初中数学思维探究25多边形的边与角.docx

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初中数学思维探究25多边形的边与角

25．多边形的边与角

解读课标

大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面．

一般地，由条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为边形，又称多边形．

边、角、对角线是多边形中最基本的概念．

多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略．

多边形的内角和性质反映出一定的规律性：

随的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：

外角和是的一个常数．把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧．

问题解决

例1如图，__________．

试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中．

例2凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（）．

A．B．C．D．

试一试把凸多边形内角问题转化为外角问题．

例3凸边形除去一个内角外，其余内角和为，求的值．

试一试设除去的角为，可建立关于，的不定方程；又，又可得到关于的不等式，故有两种解题途径，注意为自然数的隐含条件．

例4如图，四边形中，已知，，于，于．证明：

．

试一试从四边形内角和入手．

角星

例5

（1）如图①，任意画一个五角星，求度数．

（2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求度数．

（3）如图③，用“一笔画”方法画成的角形，且是凸边形，求度数．

分析从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示．

解

（1）

（2）

（3）（个三角形，，，…，，的内角总和减去多边形外角和的倍）．

完全多边形

把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图．如图，这样的图有个点，每两点之间都有一条线，称为完全六边形．一个完全边形共有条连线．

例6证明：

任何个人中，必有个人互相认识，或者有个人互相不认识．

分析与解借助图表示这一抽象的思想．

用点，，…，代表个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转化为图中必有三边同色的三角形．

考虑与条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有条同色，不妨设，，同为红色；若，，中有红边，则有红色；若，，无红边，则为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形．

数学冲浪

知识技能广场

1．如图，、、、是五边形的个外角，若，则_______．

2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形，那么的度数为_______．

3．如图，的度数为_____________．

4．用个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为___________．

5．将五边形纸片按如图所示的方式折叠，折痕为，点、分别落在、'上，已知，则等于（）．

A．B．C．D．

6．如图，已知正五边形中，，，则（）．

A．B．C．D．

7．一个凸多边形的每一内角都等于，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）．

A．条B．条C．条D．条

8．一个凸边形，除一个内角外，其余个内角的和是，则的值是（）．

A．B．C．D．不能确定

9．如图，已知，，，，求的度数．

10．如图，在四边形中，，、分别平分和．求证：

．

思维方法天地

11．从凸边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸边形分成了个小三角形，若等于这个凸边形对角线条数的，那么此边形的内角和为________．

12．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是，则原多边形是_________边形．

13．如图，设，则__________．

14．如图，的度数为_________．

15．如图，的度数等于（）．

A．B．C．D．

16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为，则这个多边形的边数为（）．

A．B．或C．D．或

17．有一个边长为的正六边形客厅，用边长为的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）．

A．块B．块C．块D．块

18．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转，被称为一次操作，若次操作后发现赛车回到出发点，则角为（）．

A．B．或C．D．或

19．如图，在凸六边形中，已知成立，试证明：

该六边形必有两条对边是平行的．

20．已知凸四边形中，．

（1）如图①，若平分，平分的邻补角，判断与的位置关系并证明；

（2）如图②，若、分别平分、的邻补角，判断与的位置关系并证明．

应用探究乐园

21．

（1）如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_________；

（2）如图②，在的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数；

（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？

22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图①，若，点在，外部，则有，又因为是的外角，故，得．将点移到，内部，如图②，以上结论是否成立？

若成立，说明理由；若不成立，则，，之间有何数量关系？

请证明你的结论；

（2）如图②中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图③，则，，，之间有何数量关系？

（不需证明）

（3）根据

（2）的结论，求图④中的度数．

微探究

平面镶嵌

平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面．

我们研究的镶嵌是：

镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形的公共点．

镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为，镶嵌图案有下列多种方式：

1．任意三角形和任意四边形都能镶嵌；

2．用同一种正多边形进行镶嵌；

3．用几种正多边形组合镶嵌．

对于

（2）、（3），可以证明：

能镶嵌整个平面的只有种．如图：

例1用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的边数为、、，则的值为________．

试一试从建立、、的等式入手．

例2现有四种地面砖，它们的形状分别是：

正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）．

A．种B．种C．种D．种

试一试假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有个正三角形，个正方形，则，即，将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式．

例3问题再现

现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．

我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点周围围绕着个正方形的内角．

试想：

如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着________个正六边形的内角．

问题提出

如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？

问题解决

猜想1：

是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？

分析：

我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．

验证1：

在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：

，整理得：

，

我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为．

结论1：

镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．

猜想2：

是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？

若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．

验证2：

_________________________________________

结论2：

_________________________________________

上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案．

问题拓展

请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．

猜想3：

_____________________________________

验证3：

_____________________________________

结论3：

_____________________________________

拼图的背后

例4同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？

分析要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组．

解设可以拼成凸边形，边形的内角只可能是，，，．并设其个数分别为，，，（，，，为大于等于零的整数）．

则

由②得③

①③得④

．

由此可见，拼得的多边形最大边数为．下面我们分情况一一探讨．

（1）当时，由，得，

．

这说明可以拼成十二边形，且这十二边形的每个内角均为，如图①．

（2），当时，由，得，

．

这说明，可以拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为，其余各内角均为，如图②．

（3）当时，由，得，

．

这说明可以拼成十边形，且这十边形中有个内角为，有个内角为，如图③．

（4）当时，由，得，

．

这说明可以拼成九边形，且这九边形中有个内角为，有个内角为，如图④．

同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图⑤、⑥、⑦、⑧．

练一练

1．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为，定义为第一组；在它的周围铺上块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组……按这种方式铺下去，用现有的块瓷砖最多能完整地铺满_______组，还剩_________块瓷砖．

2．花团锦簇

有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺圈，共需砖_______块，其中正三角形砖_______块．若铺圈，则共需砖_______块．

3．有下列五种正多边形地砖：

①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用

同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（）．

A．种B．种C．种D．种

4．如图，一个正方形水池的四周恰好被个正边形地板砖铺满，则等于（）．

A．B．C．D．

5．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平