学年四川省棠湖中学高二零诊模拟数学理试题 Word版.docx
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学年四川省棠湖中学高二零诊模拟数学理试题Word版
2018年春期四川省棠湖中学高二年级零诊模拟考试
理科数学
一．选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．
A．B．C．D．
2.已知集合，B={–2，0，1，2}，则AB=
A.{0，1}B.{0，1，2}C.{1，2}D.{–2，0，1，2}
3．函数的图像大致为
4．已知向量，满足，，则
A．10B．12C．14D．16
5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A．B．C．D．
6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．B．C．D．
7．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A．B．0C．2D．50
8．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率
为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A.B．C．D．
9．设抛物线C：
y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5B．6C．7D．8
10．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A．B．C．D．
11．已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A．B．C．D．
12．已知函数有唯一零点，则a=
A．B．C．D．
二．填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．
14.（+）（2-）5的展开式中33的系数为__________．
15.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为______．
16.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为__________．
三.解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（本小题满分12分）
设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
18．（本小题满分12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.
（Ⅰ）求证：
MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的
余弦值为，求线段AH的长.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C：
（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：
l过定点.
21.（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若数列的前项和，，求证：
数列的前项和.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）
选修4-4：
坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线,曲线上任意一点到极点的距离等于它到直线的距离.
（I）求曲线的极坐标方程;
（Ⅱ）若是曲线上两点，且,求的最大值.
23.（本小题满分10分）
选修4-5：
不等式选讲
已知函数.
（I）求的最小值;
（II）若均为正实数，且满足,求证:
.
2018年春期四川省棠湖中学高二年级零诊模拟考试
理科数学答案
一．选择题
1.D2.B3.B4.C5.B6.C7.C8.D9.D10.D11.A12.A
二．填空题
13.14.4015.16.
三．解答题
17解：
（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，所以，.
故，，又，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，当，
即时，取得最小值.
18.解：
（Ⅰ）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
.因此的分布列为
0.2
0.4
0.4
（Ⅱ）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
当时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+（800-2n）×0.2=640-0.4n
当时，
若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×（0.4+0.4）+（800-2n）×0.2=160+1.2n
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。
19.解：
如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.
（Ⅰ）证明：
=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，
则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.
因为平面BDE，所以MN//平面BDE.
（Ⅱ）易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.
因此有，于是.
所以，二面角C—EM—N的正弦值为.
（Ⅲ）解：
依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.
所以，线段AH的长为或.
20.解：
（Ⅰ）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
（Ⅱ）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：
x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：
（）.将代入得
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.解得.
当且仅当时，，欲使l：
，即，
所以l过定点（2，）
21.解：
（Ⅰ）因为，所以，，切点为.
由，所以，所以曲线在处的切线方程为，即
（Ⅱ）由，令，
则（当且仅当取等号）.故在上为增函数.
当时，,故在上为增函数，
所以恒成立，故符合题意；
当时，由于，，根据零点存在定理，
必存在，使得，由于在上为增函数，
故当时，,故在上为减函数，
所以当时，,故在上不恒成立，所以不符合题意.综上所述，实数的取值范围为
（）证明：
由
由（Ⅱ）知当时，，故当时，，
故，故.下面证明：
因为
而，
所以，，即：
22.解:
（Ⅰ）设点是曲线上任意一点，则,即
（II）设,则.
23.解:
（I）当时，
当时，,
当时，
综上，的最小值
（II）证明:
均为正实数，且满足,
∵
（当且仅当时，取“=”）
∴，即
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