平行线四大模型.docx
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平行线四大模型
初中数学微专题：
平行线四大模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、CD内部
“铅笔”模型
结论1：
若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；
结论2：
若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、CD内部
“猪蹄”模型
结论1：
若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：
若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、CD外部
“臭脚”模型
结论1：
若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：
若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、CD外部
“骨折”模型
结论1：
若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：
若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
一、平行线四大模型结论证明
（1）已知AE//CF，求证∠P+∠AEP+∠PFC=360°
.
（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．
（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.
（4）已知∠P=∠CFP-∠AEP，求证AE//CF.
二、例题讲解
（2019春•彭泽县期中）如图，已知：
∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，则∠F与∠G的大小关系如何？
请说明理由
【答案】解：
∠F＝∠G，理由是：
∵∠ABE+∠DEB＝180°，
∴AC∥ED，∴∠CBE＝∠DEB，
∵∠1＝∠2，
∴∠CBE﹣∠1＝∠DEB﹣∠2，即∠FBE＝∠GEB，
∴BF∥EG，
∴∠F＝∠G．
【例10】（2019春•普宁市期中）已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP、CP．
（1）探究：
如图
（1）∠PAB＝145°，∠PCD＝135°，则∠APC的度数是 ；
如图
（2）∠PAB＝45°，∠PCD＝60°，则∠APC的度数是 ．
（2）在图2中试探究∠APC，∠PAB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展探究：
当点P在直线AB，CD外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接写出∠APC，∠PAB，∠PCD之间的数量关系．
【答案】解：
（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，
∵∠PAB＝145°，∠PCD＝135°，
∴∠APC＝360°﹣145°﹣135°＝80°，
如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB，∠CPE＝∠PCD，
∵∠APC＝∠APE+∠CPE，
∴∠APC＝∠PAB+∠PCD＝105°；
故答案为：
80°；105°．
（2）∠APC＝∠PAB+∠PCD．
理由：
如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB，∠CPE＝∠PCD，
∵∠APC＝∠APE+∠CPE，
∴∠APC＝∠PAB+∠PCD；
（3）如图3．∠APC＝∠PCD﹣∠PAB，
如图4．∠APC＝∠PAB﹣∠PCD．
（2019春•桂平市期末）
（1）如图①，∠CEF＝90°，点B在射线EF上，AB∥CD，若∠ABE＝130°，求∠C的度数；
（2）如图②，把“∠CEF＝90°”改为“∠CEF＝120°”，点B在射线EF上，AB∥CD．猜想∠ABE与∠C的数量关系，并说明理由．
【答案】解：
（1）如图①，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABE＝50°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝40°，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠C＝∠2＝40°；
（2）∠ABE﹣∠C＝60°，
理由：
如图②，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABE，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠C＝∠2，
∵∠CEF＝∠1+∠2＝120°，即180°﹣∠ABE+∠C＝120°，
∴∠ABE﹣∠C＝180°﹣120°＝60°．
（2019春•费县期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
（1）若∠E＝60°，则∠F＝ ；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？
说明理由；
（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【答案】解：
（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝120°，
∴∠DFN＝60°，
∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，
∴∠EFD＝∠MEF+60°
∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；
故答案为：
90°；
（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝120°，
∴∠DFN＝60°，
∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，
∴∠EFD＝∠MEF+60°，
∴∠EFD＝∠BEF+30°；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，
由
（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，
设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF＝
∠BEF＝x°，∠EFG＝
∠EFD＝（x+15）°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，
∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，
∴∠P＝15°．
三、练习巩固：
1.如图，AB//CD//EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（）
A.180°B.270°C.360°D.450°
2．若AB∥CD，∠CDF=
∠CDE，∠ABF=
∠ABE，则∠E：
∠F=（）
A．2:
1B．3:
1C．4:
3D．3:
2
3.如图，己知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=.
4.如图，已知直线AB∥CD，∠C=115°，∠A=25°，则∠E=．
5．如阁所示，AB∥CD，∠l=ll0°，∠2=120°，则∠α=.
6．如图所示，AB∥DF，∠D=116°，∠DCB=93°，则∠B=.
7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为.
8.如图，AB∥CD，EP⊥FP，已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．
9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.
10．已知，直线AB∥CD．
（1）如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？
请说明理由；
（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？
请说明理由；
（3）如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.
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