自来水阶梯式定价方案的研究 数学建模论文.docx

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自来水阶梯式定价方案的研究数学建模论文

自来水阶梯式定价方案的研究

摘要

本文对自来水阶梯式定价方案进行了深入地研究。

针对问题一，我们利用多目标规划的思想来建立阶梯式水价的数学模型和居民抱怨度模型，进而通过加权的方法推导出评价阶梯式水价合理与否的数学模型，如下：

通过软件计算出当阶梯比为1：

3：

5时的水价方案比较合理。

在阶梯比不变的情况下对问题二进行了探讨，按照择优原则，综合考虑了居民心理承受能力，价格的变动弹性和地区供水能力三个方面，分别建立了心理承受模型，价格调整幅度模型和需求模型，据此给出了一个大型的多目标规划模型。

求解时，由于模型过于复杂，我们结合实际情况，并利用计算机确定了某些参数，将模型作了进一步的简化，然后用lingo软件进行搜索得到局部解，接着我们根据居民可支配收入与其心理承受能力的线性关系，通过类比，并采用插值法，结合供水能力，手工调整了部分数据，我们以北京市为例，得到其2006年到2010年居民生活用水第一阶梯的一组较为满意的解，如下（单位：

元）：

2006

2007

2008

2009

2010

p1

2.94

3.14

3.35

3.55

3.76

针对问题（3），考虑到人口持续增长和经济不断发展，用水量的绝对值是逐年是上升的，所以只能从相对指标方面来考虑，通过对问题

（2）中的模型的进一步研究，我们给出了相对差值模型：

通过mathematica软件，计算得出结果如下（单位：

亿元）：

2006

2007

2008

2009

2010

1：

2：

5

差值

0.15

0.80

0.78

0.78

0.73

1：

3：

5　

差值

0.32

0.54

0.53

0.52

0.49

最后，我们对模型的科学性进行了论证，并结合实际情况对模型的优缺点进行了评价。

一、问题的提出（略）

二、问题的基本假设、符号说明及名词约定

1．基本假设

（1）A市只有一家自来水集团。

（2）水价符合需求函数，价值规律。

（3）A市已实现了抄表用户，即一户一表。

（4）一定时期内，居民的生活水平是相对稳定的。

（5）假设人口的增长是线性的，且变化率记为人口的增长率。

（6）居民从自来水公司所取用水量与排水公司为居民所排出水量是相等的。

（7）一定时期内，水是不可再生资源，即A市的水资源储存量一定。

2．符号说明

变量

含义

每年的总取水量

该城市对水的基本消耗量即最低保障用水

第n年的各项指标条件下，基于第n-1年的水单价的总用水量

第i个阶梯上第n年居民用水的单价

水价方案改变前后，居民用水的月平均水价

自来水集团生产自来水的成本和各种费用

排水公司向居民生活用水、非居民生活用水，收取的排水费

表示A市第n年的人口数

第n年自来水集团最大供水量

该城市的家庭（4口人）总数

居民用水的心理承受系数，为上限，为下限

3．名词约定

阶梯水价：

在一定时期内，根据用水数量或水质划分区间，对每一区间制定出不同水价，然后根据用水者所用水量计算水费的方法。

可支配收入：

指居民家庭在支付个人所得税之后，所剩下的全部实际现金收入（不包括借贷收入）。

计算公式：

可支配收入实际收入家庭副业生产支出记账补贴个人所得税

三、问题的分析与模型的准备

通过对问题的分析我们知道A市水价的调整的主要因素是人口的增长致使居民用水逐渐增加，经济的发展导致的工业企业和服务业等高耗水行业的用水量增多，以及水污染情况日益严重。

如果水价合理的提高，将能够大大量缓解这一矛盾。

我们从A市自来水公司和排水公司与居民和工业服务业之间的相互关系出发，来评定水价调整的合理与否。

分析至此，我们知道可以使用目标规划方法来建立问题求解的数学模型。

同时，在分析问题和建立相应的数学模型时，还应知道A市的每年的用水量，人口的增加数，以及工业经济的发展水平情况。

所以我们要解决问题的基本思路如下：

1．基本思路

（1）从自来水集团角度出发，我们可以知道水价的提升主要是受到了经济增长，人口增加和市政规划所影响的，首先，从经济角度来分析。

经济发展的主要原因是A市的工业和服务业的发展，这也导致了另一种后果的产生，即经济发展了，污染问题也日益严重，因此自来水公司处理污水的费用也就加大。

然后，从人口增加的角度。

通过读题我们知道，居民用水量是自来水集团售水量中比重最大的部分，占到44.53%，且以每年3%的速度在逐年递增，居民用水占自来水公司售水量比值的不断增加主要是由不断增长的人口所引起的。

人口增加也变相导致了水价的提高。

最后，是从市政规划方面考虑。

这主要是为了改善A市水资源匮乏、水质恶化的严重局面，政府所实施的南水北调工程，自来水集团的公司盈利资金是工程建设的主要资金。

同时三者之间的相互联系也构成了模型的约束条件。

图1：

供水量与经济发展流程图

从上述流程图我们可以很容易的知道，居民的生活状况，经济增长和自来水公司之间是相互促进和相互制约的关系。

（2）从排水集团角度出发，随着人口的增加和经济的增长所导致的水安全问题（水污染问题）逐渐成为难题。

水安全问题出现的原因：

一是水资源的不可替代性。

二是水资源供给的有限性。

三是水资源系统的整体性，水资源系统内部存在内在联系、构成一个有机系统，如果遭受破坏（例如水质污染）会导致水资源系统功能衰减，产生水安全问题。

当排水集团调价后，则可增加对污水处理的能力，增强水的可再生性，虽然如此会抑制居民的用水支出，但从长远来看，是合理可行的。

（3）从居民用水角度出发，据问题所述居民用水量占自来水集团供水总量的比重很大，因此水价的进一步上调需要考虑到居民的承受能力。

通过网上调查我们知道，居民对水价的承受能力主要包括两个方面：

心理承受能力和经济承受能力，其中以经济承受能力为主，据此，可以建立居民的抱怨度函数，来表示居民对水价改革的反应。

根据资料了解目前我国城市家庭水费支出还不到家庭支出的1%，研究表明水费支出占家庭支出的1%时，对居民的心理影响不大，居民对用水量漠不关心；占收入的3%时，居民开始关注用水量；占5%时，开始认真节水；占10%时，开始考虑水的重复利用。

因此适当的调整水价不但能够增强居民的节水意识，同时还能够给自来水集团增加收入。

2．基本数学表达式的构建

（1）A市每年的用水总量的确定

通过读题我们可知，当前（假设为2005年居民约用水量为，我们不妨假设当前该城市的总人口为，则A城市每年的居民用水总量可以表示为：

其中表示某居民的月用水量。

由于2005年城市居民用水占自来水集团供水的百分比，故据此可以推算出A市每年的所用总水量为：

据此，我们可以认为这便是水价改革前A城市的总用水量，这样可以为以下的模型求解和其他运算提供理论数据。

（2）对非居民月水费的确定

该城市的月平均水价为，这一水价是通过加权平均法获得的，因此可算出非居民水价改革前月水费和水价改革后的月水费：

其中，，分别表示改革前的平均水价，居民的月平均水价。

将数据带入上式可得：

，。

（3）整体抱怨度函数的构建

自来水集团提高水价会影响居民的月支出费用，会使居民的心理压力增加，会使居民的抱怨度增强，从A市市政角度来看，政府希望水价高后居民的抱怨度尽可能小，则：

其中，表示第级的多数居民的抱怨度系数，代表心里跃动系数，表示第级的某居民的抱怨度。

（4）自来水集团成本函数

自来水在生产的过程中需要消耗电和净化物质，同时自来水生产设备的磨损和维修都需要资金，因此节约成本也能够间接提高公司的总收入。

于是我们所建立的成本目标函数为：

式中，：

表示集团的自来水成本，污水处理费资源费和税费。

表示其他的磨损费和维修费。

（5）经济效益函数

自来水公司调整水价的目的就是使盈利增加提高经济效益，为了方便建立经济效益函数我们建自来水集团的服务对象统分为居民和非居民。

调整水价后公司对居民采取阶梯式水价收费，而对非居民则采取直接提高水价式收费。

同时，从公司的角度出发，所收取的费用越多公司的经济效益就越好，所以要建立的经济效益函数为：

其中，表示第级的水价差值，表示级的居民（或户）的月用水量。

表示第级的家庭数量，表示居民用水所占比重。

（6）居民用水量与水价关系方程式的确定

居民月用水量的多少与水价有着很大的关系，因此根据市场价值的运行关系我们认为居民用水量的与水价成反比的关系，即：

所以，当前水价为，又相应的月平均用水量为，设城市用水需求函数为：

则，其关系图为：

图2：

居民月用水量与供水单价关系图

式中，为该城市对水的基础消耗量即最低保障用水，为需求系数，通过上图我们知道水的需求量的变化率减小，并且最终趋向于零。

（7）居民用水总量占自来水集团供水量的比重变化函数的确定

据题中所述，居民用水量是自来水集团售水量中比重最大的部分，占到44.53%，且以每年3%的速度在逐年递增。

已知，如果以该年的人口为基数，则居民用水增长函数为：

如果保持原有的水价，人口增长后的用水量占自来水集团售水量中比重为：

又：

所以：

其变化曲线如下图所示：

图3：

居民月用水量增长率变化图

四、对调整水价前各种情况的研究

在调整水价前，A市的自来水集团主要向居民和工业事业单位提供自来水，届时为了方便解题我们可以将用水分为居民用水和非居民用水。

所以我们将从以上方面建立数学模型。

自来水公司的盈利受到居民用水总费用，非居民用水总费用和自来水成本这三个方面的影响。

同时，将分两个阶段来分别建立相应的数学模型，这两个阶段分别是水价改革前一年（即2005年）和2005年以后。

Ⅰ.2005时各数学模型的建立与求解

1．自来水集团盈利的数学模型的建立与求解

建立的自来水集团的盈利的单目标规划模型可以表示为：

（1）

其中，表示自来水集团生产自来水市的成本和各种费用。

且要满足以限制条件：

（2）

其中表示增长后的居民用水比重不能超过表示居民用水不能超过自来水集团的供水能力。

居民年用水所花去的总费用为：

非居民年用水所花去的总费用为：

自来水集团的运用成本为：

则自来水集团的盈利额为：

所以，通过上述数据的对比，我们可以知道自来水公司的盈利相对于成本是很低的，如果考虑到该公司的员工的工资发放和机器换装等情况，那么公司的收入只能维持基本运盈，因此处在亏损的边缘。

2．排水集团盈利的数学模型的建立与求解

与自来水集团相对应将排水集团的服务对象也分为居民和非居民，每年盈利数学模型可以表示为：

（3）

其中，分别表示排水公司向居民收取的排水费，通过优化求解可得排水公司向居民和非居民收取的排水费为：

故排水公司的最大盈利为

五、对水价方案实施后的各种情况研究

首先将实施的水价方案主要分为两类，第一类是将居民用水水价和经济用水水价直接提高到某一价格，第二类是对居民用水采用阶梯式收费，故我们可以从以下方面入手解决问题。

图4：

整体模型思路层次图

如上图所示，从两个方面分别建立数学模型，将模型所求得的结果再进行对比，可以确定最佳的水价方案。

故从两个方面来分别的建立和求解数学模型。

（一）．第一类水价调整方案

1．建立多目标规划函数

同时：

其限制条件如

（2）所示。

和分别表示水价调整后的居民用水价格和非居民用水价格。

同时还应满足：

1）居民每年用水所花去的总费用为：

2）非居民用水每年所要花去的总费用为：

所以，自来水公司的年盈利为：

2．调价后排水集团的盈利模型的建立和求解

调价后的居民排水费用，非居民排水费用，则：

结果为：

（二）．阶梯式水价方案