高二数学期末难题汇编.docx

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高二数学期末难题汇编

高二数学期末难题汇编

一．选择题（共13小题）

1．已知椭圆C：

的两个焦点F1，F2与短轴的两个端点B1，B2都在圆x2+y2＝1上，P是C上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的平分线交C的长轴于点M，则|MB1|+|MB2|的取值范围是（　　）

A．B．C．D．

2．已知点P为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，使（+）（﹣）＝0（O为坐标原点），且||＝||，则双曲线离心率为（　　）

A．B．+1C．+1D．﹣

3．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（　　）

A．B．3C．6D．

4．已知F是双曲线E：

（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F且倾斜角为30°的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC的斜率为（　　）

A．﹣B．C．﹣3D．3

5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段AC，D1B上，且＝λ（λ∈（0，+∞）），直线EF与直线AD1，B1C所成的角为θ1，θ2，又f（λ）＝|EF|[cos（θ1+θ2）+sin（θ1+θ2）]，则f（λ）随着λ增大时（　　）

A．f（λ）先增大后减小，且最小值为1

B．f（λ）先减小后增大，且最小值为1

C．f（λ）先减小后增大，且最小值为

D．f（λ）先增大后减小，且最小值为

6．如图，二面角α﹣AB﹣β的大小为60°，棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则直线AB与CD所成角的余弦值为（　　）

A．B．C．D．

7．过点P（1，3）的动直线交圆C：

x2+y2＝4于A、B两点，分别过A、B作圆C的切线，如果两切线相交于点Q，那么点Q的轨迹为（　　）

A．直线的一部分B．直线

C．圆的一部分D．射线

8．若O为坐标原点，A（2，0），点P（x，y）坐标满足，则||cos∠AOP的最大值为（　　）

A．6B．5C．4D．3

9．已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（　　）

A．B．C．D．1

10．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A、B不同两点，若5|AF|＝4|BE|，则双曲线的离心率为（　　）

A．B．C．D．

11．已知p：

函数y＝|x﹣a|在[3，+∞）上是增函数，q：

函数y＝lg（x﹣a）在[3，+∞）是增函数，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

12．在平面直角坐标系内，到点A（1，2）和直线l：

x+y﹣3＝0距离相等的点的轨迹是（　　）

A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线

13．设x，y满足约束条件，则的最大值是（　　）

A．﹣B．C．D．

二．填空题（共9小题）

14．已知点P在圆C：

（x﹣4）2+y2＝4上，点A（6，0），M为AP的中点，O为坐标原点，则tan∠MOA的最大值为　　．

15．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为　　．

16．若圆x2+y2＝25与圆x2+y2﹣6x+8y+m＝0的公共弦的长为8，则m＝　　．

17．设点集M＝{（x，y）|xcosθ+ysinθ﹣sinθ﹣1＝0（0≤θ≤2π）}，集合M在坐标平面xoy内形成区域的边界构成曲线C，曲线C的中心为T，圆N：

（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1，过圆N上任一点P分别作曲线C的两切线PE，PF，切点分别为E，F，则的范围为　　．

18．若f（x）＝x4+3x3+x+1，用秦九韶算法计算f（π）时，需要乘法m次，加法n次，则m+n＝　　．

19．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2＝1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于　　．

20．给出下列结论：

动点M（x，y）分别到两定点（﹣4，0），（4，0）连线的斜率之乘积为﹣，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别为曲线C的左右焦点，则下列命题中：

（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0），F2（5，0）；

（2）曲线C上存在一点M，使得S△F1MF2＝9；

（3）P为曲线C上一点，P，F1，F2是直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，的值为；

（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|PA|+|PF1|的最大值为8+；

其中正确命题的序号是　　．

21．已知命题，则￢p为　　．

22．下列说法中，错误的有　　（写出你认为错误的所有说法的序号）．

①若a，b均为正数，则；

②若x∈（0，），则sinx+的最小值为2；

③a＞b＞0，则a+＞b+；

④若a＞b＞1，则．

三．解答题（共18小题）

23．已知椭圆M：

的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点．

（1）求椭圆M的方程；

（2）若直线y＝kx+m（k≠0）与圆E：

x2+y2＝相切于点P，且交椭圆M于A，B两点，射线OP于椭圆M交于点Q，设ΔOAB的面积与ΔQAB的面积分别为S1，S2．

①求S1的最大值；

②当S1取得最大值时，求的值．

24．如图，圆M：

（x﹣2）2+y2＝1，点P（﹣1，t）为直线l：

x＝﹣1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．

（1）若t＝1，求两条切线所在的直线方程；

（2）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；

（3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．

25．已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆的左顶点，点B为上顶点，|AB|＝且|AF1|+|AF2|＝4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F2作直线l交椭圆C于M、N两点，记AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1+k2＝3，求直线l的方程．

26．已知椭圆C：

的长轴长是焦距的2倍，且过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P（x，y）为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，点P'满足．证明：

为定值．

27．已知双曲线的方程是4x2﹣9y2＝36．

（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝16，求∠F1PF2的大小．

28．已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的离心率是，原点到直线＝1的距离等于．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：

y＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：

直线l过定点，并求出该定点的坐标．

29．已知椭圆的长轴长为4，焦距为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．

（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；

（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．

30．如图，椭圆，抛物线，过C2上一点P（异于原点O）作C2的切线l交C1于A，B两点，切线l交x轴于点Q．

（1）若点P的横坐标为1，且|﹣|＝，求p的值．

（2）求△OAB的面积的最大值，并求证当△OAB面积取最大值时，对任意的p＞0，直线l均与一个定椭圆相切．

31．为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．

数学

120

118

116

122

124

物理

79

79

77

82

83

附．．

（1）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；

（2）我们常用R2来刻画回归的效果，其中R2越接近于1，表示回归效果越好．求R2．

（3）已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？

32．p：

实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：

实数x满足．

（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

33．某公司2017年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动．

（1）现需要从第一排就座的6位嘉宾A、B、C、D、E、F中随机抽取2人上台抽奖，求嘉宾A和嘉宾B至少有一人上台抽奖的概率；

（2）抽奖活动的规则是：

嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该嘉宾中奖的概率．

34．已知圆F的圆心坐标为（1，0），且被直线x+y﹣2＝0截得的弦长为．

（1）求圆F的方程；

（2）若动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程；

（3）直线l与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点，且•＝﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

35．以椭圆C：

+＝1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．

（1）若椭圆C的离心率为，其“伴随”与直线x+y﹣2＝0相切，求椭圆C的方程．

（2）设椭圆E：

+＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx+m交椭圆E于AB两点，射线PO交椭圆E于点Q．

（i）求的值；

（ii）求△ABQ面积的最大值．

36．如图，已知抛物线C：

y2＝4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．

（Ⅰ）若AP⊥AQ，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标；

（Ⅱ）假设直线PQ过点T（5，﹣2），请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？

若存在，求出△APQ的个数？

如果不存在，请说明理由．

37．已知椭圆C：

的离心率为，右顶点A是抛物线y2＝8x的焦点．直线l：

y＝k（x﹣1）与椭圆C相交于P，Q两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如果，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．

38．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．

（1）求x和y的值；

（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；

（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

39．已知命题p：

（x﹣2）（x+3）≤0；命题q：

1﹣a≤x≤1+a（a＞0）．

（1）若a＝6，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．

（2）若￢q是￢p的充分条件，求实数a的取值范围．

40．已知抛物线C：

y2＝2px（p＞0）经过点（1，﹣2），过点M（8，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）在抛物线C上是否存在定点N，使得＝0？

若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题）

1．已知椭圆C：

的两个焦点F1，F2与短轴的两个端点B1，B2都在圆x2+y2＝1上，P是C上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的平分线交C的长轴于点M，则|MB1|+