配套K12学年高中数学 第二章 基本初等函数1 221 对数与对数运算.docx

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配套K12学年高中数学第二章基本初等函数1221对数与对数运算

第二课时　对数的运算

对数的运算性质

[提出问题]

问题1：

我们知道am＋n＝am·an，那么loga（M·N）＝logaM·logaN正确吗？

举例说明．

提示：

不正确．例如log24＝log2（2×2）＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2.

问题2：

你能推出loga（MN）（M>0，N>0）的表达式吗？

提示：

能．令am＝M，an＝N，

∴MN＝am＋n.

由对数的定义知logaM＝m，logaN＝n，loga（MN）＝m＋n，

∴loga（MN）＝logaM＋logaN.

[导入新知]

对数的运算性质

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

（1）loga（M·N）＝logaM＋logaN，

（2）loga＝logaM－logaN，

（3）logaMn＝nlogaM（n∈R）．

[化解疑难]

巧记对数的运算性质

（1）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．

（2）两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差．

（3）正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.

换底公式

[提出问题]

问题1：

（1）log28；

（2）log232；（3）log832各为何值？

提示：

（1）log28＝3；

（2）log232＝5；

（3）log832＝log88＝.

问题2：

log832＝成立吗？

提示：

成立．

[导入新知]

换底公式

若c>0且c≠1，则logab＝（a>0，且a≠1，b>0）．

[化解疑难]

1．换底公式的推导

设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb，

所以x＝，即logab＝.

2．换底公式常用推论

loganbn＝logab（a>0，a≠1，b>0，n≠0）；

logambn＝logab（a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R）；

logab·logba＝1（a>0，b>0，a≠1，b≠1）；

logab·logbc·logcd＝logad（a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，d>0）．

对数运算性质的应用

[例1]　

（1）若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：

①logax·logay＝loga（x＋y）；

②logax－logay＝loga（x－y）；

③loga（xy）＝logax·logay；④＝loga；

⑤（logax）n＝logaxn；⑥logax＝－loga；

⑦＝loga；⑧loga＝－loga.

其中式子成立的个数为（　　）

A．3　　　　　　　B．4

C．5D．6

（2）计算下列各式的值：

①4lg2＋3lg5－lg；

②；

③2log32－log3＋log38－5；

④log2＋log2.

[解]　

（1）选A　对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，

则log24·log22＝2×1＝2，而log2（4＋2）＝log26≠2，

∴logax·logay＝loga（x＋y）不成立；

对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2（8－4）＝2，

∴logax－logay＝loga（x－y）不成立；

对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2（4×2）＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，

∴loga（xy）＝logax·logay不成立；

对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log2＝1，

∴＝loga不成立；

对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则（log24）3＝8≠log243＝6，∴（logax）n＝logaxn不成立；

⑥成立，由于－loga＝－logax－1＝loga（x－1）－1＝logax；

⑦成立，由于loga＝logax＝logax；

⑧成立，由于loga＝loga－1＝－loga.

（2）①原式＝lg＝lg104＝4.

②原式＝＝＝－3log32×log23＝－3.

③原式＝2log32－（log332－log39）＋3log32－3

＝5log32－（5log32－2log33）－3＝－1.

④原式＝log2（·）＝log24＝2.

[类题通法]

解决对数运算的常用方法

解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有：

（1）将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开；

（2）将同底数的对数的和、差、倍合并；

（3）利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.

[活学活用]

求下列各式的值：

（1）lg52＋lg2×lg50＋（lg2）2；

（2）log2＋log212－log242；

（3）；

（4）lg（＋）．

解：

（1）原式＝2lg5＋lg2×lg（5×10）＋（lg2）2＝2lg5＋lg2×lg5＋lg2＋（lg2）2＝2lg5＋lg2×（lg5＋lg2）＋lg2＝2lg5＋lg2＋lg2＝2（lg5＋lg2）＝2.

（2）法一：

原式＝（log27－log248）＋log23＋2log22－（log22＋log23＋log27）＝log27－log23－log216＋log23＋2－－log27＝－.

法二：

原式＝log2＝－.

（3）分子＝lg5（3＋3lg2）＋3（lg2）2

＝3lg5＋3lg2（lg5＋lg2）

＝3lg5＋3lg2＝3（lg5＋lg2）＝3；

分母＝（lg6＋2）－lg＝lg6＋2－lg＝4.

∴原式＝.

（4）原式＝lg（＋）2＝lg（3＋＋3－＋2）＝lg10＝.

换底公式的应用

[例2]　

（1）计算：

（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）．

（2）已知log189＝a,18b＝5，求log3645.

[解]　

（1）法一：

原式＝

·log52＋＋

＝·log52＋＋

＝log25·（3log52）

＝13log25·＝13.

法二：

原式＝

·＋＋

＝＋＋·＋＋

＝·＝13.

（2）因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是

法一：

log3645＝＝＝＝.

法二：

因为＝log189＝a，所以lg9＝alg18，

同理得lg5＝blg18，

所以log3645＝＝＝＝＝.

[类题通法]

换底公式的应用技巧

（1）换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

（2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．

[活学活用]

已知log147＝a，log145＝b，用a，b表示log3528.

解：

log3528＝＝＝＝＝＝＝.

对数方程的求解

[例3]　解下列关于x的方程：

（1）log2（2x＋1）＝log2（3x）；

（2）log5（2x＋1）＝log5（x2－2）；

（3）（lgx）2＋lgx3－10＝0.

[解]　

（1）由log2（2x＋1）＝log2（3x），得2x＋1＝3x，解得x＝1.

检验：

当x＝1时，2x＋1>0,3x>0.故x＝1.

（2）由log5（2x＋1）＝log5（x2－2），得2x＋1＝x2－2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.

检验：

当x＝－1时，2x＋1<0，x2－2<0，不满足真数大于0，舍去；

当x＝3时，2x＋1>0，x2－2>0.故x＝3.

（3）原方程整理得（lgx）2＋3lgx－10＝0，

即（lgx＋5）（lgx－2）＝0，

所以lgx＝－5或lgx＝2，

解得x＝10－5或x＝102.

经检验知：

x＝10－5，x＝102都是原方程的解．

[类题通法]

解对数方程的方法

根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程：

（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；

（2）化简后得到关于简单对数式（形如lgx）的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化解得x.

[注意]　在解方程时，需检验得到的x是否满足所有真数都大于零．

[活学活用]

解下列关于x的方程：

（1）lg＝lg（x－1）；

（2）log4（3－x）＋log0.25（3＋x）＝log4（1－x）＋log0.25（2x＋1）．

解：

（1）原方程整理得lg（x－1）＝lg（x－1），

则（x－1）＝x－1，解得x＝1或x＝2.

检验：

当x＝1时，（x－1）＝x－1＝0，不满足真数大于0，舍去；当x＝2时，满足所有真数都大于0.

故方程的解是x＝2.

（2）因为0.25＝4－1，所以原方程整理得

log4（3－x）－log4（3＋x）＝log4（1－x）－log4（2x＋1），

即log4＝log4，则＝，

解得x＝7或x＝0.

检验：

当x＝7时，3－x<0,1－x<0，不满足真数大于0，舍去；当x＝0时，满足所有真数都大于0.

故方程的解是x＝0.

[典例]　设lga＋lgb＝2lg（a－2b），则log4的值为________．

[解析]　依题意，得a>0，b>0，a－2b>0，

原式可化为ab＝（a－2b）2，即a2－5ab＋4b2＝0，

则2－5＋4＝0，∴＝4或＝1.

∵a－2b>0，>2，∴＝4，∴log4＝1.

[答案]　1

[易错防范]

1．在将对数式lga＋lgb＝2lg（a－2b）化为代数式ab＝（a－2b）2时，易忽视隐含条件从而误认为＝4或＝1，得出log4＝1或0的错误答案．

2．在将对数转化成其他形式时，一定要先考虑定义域的限制，将字母的范围先确定出来．

[活学活用]

已知2lg（x＋y）＝lg2x＋lg2y，则＝________.

解析：

∵2lg（x＋y）＝lg2x＋lg2y，

∴lg（x＋y）2＝lg4xy，

∴（x＋y）2＝4xy，

即（x－y）2＝0.

∴x＝y，∴＝1.

答案：

1

[随堂即时演练]

1．求值：

2log510＋log50.25＝（　　）

A．0　　　　　　　　B．1

C．2D．4

解析：

选C　2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.

2．求值：

（log29）·（log34）＝（　　）

A.B.

C．2D．4

解析：

选D　原式＝（2log23）·（2log32）＝4log23·log32＝4.

3．已知2a＝5b＝10，则＋＝________.

解析：

因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510.根据换底公式得a＝，b＝，所以＋＝lg2＋lg5＝1.

答案：

1

4．方程lgx＋lg（x＋3）＝1的解是x＝________.

解析：

原方程可化为lg（x2＋3x）＝1，

∴

解得x＝2.

答案：

2

5．计算下列各式的值：

（1）lg25＋lg2＋lg2·lg5；

（2）2（lg）2＋lg·lg5＋；

（3）log535－2log5＋log57－log51.8.

解：

（1）原式＝lg2＋lg5·（lg5＋lg2）＝lg2＋lg5＝1.

（2）原式＝lg（2lg＋lg5）＋

＝lg（lg2＋lg5）＋1－lg

＝lg＋1－lg＝1.

（3）原式＝log5（5×7）－2（log57－log53）＋log57－log5

＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2