届四川省宜宾市叙州区第一中学高三月考数学文试题解析版.docx

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届四川省宜宾市叙州区第一中学高三月考数学文试题解析版

2019届四川省宜宾市叙州区第一中学高三4月月考数学（文）试题

一、单选题

1．集合，，则（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】由题意得，

∴．选D．

2．已知复数满足：

则复数的虚部为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由，得，

∴，

∴复数的虚部为1．选C．

3．已知实数满足：

，则（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】函数为增函数,故.而对数函数为增函数,所以,故选B.

4．在区域内任意取一点，则的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】画出图象如下图阴影部分所示,故概率为,所以选B.

5．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应函数的解析式为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】右平移个单位长度得带,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）得到,故选C.

6．已知，点为斜边的中点，,,,则等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】可分别以直线AC，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出点A，B，C，D的坐标，进而求出点E的坐标，从而得出向量的坐标，这样进行数量积的坐标运算即可求出的值．

【详解】

如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：

因为，所以

∴=，

∴

故选：

C．

【点睛】

考查建立平面直角坐标系，通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及向量数乘的几何意义，数量积的坐标运算．

7．若，，则的值构成的集合为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由知，，即，当时，，所以，从而，当时，，所以，因此选C.

8．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：

“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：

“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了（）

A．24里B．18里C．12里D．6里

【答案】B

【解析】根据题意,设此人每天所走的路程为,其首项为,即此人第一天走的路程为,又从第二天起每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项,为公比的等比数列,又,解得,则,故选B.

9．正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，求得其外接圆的半径，求得的值，进而求得球的半径，即可求解球的表面积，得到答案。

【详解】

如图所示，设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，

设其外接圆的半径为，则，即，

由，得，

所以正方体的外接球的半径为，

所以正方体的外接球的表面积为，故选C。

【点睛】

本题主要考查了求得表面积与体积的计算问题，同时考查了组合体及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，利用球的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题。

10．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得k＝f′

（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．

【详解】

根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，

f（x）lnx﹣x，则f′（x）x21，

则有k＝f′

（1），

则tanθ，

又由0≤θ＜π，则θ，

故选：

B．

【点睛】

本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．

11．已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（）

A．B．1C．D．2

【答案】A

【解析】由函数图象的对称中心为列方程，由整理出方程并求解，联立方程组表示出，结合及得到的范围，从而求解。

【详解】

因为函数的图象的一个对称中心为所以，整理得：

，

所以，

又即：

，

所以或

由得：

，

由得：

，

所以的最小值为

故选：

A

【点睛】

本题主要考查了三角函数性质，及解三角方程，注意及这个要求。

12．已知双曲线：

的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）

A．8B．C．D．

【答案】B

【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为，设点Q坐标为，

则，

∵，

∴，

∴．

设，由得，

∴，

∴，

∵点在双曲线上，

∴，

∴，

∴，

解得或，

∴双曲线的离心率为2．选B．

点睛：

求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

二、填空题

13．已知向量，且，则__________．

【答案】

【解析】由题得,故填.

14．执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值之和为_____．

【答案】127

【解析】由程序框图，该程序是利用选择结构与循环结构相嵌套计算输出变量的值.模拟程序运行的过程，分析循环中各个变量的值的变化情况，确定输出的值及何时程序结束.最后再把各个输出值相加求和.

【详解】

执行程序，第1次循环，y=0为整数，输出x=1；x变为2，不满足大于100；

第2次循环，y=1为整数，输出x=2；x变为3，不满足大于100；

第3次循环，不为整数，x变为4，不满足大于100；

······，第100次循环，不为整数，x变为101，满足大于100，程序结束；输出值x依次为1,2,4，···，64，成等比数列，

所以所有输出值x的和.故答案为127.

【点睛】

本题考查程序框图中循环结构与选择结构的应用，解题时需模拟程序运行，结合相关知识，判断程序的条件是否满足，何时结束.结构有嵌套时复杂性增加，属于中档题.

15．若是双曲线同一支上的任意两点，为坐标原点，则的最小值为_____．

【答案】1

【解析】设A，B坐标，将用A，B的坐标表示，结合双曲线方程进行减元，再利用基本不等式可得.

【详解】

设，，不妨设，，所以

又A，B在双曲线C上，所以，，要使较小，只需，

=

=（当且仅当时取等号）

所以,

故答案为1.

【点睛】

本题考查利用不等式求函数的最值，考查函数解析式的建立，对多元函数求最值往往利用基本不等式求解，属于中档题.

16．在中，内角，，的对边分别为，,,,,__________．

【答案】

【解析】依据题设可得，由正弦定理余弦定理可得，即，也即与联立可得，故，应填答案。

点睛：

本题解决的思路是先运用同角三角函数之间的关系将切化弦，再运用正弦定理余弦定理将其化为边的关系，进而借助题设中的等式建立方程组，通过解方程组使得问题巧妙获解。

三、解答题

17．在中，角，，的对边分别为，，，已知.

（I）求；

（II）若，，求的面积.

【答案】

（1）;

（2）1.

【解析】

（1）由正弦定理可得，而,展开化简即可得到，从而可以求出；

（2）先求出的值，然后通过余弦定理即可求出的值，代入面积公式即可得到答案。

【详解】

（1）因为，所以，

故，

所以，

因为，所以，

又，且0

解得，.

（2）由

（1）得

所以，

由，设，

由余弦定理得：

，

所以，

所以的面积.

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积求法，考查了计算能力，属于中档题。

18．某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：

，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：

（I）求的值；

（II）求抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的人数；

（III）再从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率.

【答案】（I）；（II）；（III）

【解析】

（1）根据频率分布直方图计算a的值即可；

（2）根据频率直方图求出女生、男生月上网次数不少于15次的频率，计算对应的频数，再求和；

（3）利用列举法求基本事件数，计算对应的概率值即可．

【详解】

解析：

（1）由，得.

（2）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为，

∴在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有人.

在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为，

∴在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有人.

故抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的人数有人.

（3）记“再从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件，

在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为，人数为.

在抽取的男生中,月上网次数不少于20次的学生频率为，

人数为.记两名女生为，，三名男生为，，，

则在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，所有可能有10种：

即，，,，，，，，，,

而事件包含的结果有7种：

，，，，，，，

∴.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．

19．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，为棱上一点.

（I）证明：

平面平面；

（II）设，，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求的长.

【答案】

（1）详见解析;

（2）.

【解析】试题分析：

（1）根据条件可证明AB垂直平面PAD，从而可证平面平面；

（2）根据等体积法，转换棱锥顶点即可求出.

试题解析：

（1）证明：

∵平面，∴，

∵底面是正方形，∴.

又，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

（2）解：

设，∵，，∴的面积为，

∴.

又，

∴，∴，，，则.

又平面，∴，

∴.

点睛：

在三棱锥的体积、高等问题中，经常使用等体积法来处理，一般可转化顶点，利用体积不变，高，底的变化来突破问题，解题中要注意使用.

20．已知椭圆：

的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点、，点，试探究：

直线与的斜率之积是否为常数.

【答案】

（1）；

（2）见解析.

【解析】【试题分析】

（1）根据三角形面积公式和离心率建立方程,解方程组可求得的值.

（2）设出直线的方程联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,通过计算.化简后可得为常数.

【试题解析】

（1）由题意得（其中椭圆的半焦距），

解得.

所以椭圆的方程为：

.

（2）由题意设直线的方程为：

，，，

由得：

，

所以，

故，

，

（常数）.

21．已知函数在点处的切线与轴平行．

（1）求实数的值及的极值；

（2）如果对任意，求实数的取值范围．

【答案】

（1）见解析；

（2）

【解析】

（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立条件关系即可求实数的值及的极值；

（2）根据函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论．

【详解】

（1）

∵在点处的切线与轴平行

∴，∴

∴,

当时，当时，

∴在上单调递增，在单调递减，

故在处取得极大值1，无极小值.

（2）由

（1）的结论知，在上单调递减，不妨设，

则等价于

∴，即函数在上单调递减，

又，在上恒