精品六年级下册数学第四单元《比例》讲义.docx
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精品六年级下册数学第四单元《比例》讲义
第四单元比例
第四单元比例
1
第四单元比例
1.比例的意义和基本性质
知识点一比例的意义和基本性质
一、比例的意义
1.如5:
6=5
，15:
18=
5
，所以5:
6=15:
18。
6
6
像“5:
6=15:
18”，表示两个比相等的式子叫做比例。
2.判断两个比能否组成比例的方法：
看两个比的比值是否相等，如果比值相等，那么就能组成比例；否则不能组成比例。
二、比例的各部分名称
1.组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例如：
3.6:
3=4.8:
4
内项
外项
三、比例的基本性质
1.在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
2.如果a
=
c（a、b、c、d均不为0），那么ad=bc。
b
d
【趁热打铁】
1.
能与15：
9组成比例的比是（
）。
A.13
：
15
B.3：
5
C.5：
3
D.15
：
115
2.
能与：
组成比例的是（
）。
A.2：
3
9
16
1
1
1
B.4:
C.:
2
D.
:
2
18
2
3
3.
在比例
1.2：
2.1=4：
7中，
和
是外项，
和
是内项，将这个比例改写成分数形式
是
=
．
4.
在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是
3.5，另一个内项是（
）。
5.
如果a：
b=5：
9,那么a：
5=（
）：
（
）。
6.A的2
相当于B的3
，A：
B=（
）：
（
）
3
4
7.
如果2a=6b，则
a
（
）
=
（
，a：
8=（
）：
（
）。
b
）
2
第四单元比例
8.
如果6x=7y，写成比例是（
）
A.6:
7=y:
x
B.x:
y=6:
7
C.6:
x=7:
y
D.6:
y=7:
x
9.
用3、7、9、21这四个数组成的比例式，下面的哪个式子是正确的（
）。
A.21:
3=7:
9
B.3:
7=9:
21
C.9:
3=7:
21
D.3×21=7×9
拓展
1.根据比例的基本性质，求比例中的某一项
（1）6.5:
（3）6.5:
（
）=5:
9
4
3
（2）（）:
=3:
5
2
（
）=5:
9
（4）45:
7.5
=（）
2
:
3
2.运用例举法把乘法等式改写成比例
（1）3×80=4×60
（2）2
?
120.5
?
16
3
3.判断四个数能否组成比例
（1）判断3，6，9，18这四个数能否组成比例
（2）小强3分钟走了180米，小刚1小时走了3.6千米。
小强说：
“我俩各自左走的路程和时间的比能组成比例。
”小刚说：
“不能组成比例。
”他们谁说得对？
3
第四单元比例
知识点二解比例
1.解比例的意义：
求比例中的未知项，叫做解比例
2.方法：
（1）根据比例的基本性质把比例转化成乘法算式
（2）解方程求出未知项的值
【趁热打铁】
1.解比例
1：
1
=1
：
X
15:
7x:
1.4
12
3
x
1
2.4
=
:
14=0.5:
2
5
4
x
5
2.根据条件列比例解比例
（1）36与X的比等于4与0.2的比．
（2）一个数和8的比等于1和1的比，这个数是多少？
34
（3）比的两个外项是4.6和5，两个内项是X和2.3．
3.一种农药，用药液和水按1：
1500配制而成，现有3千克药液，能配制这种农药多少千克？
4.隆兴嘉园11号楼的实际高度是38米，它的高度与模型高度的比试500:
1.那么模型的高度是多少厘米？
4
第四单元比例
2.正比例和反比例
知识点一正比例
一、正比例的意义
1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
2.如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），那么正比例关系可以表示为
y
=k（一定）
x
例：
正方形的周长与边长；速度一定时的路程与时间；单价一定时的总价与数量。
注：
判断两种量是否成正比例，要做到“两判”：
一判这两种量是不是相关联的量，二判两个量的比值是否一定。
二、正比例图像的特点
正比例图像是一条从原点出发的射线。
从图像中可以直观地看到两种量的变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值
【趁热打铁】
1.判断下面每题中的两种量是否成比例。
（1）
笔记本单价一定，数量和总价
（
）
（2）
工作效率一定，工作时间和工作总量
（
）
（3）
一袋大米的重量一定，吃了的和剩下的
（
）
（4）
正方形的周长和边长
（
）
（5）
人的身高和体重
（
）
2.公共汽车里的投币箱贴有“2元/人”．
（1）把下表填写完整．
上车的人数
/人
1
2
4
6
投币箱的车费
/元
2
6
10
（2）根据表中的数据，在下图中描出车费和上车的人数所对应的点，再把它们按顺序连起来。
（3）你发现哪个量与哪个量成什么比例？
请说明理由。
3.妈妈去买苹果，苹果的总价和购买的数量如下：
5
第四单元比例
数量（千克）
2
4
5
8
10
12
总价（元）
8
16
24
32
40
48
（1）妈妈买苹果的总价和所买数量成正比例吗？
为什么？
（2）根据表中数据，在下图中描出总价和所买数量所对应的点，再把它们用线连起来。
（3）看上图判断，妈妈买5千克苹果需要多少元？
60元可以买多少千克苹果？
4.同一时间，同一地点测得树高和影长如下图：
（1）看图填写下表：
树高/m
1
2
3
4
5
影长/m
（2）树高和影长成比例吗？
成什么比例？
为什么？
（3）根据图象，估计8米高的树，这时的影长是多少米？
4.甲、乙两车行驶的路与时间的关系如图：
（1）甲车行驶的路程与时间是否成正比例关系？
乙车呢？
（2）3小时甲车行驶（）千米，乙车行驶（）千米。
（3）从图象上看，甲车的速度快还是乙车的速度快？
（2）如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时
相遇．则A、B两地相距多少千米？
5.已知x和y成正比例关系，完成下面的表：
X
7
6
18
Y
36
24
8
6
第四单元比例
知识点二反比例
1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
2.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的成绩（一定），那么反比例关系可以表示为
xy=k（一定）
例：
路程一定时的速度与时间；总价一定时的单价与数量。
注：
判断两种量是否成反比例，要做到“两判”：
一判这两种量是不是相关联的量，二判两个量的乘积是否一定。
【趁热打铁】
1.判断下面每题中的两种量是否成比例。
（1）
比的前项一定，比的后项和比值
（
）
（2）
平行四边形的面积一定，它的底和高
（
）
（3）
烧煤的天数一定，每天的烧煤量和煤的总量
（
）
（4）
长方形的周长一定，它的长和宽
（
）
（5）
被减数一定，减数与差
（
）
（6）
花生的出油率一定，花生的重量和油的重量
（
）
（7）
正方形的边长与面积成
（
）
（8）
班级学生的总人数一定，出勤率与缺勤率
（
）
（9）
圆的周长与直径
（
）
（10）
同时同地树高与影长
（
）
2.表示a和b这两种量成反比例的关系式是（）
A．a+b=8B．a-b=8C．a×b=8D．a÷b=8
3.x与y成反比例关系，根据条件完成下表。
X
15
20
40
Y
400
240
100
4.想一想，填一填。
xy
（1）如果5=7，那么x和y成（）比例，
x7
（2）如果5＝y,那么a与b成（）比例。
7
第四单元比例
5.3个人练习打同一份稿件，每人打字所用时间如下表，请填表并回答问题。
玲玲
军军
奇奇
打字所用的时间（分）
10
12
20
速度（字/分）
84
70
42
（1）不同的人在打同一份稿件的过程中，哪个量没变？
（2）打字的速度和所用的时间有什么关系？
（3）张老师打这份稿件用了7分钟，你知道她平均每分钟打多少个字吗？
6.一辆汽车准备从甲地开往乙地。
根据下表提供的信息，把表格填写完整。
（1）行驶的时间和速度成什么比例关系？
说明理由。
（2）如果这一辆汽车从甲地到乙地用了18小时，根据上面表格估计这辆汽车的速度大约是多少？
7.看同一本书，每天看的页数和所看天数的情况如下表：
每天看的页数
4
8
10
16
20
所看的天数
80
40
（1）判断：
每天所看的页数与所看天数成比例。
（2）把表格填完整。
（3）哪一个量不变。
注：
正比例和反比例的比较
共同点
不同点
两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，
正比例
即
y=k（一定）
两种量相关联，一种量变化，
x
另一种量也随着变化。
两种量中相对应的两个数的乘积一定，
反比例
即xy=k（一定）
8
第四单元比例
3.比例的应用
知识点一比例尺
一、比例尺的意义
1.
一幅图的（
）距离和（
）距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离
2.
（
）︰（
）=比例尺
或
实际距离=（
）
3.比例尺与一般的尺不同，它是一个（），不应带有计量单位．
4.求比例尺时，前、后项的单位长度一定要化成同级单位
例1：
一张地图上2厘米的距离表示实际距离1000米。
求图上距离和实际距离的比。
例2：
一个机器零件的长为3毫米,画在纸上的长为18厘米，求这幅图的比例尺。
练习：
1.
用图上距离5厘米，表示实际距离
200米，这幅图的比例尺是（
）
2.
图上距离：
实际距离
=1cm：
50km=1cm:
（
）cm=1:
（）
3.
在一幅地图上，用
3厘米的线段表示18
千米的实际距离，这幅地图的比例尺是（
）。
4.
长4毫米的零件，画在图纸上是
4厘米，这幅图的比例尺是（
）
5.
一个手表零件长2
毫米，画在一幅图上长
4
厘米，这幅图的比例尺。
6.一张地图上，用3厘米表示实际距离600米，求这张地图的比例尺。
二、比例尺的分类
1.按表现形式分：
（1）线段比例尺：
（2）数值比例尺：
图上距离：
实际距离
=比例尺
图上距离
或
=比例尺
实际距离
（3）文字比例尺：
图上1厘米代表实地距离40千米
9
第四单元比例
2.按将实际距离缩小还是放大分：
（1）缩小比例尺：
像1:
2000,1:
50这样前项是“1”的比例尺，称为缩小比例尺。
（2）放大比例尺：
像4:
1，60:
1这样后项是“1”的比例尺，称为放大比例尺。
例3：
（1）说一说下面两幅图中比例尺所代表的含义。
（2）你能将第二个线段比例尺改写成数值比例尺吗?
练习：
1.AB两地间的直线距离是150千米，在地图上只有5厘米，该地图的比例尺是多少？
用三种表示方法表示。
2.两城的实际距离是120千米，在一幅地图上的图上距离为4厘米，该地图的比例尺是多少？
将数值比例
尺改写成线段比例尺。
3.填写表格
数字式文字式线段式
1：
2000000
图上1厘米等于实际距离3千米
1：
450000
三、已知比例尺和图上距离，求实际距离
图上距离
方法一：
根据“实际距离=比例尺”列方程，用解比例的方法解答
方法二：
根据“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式解答
10
第四单元比例
例4：
在比例尺1:
2000的平面图上，量得一座大桥的长度是7.2厘米。
这座大桥的实际长度是多少米？
方法一：
方法二：
练习：
1.判断
⑴实际距离一定比图上距离大。
（）
⑵在比例尺是10：
1的图纸上，2厘米的线段表示零件实际长度是20厘米。
（）
2.在比例尺是1：
6000000的地图上，量得重庆到上海的距离是24厘米，重庆到上海的实际距离是多少千
米？
3.在比例尺是
1
的地图上，量得一间房屋地基长
8厘米，宽5厘米。
这间房屋实际的长和宽分别是多少？
1000
思维突破
1：
在比例尺是
1
的地图上，量得一所学校的平面图长
6厘米，宽
4厘米。
这所学校实际占地
5000
面积是多少平方米？
过关精炼：
在比例尺是1:
400的图纸上，量得长方形的长是4厘米，宽是3厘米。
长方形的实际面积是多
少平方米？
思维突破2：
在比例尺是1：
5000000的地图上，量得沈阳和重庆两地相距6厘米。
如果甲、乙两辆汽车同
时从两地相对出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米。
几小时后两车能相遇？
过关精炼：
1.在比例尺是1∶3000000的地图上，量的A、B两地的距离是50厘米。
如果甲、乙两列客车同时从A、B
两地相对开出，经过10小时相遇，甲客车每小时行76千米，乙客车每小时行多少千米？
11
第四单元比例
2.在比例尺是1：
2000000的地图上，量得济南到烟台的距离是3.6厘米。
如果汽车以每小时30千米的速
度于上午9时整从济南出发，走完这段路程到达烟台时是什么时刻？
四、已知实际距离和比例尺，求图上距离（应用比例尺画图）
方法一：
用方程解。
1.解，设图上距离为x厘米。
2、换算单位。
实际距离与图上距离单位一致。
3、利用“图上距离：
实际距离=比例尺”列比例，解比例。
方法二：
算术法。
利用“图上距离=实际距离×比例尺”直接列式计算。
例5：
一个长方形操场，长110米，宽90米。
把它画在比例尺是1的图纸上，长和宽各应画多少厘米？
100
过关精炼：
实际距离240千米，画在比例尺是1：
8000000的地图上，应画多少厘米？
思维突破：
在比例尺是1：
6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米。
如果把南京到北京的距
离画在比例尺是1：
5000000的地图上，应该画多少厘米？
过关精炼：
1.原比例尺为
1：
50000的一幅地图，现在改为用
1
的比例尺重新绘制，原地图中4.8cm
20000
的距离，在新地图中应该画多少厘米？
2.在一幅地图上，用5厘米的距离表示实际距离
1500千米。
在这幅地图上量得
A、B两地的距离是
3.5厘
米，A、B两地的实际距离是多少千米？
一条
640千米的高速公路，在这幅地图上是多少厘米?
12
第四单元比例
五、应用比例尺画图
步骤：
1.确定比例尺。
2.根据自己选择的比例尺计算出平面图上的距离。
3.画图。
例6：
小明家在学校正西方向，距学校200m；小亮家在小明家正东方向，距小明家400m；小红家在学校正
北方向，距学校250m，在下图中画出他们三家和学校的位置平面图。
·学校
过关精炼：
1、篮球场长120m，宽90m。
用1：
2000的比例尺在下面画出它的平面图（只画出边界）
2、小明家正西方向500是街心公园，街心公园正北方向300是科技馆，科技馆正东方向1是动物园，动物
园正南方向400是医院。
先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。
知识点二图形的放大与缩小
一、图形的放大与缩小
13
第四单元比例
1.图形的放大：
保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变大了，叫做图形的放大。
2.图形的缩小：
保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变小了，叫做图形的缩小。
二、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小的方法
1.步骤：
一看二算三画
2.放大或缩小后的图形与原来的图形相比，形状相同，但是大小发生了变化。
3.图形按一定的比放大时，这个比的比值比1（）；图形按一定的比缩小时，这个比的比值比1（）。
拓展
多次放大或缩小
一个长方形，先按2:
1放大，再按1:
4缩小，和原来的长方形相比，最终的到的长方形各边是扩大了还是缩小了？
【趁热打铁】
1.先按4:
1把下面的三角形放大，再把放大后的图形按1:
2缩小。
2.一个长方形，长是12厘米，宽是6厘米，
（1）按一定比例放大后，长是
36厘米，宽是
18厘米，它是按（
）：
（
）的比扩大的。
（2）按一定比例缩小后，长是
6厘米，宽是3厘米，它是按（
）：
（
）的比缩小的。
3.
把一个长是3cm，宽是2cm的长方形按2：
1的比扩大后，长是（
）cm，宽是（
）cm，面
积将扩大到原来的（
）。
4.
把一个边长是24cm的正方形按1:
8缩小后，边长是（
），缩小后的正方形的面积与原来正方形的面
积的比是（
）。
5.
一个圆的半径是
4厘米，按
1：
2缩小后，得到的图形的面积是（
）。
6.
一个圆按3:
1放大后，半径是
12cm，原来的圆的半径是（
）。
7.
若将直角三角形的两条直角边都扩大到原来的
3倍，则斜边（
）。
A.不变
B.扩大到原来的3倍
C.缩小到原来的
1
3
8.
用放大镜看一个
45°的角，这个角的度数是（
）。
知识点三用比例解决问题
14
第四单元比例
一、用正比例解决问题
步骤：
（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断他们是否成正比例
（2）如果成正比例关系，根据正比例的意义列出比例式
（3）解比例
（4）检验并答
二、用反比例解决问题
步骤：
（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断他们是否成反比例
（2）如果成反比例关系，根据反比例的意义列出比例式
（3）解比例
（4）检验并答
【趁热打铁】
1.下面各题中的两个量成不成比例，如果成比例，那么成什么比例？
（1）
圆的面积和半径
（
）
（2）
订《数学报》的份数与总价
（
）
（3）
长方形的周长一定，长与宽
（
）
（4）
在没有余数的除法中，被除数一定，除数和商
（
）
（5）
铺底面积一定，方砖面积与所需块数
（
）
（6）
货车的载重量一定，运送货物的总量和辆数
（
）
2.食堂买3桶油用了780元，照这样计算，买10桶油需要多少元？
（1）因为（）一定，相关联的两种量是（）和（）
（2）得数量关系式：
=
（3）所以（）和（）成（）比例关系。
3.生产一批自行车，计划每天生产30辆，需要生产20天；实际每天生产了50辆，实际生产了几天？
（1）因为（）一定，相关联的两种量是（）和（）
（2）得数量关系式：
=
（3）所以（）和（）成（）比例关系。
4.一种大豆，每20千克可以榨油5.5千克。
照这样计算。
（1）30吨大豆可以榨油多少吨？
（2）要榨22吨油，需要这样的大豆多少吨？
15
第四单元比例
5.我国发射的人造地球卫星，在空中绕地球运行3周需要5.7小时。
照这样计算，运行12周需要多少小
时？
6.测量小组测得一座电视发射塔的影长是100米。
同时把一根长2米长的竹竿直立在地上，测得影长是1.6米。
电视发射塔高多少米？
7.一个晒
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