概率论与数理统计 第一章77424.docx
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概率论与数理统计第一章77424
《概率论与数理统计》面授辅导讲义
第1章随机事件与概率
Ⅰ内容概要
本章是概率论最基础的部分,所有内容围绕随机事件和概率两个概念展开,主要是对一些概念的理解和记忆以及对基本运算规律的简单应用。
本章的重点内容是随机事件的关系与运算,概率的概念、性质,古典概型的概率的计算,条件概率,事件独立性的概念,乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;难点是古典概型的概率计算,全概率公式、贝叶斯公式,事件独立性的概念。
考核知识点与考核要求
1.1随机事件(识记、简单应用)
1.2概率(领会、简单应用)
1.3条件概率(领会、简单应用)
1.4事件的独立性(领会、简单应用)
1.1随机事件
1.随机事件的概念及表示
1)随机试验:
试验的可重复性——在相同条件下可重复进行;
一次试验结果的随机性——在一次试验中可能出现各种不同的结果,预先无法断定;
全部试验结果的可知性——所有可能的试验结果预先是可知的。
将具有上述三个特点的试验称为随机试验,简称试验。
样本点:
随机试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点,用字母表示。
样本空间:
把试验E的所有可能结果的集合称作E的样本空间。
2)随机事件:
试验E所对应的样本空间的子集为E的一个随机事件,简称事件。
记作A、B、C或、
3)基本事件:
样本空间的仅包含一个样本点的单点子集也是一种随机事件,这种事件称为基本事件。
4)必然事件():
样本空间包含所有的样本点,它是自身的子集,在每次试验中它总是发生,称为必然事件,必然事件仍记为。
5)不可能事件():
空集不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,在每次试验中都不发生,称为不可能事件。
2.随机事件的关系
1)事件的包含与相等
设A,B为两个事件,若A发生必然导致B发生,则称事件B包含事件A,或称事件
A包含在事件B中,记作,。
显然有:
。
若且,则称A与B相等,记作。
2)和事件
称事件“A,B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件,也称A与B的并,
记作或。
发生意味着:
或事件A发生,或事件B发生,或事件A
和事件B都发生。
显然有:
,;若,则。
3)积事件
称事件“A,B同时发生”为事件A与事件B的积事件,也称A与B的交,记作,
简记为。
事件发生意味着事件A发生且事件B也发生,也就是说A,B都发
生。
显然有:
,;若,则。
4)差事件
称事件“A发生而B不发生”为事件A与事件B的差事件,记作。
显然有:
;若,则。
5)互不相容
若事件A与事件B不能同时发生,即,则称事件A与事件B是互不相容的两
个事件,简称A与B互不相容(或互斥)。
对于n个事件,,,,如果它们两
两之间互不相容,即,则称,,,互不相容。
6)对立事件
称事件“A不发生”为事件A的对立事件(或余事件,或逆事件),记作。
若事件A与事件B中至少有一个发生,且A与B互不相容,即,,
则称A与B互为对立事件。
显然有:
;,;。
注意:
若A与B为对立事件,则A与B互不相容,但反过来不一定成立。
3.事件的运算
设A,B,C为事件,则有
交换律:
,。
结合律:
,。
分配律:
,。
对偶律:
,。
1.2概率
1.频率
1)频率:
在相同条件下进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数称为事件A发生的频数,比值称为事件A发生的频率,记作。
2)频率的基本性质:
;
,;
若A与B互不相容,则。
这个性质可以推广:
当,,,互不相容时,,其中是正整数,当,,,,互不相容时,。
2.概率
1)概率:
设是随机试验E的样本空间,对于E的每个事件A赋予一个实数,记为,称为事件A的概率,如果它满足下列条件:
;
;
设,,,,是一列互不相容的事件,则有。
2)概率的基本性质:
,,;
对于任意事件A,B有;
特别地,当A与B互不相容时,。
推广:
对于任意事件A,B,C有
。
当,,,互不相容时,
,其中为正整数。
;
特别地,当时,,且。
。
3.古典概型
1)古典概型:
具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型:
基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点;
每个基本事件发生的可能性相同。
2)古典概型事件概率的计算公式
设为随机试验E的样本空间,其中所含样本点总数为,A为一随机事件,其中所
含样本点数为,则有,
也即
1.3条件概率
1.条件概率与乘法公式
1)条件概率:
在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率,称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率,记作。
设A,B是两个事件,且,称为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。
2)概率的乘法公式
当时,有,
当时,有。
乘法公式还可以推广到个事件的情况:
设,则;
设,则
2.全概率公式与贝叶斯公式
1)设事件,,,满足如下两个条件:
,,,互不相容,且,;
,即,,,至少有一个发生,则称,,,为样本空间的一个划分。
当,,,是的一个划分时,每次试验有且只有其中的一个事件发生
2)全概率公式
设随机试验对应的样本空间为,设,,,为样本空间的一个划分,B是任意一个事件,则。
3)贝叶斯公式
设,,,为样本空间的一个划分,B是任意一个事件,且,则
1.4事件的独立性
1.事件的独立性
1)事件的独立性:
若,则称A与B相互独立,简称A,B独立。
2)事件独立性的性质:
设,则A与B相互独立的充分必要条件是;
设,则A与B相互独立的充分必要条件是。
若A与B相互独立,则A与,与B,与都相互独立。
3)设A,B,C为3个事件,若满足
,,
则称A,B,C两两独立。
设A,B,C为3个事件,若满足
,,,
则称A,B,C相互独立,简称A,B,C独立。
注意:
A,B,C独立必有A,B,C两两独立,但反之不然。
4)个事件,,,的独立性
设,,,为个事件,若对于任意整数和任意个整数,有,
则称,,,相互独立,简称,,,独立。
1.重贝努利试验
1)重贝努利试验
试验只有两个结果,而且已知,,将试验独立重复进行次,则称为重贝努利试验。
2)贝努利概型
在重贝努利试验中,设每次试验中事件的概率为(),则事件A恰好发生次的概率。
Ⅱ例题分析
1.1节
1、设A与B是任意两个互不相容事件,则下列结论中正确的是()
A.P(A)=1-P(B)B.P(A-B)=P(B)
C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A-B)=P(A)
答案:
D
【解析】本题考查了两个随机事件的关系。
A与B互不相容,即
,
而A选项,则是A、B互为对立事件,,则是A、B互相独立。
故选D.
3.设A,B为两个随机事件,若A发生必然导致B发生,且P(A)=0.6,则P(AB)=______.
答案:
0.6
【解析】由“若A发生必然导致B发生”,则
提醒:
要分清A、B之间的关系.
4.对于事件A,B,下列命题正确的是()
A.如果A,B互不相容,则也互不相容
B.如果,则
C.如果,则
D.如果A,B对立,则也对立
答案:
D
【解析】本题考查了两个随机事件之间的关系。
对于事件之间的关系判断可用类似于集合之间的关系来处理。
对于A答案,如果A,B互不相容,则,按集合来处理(画画图),不一定有成立,因此也不一定就是互不相容的;对于B答案,如果,则(画图便知);C答案实质上与B答案相同;对于D答案,如果A,B对立,则,显然也是对立的。
【提醒】注意互不相容和对立的关系:
互不相容不一定对立,对立一定是互不相容的。
还要注意互不相容与独立的关系(从定义式中发掘)。
总之要紧紧抓住概念的本质。
另外,请学员要牢记公式。
1.2节
1.将一枚均匀的硬币抛掷三次,恰有一次出现正面的概率为()。
A.B.
C.D.
答案:
C
【解析】:
2.设P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.4,则P()=___________。
答案:
0.1
【解析】:
重点考察概率计算公式:
3.己知10件产品中有2件次品,从该产品中任意取3件,则恰好取到一件次品的概率等于______。
答案:
【解析】:
由题知:
样本空间为个,恰好取到一件次品为;恰好取到一件次品的概率为.
【提醒】:
先找出样本空间总数,再找出事件发生的次数,两者一比,即。
4.设P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则P()=________.
答案:
0.6
【解析】:
本题考查了事件之间关系与运算中的概率公式和。
将已知条件代入公式和中即得答案。
【点评】:
是一个很重的公式,经常与独立性和互不相容等概念结合起来考查学员们。
5.袋中有5个黑球,3个白球,从中任取的4个球中恰有3个白球的概率为________.
答案:
1/14
【解析】:
本题考查古典概型中概率的求法。
所求的概率为。
【提醒】:
要注意排列组合中的加法原理和乘法原理,分部和分类的思想。
6.袋中有5个红球,3个白球,2个黑球,现从中任取3个球,其恰为一红一白一黑的概率为()
A.B.
C.D.
答案:
A
【解析】考查了古典概型中概率的计算。
1.3节
1.设A,B为两事件,已知P(A)=,P(A|B)=,,则P(B)=()。
A.B.
C.D.
答案:
A
解析:
本题重点考察一个公式:
。
这是一个相当相当关键的公式,一定要牢记。
解得:
2.飞机在雨天晚点的概率为0.8,在晴天晚点的概率为0.2,天气预报称明天有雨的概率为0.4,试求明天飞机晚点的概率.
解:
设A={明天有雨},B={飞机正点),
则所求概率为
=0.4×0.8+0.6×0.2=0.44.
即明天飞机晚点的概率为0.44.
4.设A、B为两件事件,已知,则有()。
A.B.
C.D.
答案:
C
解析:
利用条件概率的定义:
因为,在事件A发生的条件下,要么事件B发生,要么发生,所以选项C正确,也可以利用乘法公式进行推导。
若事件A与事件B是对立事件,即,则选项D正确。
若事件A与事件B相互独立,则也相互独立,则选项A正确。
5.设一批产品中有95%的合格品,且在合格品中一等品的占有率为60%.
求:
(1)从该批产品中任取1件,其为一等品的概率;
(2)在取出的1件产品不是一等品的条件下,其为不合格品的概率.
解:
(1)设事件表示“从该批产品中任取一件为合格品”,
表示“从该批产品中任取一件为一等品”.
则,
(2),
因,故,从而
6.100张彩票中有7张有奖,现有甲先乙后各买了一张彩票,试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同。
【解析】本题考查了全概率公式。
设A表示“甲摸到彩票”,B表示“乙摸到彩票”。
则
,,而,所以
故甲、乙两人中奖概率相同。
【提醒】若本题变为“100张彩票中有1张有奖,现有甲先乙后各买了一张彩票,试用计算说明甲、乙两人中奖中概率是否相同”,用同样的方法推出中奖概率是相同的。
另外,即使是多张奖券,概率也是一样的。
1.4节
1.设,则由事件A,B相互独立,可推出()。
A.B.
C.D.
答案:
B
解析:
考查的是独立性的定义和性质。
2.设A,B为两件事,已知,若事件A,B相互独立,则P(B)=.
答案:
解析:
本题考查的是事件独立性的定义以及和事件的概率计算公式。
若A与B相互独立,则有
和事件的概率公式
3.设随机事件A与B相互独立,且P(A)=P(B)=,则P(A)=_________