学年度最新青岛版八年级上册数学第5章《几何证明初步》检测题解析版docx.docx

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单元评价检测（五）

第5章

（45分钟　100分）

一、选择题（每小题4分,共28分）

1.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是　（　　）

A.a=-2　　B.a=-1　　C.a=1　　D.a=2

【解析】选A.用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例可以是:

a=-2,

∵（-2）2>1,但是a=-2<1,∴A符合.

2.（2013·盘锦中考）如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是　（　　）

A.30°B.20°C.15°D.14°

【解题指南】延长两三角板重合的边与纸条的上边相交,根据两直线平行,内错角相等求出∠2,再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【解析】选C.如图,∠2=30°,所以∠1=∠3-

∠2=45°-30°=15°.

【变式训练】（2013·茂名中考）如图,小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,并测得∠1=25°,则∠2的度数是　（　　）

A.15°B.25°C.35°D.45°

【解析】选C.如图,∵直尺的两边互相平行,

∠1=25°,∴∠3=∠1=25°,

∴∠2=60°-∠3=60°-25°=35°.

3.如图,在△ABC中,AC=DC=DB,∠ACD=100°,则∠B等于　（　　）

A.50°B.40°

C.25°D.20°

【解析】选D.∵AC=DC=DB,∠ACD=100°,

∴∠CAD=

=40°.

∵∠CDB是△ACD的外角,

∴∠CDB=∠A+∠ACD=40°+100°=140°,

∵DC=DB,∴∠B=

=20°.

4.（2014·鞍山二模）如图,∠AOP=∠BOP,CP∥OB,CP=4,则OC=　（　　）

A.2B.3C.4D.5

【解析】选C.∵CP∥OB,

∴∠CPO=∠BOP,

∵∠AOP=∠BOP,∴∠CPO=∠COP,

∴OC=CP=4.

5.（2013·临沂中考）如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是　（　　）

A.AB=AD

B.AC平分∠BCD

C.AB=BD

D.△BEC≌△DEC

【解析】选C.∵AC垂直平分BD,

∴AB=AD,BC=CD,

∴AC平分∠BCD,EB=DE,

∴∠BCE=∠DCE,

在Rt△BCE和Rt△DCE中,

∴Rt△BEC≌Rt△DEC（HL）.

6.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=6cm,则△DEB的周长为　（　　）

A.4cmB.6cmC.8cmD.以上都不对

【解析】选B.∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,

∴CD=DE,

在△ACD和△AED中,

∴△ACD≌△AED（HL）,∴AC=AE,

∴△DEB的周长=BD+DE+BE

=BD+CD+BE=BC+BE

=AC+BE=AE+BE=AB,

∵AB=6cm,∴△DEB的周长为6cm.

7.如图,△APB与△CDP是两个全等的等边三角形,且PA⊥PD,有下列三个结论:

①∠PBC=15°;②AD∥BC;③直线PC与AB垂直.其中正确的有　（　　）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解析】选D.∵△APB与△CDP是两个全等的等边三角形,∴BP=CP,AP=DP,∠ABP=∠APB=∠BAP=∠CPD=60°,

∵PA⊥PD,∴∠BPC=360°-90°-60°×2=150°,

∴∠PBC=∠PCB=15°,故①正确;

∵PA⊥PD,∴△APD是等腰直角三角形,

∴∠PAD=45°,

∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°,

∴AD∥BC,故②正确;

∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°,

∴直线PC与AB垂直,故③正确;

综上所述,正确的有①②③共3个.

二、填空题（每小题5分,共25分）

8.试举一个原命题为假命题,其逆命题为真命题的例子___________________

　.

【解析】此题为开放题,答案不唯一:

如:

有两个角相等的三角形为等边三角形.

答案:

有两个角相等的三角形为等边三角形（答案不唯一）

9.（2013·台州中考）如图,点B,C,E,F在一条直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=

72°,则∠D=　　　　　　度.

【解析】∵AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,

∴∠DCE=∠B=72°,∠DEC=∠F=72°,

在△CDE中,∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°.

答案:

36

10.如图所示,∠AOB=40°,OM平分∠AOB,MA⊥OA于A,MB⊥OB于B,则∠MAB的度数为　　　　　　.

【解析】∵OM平分∠AOB,

∴∠AOM=∠BOM=20°.

又∵MA⊥OA于A,MB⊥OB于B,

∴MA=MB.

∴Rt△OAM≌Rt△OBM,

∴∠AMO=∠BMO=70°,

∴△AMN≌△BMN,∴∠ANM=∠BNM=90°,

∴∠MAB=90°-70°=20°.

答案:

20°

11.如图,已知:

∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,AB=6,AC=3,则BE=　　　　　　.

【解析】连接CD,BD,

∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,

∴DF=DE,∠F=∠DEB=90°,∠ADF=∠ADE,

∴AE=AF,

∵DG是BC的垂直平分线,∴CD=BD,

在Rt△CDF和Rt△BDE中,

∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）,∴BE=CF,

∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,∵AB=6,AC=3,∴BE=1.5.

答案:

1.5

【变式训练】如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:

①AS=AR;②QP∥AR;

③△BRP≌△CSP.正确的是　　　　　　.

【解析】连接AP,

∵PR=PS,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,

∴AP是∠BAC的平分线,∠1=∠2,

∴△APR≌△APS,

∴AS=AR,

又AQ=PQ,∴∠2=∠3,

又∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴QP∥AR,

BC只是过点P,没有办法证明△BRP≌△CSP,③不成立.

答案:

①②

12.如图,设∠BAC=∠α（0°<∠α<90°）.用一些等长的小木棒,从点A1开始,向右依次摆放在两射线之间,并使小木棒的两端恰好分别落在射线AB,AC上,其中A1A2为第一根小木棒,且AA1=A1A2.

（1）若已经摆放了3根小木棒,则∠α2=　　　　　　（用含∠α的式子表示）.

（2）若只能摆放4根小木棒,则∠α的取值范围是　　　　　　.

【解题指南】

（1）根据等边对等角可得∠AA2A1=∠α,∠A2A3A1=∠α1,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

（2）求出第三根小木棒构成的三角形,然后根据三角形的内角和定理和外角性质列出不等式组求解即可.

【解析】

（1）∵小木棒长度都相等,

∴∠1=∠α,∠2=∠α1,

由三角形外角性质,∠α1=∠1+∠α=2∠α,

∠α2=∠α+∠α1=∠α+2∠α=3∠α.

（2）如图,

依此类推,∠α3=4∠α,∠α4=5∠α,

∵只能摆放4根小木棒,

∴

解得18°≤∠α<22.5°.

答案:

（1）3∠α　

（2）18°≤∠α<22.5°

三、解答题（共47分）

13.（10分）如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105°,第二次拐的角∠B是135°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度?

【解析】过点B作直线BE∥CD.

∵CD∥AF,∴BE∥CD∥AF.

∴∠A=∠ABE=105°.

∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.

又∵BE∥CD,∴∠CBE+∠C=180°,∴∠C=150°.

14.（11分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,CF平分∠BCA交AD于E,交AB于F,证明AE=AF.

【证明】由∠BAC=90°,AD⊥BC,可得∠B=∠DAC.

又CF平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCF,

∵∠AFE=∠B+∠BCF,∠AEF=∠DAC+∠ACF,∴∠AFE=∠AEF,∴AE=AF.

15.（12分）（2013·荆门中考）如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.

（1）求证:

BE=CE.

（2）如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.求证:

△AEF≌△BCF.

【证明】

（1）∵AB=AC,D是BC的中点,

∴∠BAE=∠EAC,

在△ABE和△ACE中,

∴△ABE≌△ACE（SAS）,∴BE=CE.

（2）∵∠BAC=45°,BF⊥AF,

∴△ABF为等腰直角三角形,∴AF=BF.

∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,

∴∠EAF+∠C=90°,

∵BF⊥AC,∴∠CBF+∠C=90°,

∴∠EAF=∠CBF,

在△AEF和△BCF中,

∴△AEF≌△BCF（ASA）.

16.（14分）（2014·濮阳三模）

（1）填空:

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是△ABC的角平分线,过点D作辅助线DE⊥AB于点E,则可以得到AC,CD,AB三条线段之间的数量关系为　　　　　　.

（2）如图,若将

（1）中条件“Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°”改为“△ABC中,

∠C=2∠B”,请问

（1）中的结论是否仍然成立?

证明你的猜想.

【解题指南】

（1）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定定理HL知

Rt△ACD≌Rt△AED;然后由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的两腰相等的性质推知AB=AE+EB=AC+CD,即AB=AC+CD.

（2）根据折叠的性质,将△CAB沿AD折叠,点C落在AB边上的C′处,所以△ACD≌△AC′D;然后根据全等三角形的对应边、对应角相等的性质推知AC=

AC′,CD=C′D,∠C=∠1=2∠B;最后由外角定理以及等腰三角形的性质可以推知

（1）的结论仍然成立.

【解析】

（1）∵∠C=∠AED=90°,AD是△ABC的角平分线,∴CD=DE.

在Rt△ACD与Rt△AED中,

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）,

∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.

又∵∠B=45°,

∴∠BDE=45°（直角三角形的两个锐角互余）,

∴DE=EB（等角对等边）,

∴AB=AE+EB=AC+CD,即AB=AC+CD.

（2）

（1）中的结论仍然成立.

理由如下:

如图,

∵AD是∠CAB的平分线,

∴将△CAB沿AD折叠,点C落在AB边上的C′处,

∴△ACD≌△AC′D,

∴AC=AC′,CD=C′D,∠C=∠1=2∠B.

又∵∠1=∠2+∠B,∴∠2=∠B,∴C′D=C′B,

∴AB=AC′+BC′=AC+CD,即AB=AC+CD.

【知识归纳】角平分线的三种作辅助线的方法

1.在角的两边截相等线段与角平分线上的点连接构成全等三角形.

2.过角平分线上的一点向角两边作垂线.

3.过角平分线上的一点作角平分线的垂线与角两边相交构造全等三角形或等腰三角形.