力因素概述
非智力因素（又称非认知因素），就广义上说，凡是智力因素以外的一切心理因素，都可以成为非智力因素。
从狭义上讲，非智力因素是指除了智力因素之外的又同智力关系密切并共同影响智力活动效率的一切心理因素，如：
兴趣、需要、动机、情感、态度、意志、理想、信念、价值观等。
非智力因素的功能主要表现在：
动力、强化、导向、调节四个方面。
数学学习过程本质上是一个信息组织的过程，由于数学的严谨性与数学知识的系统性，从感知数学对象到判断、推理的能够思维过程，需要更强的意志努力；数学思维的抽象性，更需要自信心、动机与情感支持；数学问题的复杂性需要良好的学习态度，数学问题解决更需要群体的竞争、参与、合作意识；数学认知结构的形成与完善需要良好的数学观与对数学的审美体验。
因此数学的学习过程是认知因素与非认知因素相互交织的过程，这种交互作用的结果使得学生在知识、能力、情感态度上得到全面发展。
非智力因素是学生整体素质的一项重要的组成因素。
二、数学学习与非智力因素
1、学习动机（正确）
2、学习兴趣（浓厚）
3、学习意志（顽强）
心理学研究表明，学习质量是智力因素与非智力因素相互作用的结果。
以学习动机为例说明非智力因素在数学学习中的作用。
数学学习的动机产生于数学学习的需要和愿望，包括外部动机与内部动机。
其中兴趣是学习动机中最活跃的的因素，是推动、激励学生进行学习的最有效的方法。
爱因斯坦说：
“在学校里和生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣，是工作获得结果时的乐趣，以及对这个结果的社会价值的认识。
只有这样的心理基础，才能导致一种愉快的愿望，去追求人的最高财产——知识的艺术的技能。
”
培养数学学习动机的途径：
数学学习目标的确立；创设数学情境，激发数学学习动机；让学生体验数学美；让学生有数学学习的成功喜悦。
§4.4学习理论在数学教学中的应用
一、皮亚杰关于智力发展的阶段理论
J.Piaget，（1896—1980），瑞士心理学家，当代著名的儿童心理学家或发生认识论专家。
1、关于智力发展的基本观点
①图式：
就是动作的结构和组织。
这些动作和组织在相同或类似的环境中由于不断重复而得到迁移或概括。
②同化：
同化是顺应的基础，顺应是同化的发展。
③顺应：
同化是顺应的基础，顺应是同化的发展。
④
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