概率方法在其他数学问题中的应用.docx

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概率方法在其他数学问题中的应用

海南大学

毕业论文（设计）

题目：

概率方法在其他数学问题中的应用

学号：

姓名：

年级：

2007级

学院：

信息科学技术学院

系别：

数学系

专业：

数学与应用数学

指导教师：

完成日期：

2011年4月18日

摘要

基于对数学分支中概率统计重要性的认识，本文通过分析：

一、概率方法在经典数学中的应用；

二、概率方法在近代数学中的应用；

三、概率方法在经济数学中的应用；

这三个方面的应用来说明概率统计的重要性。

数学一共五大分支，1.经典数学2.近代数学3.计算机数学4.随机数学5.经济数学。

而概率方法在每一个数学分支都有应用，可见概率方法在数学领域是何等的重要。

作为研究随机现象数量规律的一门数学分支学科，概率论有着悠久的历史，早在16、17世纪，就有一些著名数学家探讨过掷骰子在赌博中出现的各种概率计算问题。

随后，法国科学家拉普拉斯集前人之大成，并在概率论中引入了更有力的分析工具，证明了第二个极限定理，即中心极限定理的雏形；同时他还从哲学的高度提出了“概率论终将成为人类知识中最主要的组成部分”的重大见解，大大扩展了概率论的应用范围。

概率论的理论和方法与数学其他分支、自然科学、工程技术以及社会经济相互交叉、渗透，取得了极其丰富的成果，已经成分一些自然科学学科、社会和经济科学学科的坚实的方法论。

关键词：

概率；经典数学；近代数学；经济数学；

Abstract

Basedonmathematicsbranchinrecognitionoftheimportanceofprobabilityandstatistics,thispaperanalysis:

1,probabilitymethodinclassicalmathematicapplication;

2,probabilitymethodinmodernmathematicsapplication;

3,theprobabilitymethodintheapplicationofeconomicmathematics,

Mathematicsbranch,1.Totalfiveclassicalmathematical2.Modernmathematics3.Computermathematics4.Randommathematical5.Economicmathematics.Andprobabilitymethodineverybranchofmathematicsareapplied,visibleprobabilitymethodinmathematicsfieldhowimportanttheyare.Asaresearchrandomnumberofaforeignlawphenomenonofmathematicsbranchofdiscipline,probabilitytheoryhasalonghistory,earlyinthe16thand17thcenturies,thereissomefamousmathematiciandiscussedingamblingdicevariousappearingintheprobabilitycalculationproblem.Subsequently,FrenchscientistsLaplacesetsofforefathersofdacheng,andinprobabilitytheoryintroducedintothemorepowerfulanalyticaltools,provedthesecondlimittheorem,namelytherudimentofcenterlimittheorem,Healsoputforwardfromphilosophyviewofhumanknowledgeintheprobabilitywillbethemaincomponentof"majorviews,greatlyexpandedprobabilityrangeofapplications.Probabilitytheoryandmethodandmathematicalotherbranch,naturalscience,engineeringtechnologyandsocialeconomyoverlapping,seepage,andachievedextremelyabundantachievements,hassomenaturalingredientsinscientificdiscipline,socialandeconomicsciencedisciplinesofsolidmethodology.

Keywords:

probability,Classicalmathematic;Modernmathematics,Economicmathematics,

引言…………………………………………………………………………………

（1）

一、概率方法在经典数学中的应用；……………………………………………

（2）1.1、概率积分法基本原理………………………………………………………

（2）

1.2、概率积分法应用于开采沉陷预计时的误差分析…………………………（3）

1.3、概率积分法的修正…………………………………………………………（4）

1.4、概率积分法参数求取的发展展望…………………………………………（6）

二、概率方法在近代数学中的应用；……………………………………………（6）

2.1、多目标决策；…………………………………………………………………（6）

2.2、等概率法（拉普拉斯决策准则）；……………………………………………（7）

2.3、决策树法（或称概率树决策法）；……………………………………………（8）2.4、蒙特·卡罗方法的应用………………………………………………………（11）

三、概率方法在经济数学中的应用；……………………………………………（14）

3.1、按概率的定义计算…………………………………………………………（15）

3.2、按概率的公式与性质计算…………………………………………………（15）

3.3、由随机变量的概率分布计算………………………………………………（15）

3.4、概率的在股票和盈利中的应用……………………………………………（17）

四、致谢…………………………………………………………………………（24）

五、参考文献……………………………………………………………………（25）

引言

概率论是对随机现象统计规律演绎的研究，由于随机现象的普遍性，使得其具有极其广泛的应用，特别是在科学技术、工农业生产等方面。

随着概率问题研究和应用的日益深入，随机变量独立性研究的重要性亦与日俱增。

独立性是概率统计中最基本的概念之一，无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义．概率论和数理统计已有的成果很多都是在某种独立性的前提下得到的．随机变量独立性的研究因而应在该课程的教学与教研中倍受重视．通过对它的研究可使许多理论问题的讨论和实际问题的概率模型的计算得到简化。

对于随机变量独立性判定的研究，一般思路是从其定义出发，通过定义、概率分布（函数）、密度函数等经典方法来进行，但在实际问题的解决过程中常会碰到困难，有些从定义出发根本无从下手，有些难于求出边缘分布或边缘密度函数。

一般的教材和教辅书对这个课题只是泛泛地叙述了一下。

如魏宗舒的《概率论与数理统计教程》只是简单地描述了它的定义，而没有进行进一步的探讨。

孙荣恒的《应用概率论》也只从整体上论述了一下，而未进行具体深入的探讨。

近年来，关于这方面的著作、文献逐渐多了起来。

在一些文献中，如毛纲源的《概率论与数理统计解题方法技巧归纳》对这方面的研究有了较为全面的论述。

董俊超通过分布矩阵的秩，骈俊生等通过可分离变量概率密度的判别，使随机变量独立性的判定研究有了进一步的发展。

但如何针对不同的类型，找到一个快速化、合理化、普适化的判定方法呢？

如何系统的理解和掌握随机变量独立性的判定方法呢？

本文着重就此进行归纳总结，针对其中存在的若干问题进行讨论，寻找相关的解决办法。

通过查阅中国期刊网近年来有关该课题研究的论文和阅读一般的高校教辅书，并对之进一步的分析、探讨，从而构建了本文的体系。

阜阳师范学院的骈俊生和张德然在1995年6月第2期的《工科数学》中发表的一篇论文《关于二维连续型随机变量独立性的判断》就二维连续型随机变量，给出了两种判断其分量独立性的理论和具体方法，并对其进行了比较。

从而较为容易判定二维连续型随机变量的独立性。

要是能把它推广到维随机变量独立性的判定，那就更具有普遍性了。

这个问题在1998年10月李裕奇、赵刊发表在《西南交通大学学报》上的一篇论文《维随机变量独立性的一个充要条件》上得到了解决。

他们就此给出了维随机变量独立性的一个充要条件，避开了求边缘概率密度函数的繁琐过程，使判定随机变量的独立性的工作变得较为简单。

而本文就变量取值方面进行了探讨，并对上述方法进行了分析、总结，使上述定理方法更简便明了，更容易使读者理解和接受。

第一章、概率方法在经典数学问题中的应用

---------------主要在积分方面的应用

1.1概率积分法基本原理

概率积分法是因其所用的移动和变形预计公式中含有概率积分（或其倒数）而得名。

由于此方法的理论基础是随机介质理论，所以又叫随机介质理论方法[1]随机介质理论首先由波兰学者李特威尼申与50年代引入岩层移动研究，后由我国学者刘宝琛、廖国华等发展为概率积分法【2】。

经过我国开采沉陷工作者不断的研究，目前以成为我国较成熟的、应用最为广泛的预计方法之一。

该方法认为开采引起的岩层和地表移动的规律与作为随机介质的颗粒体介质模型所描述的规律在宏观上相似。

　　概率积分法属于影响函数法,通过对单元开采下沉盆地进行积分即可求取工作面开采地表移动与变形值，参考文献[1]中给出了详细的推导过程。

在计算机实现过程中,可以将工作面剖分成0.1H×0.1H（H为工作面平均采深）的矩形网格进行积分。

具体实现过程可参见文献。

1.2概率积分法应用于开采沉陷预计时的误差分析

　　概率积分法应用于开采沉陷预计主要有两种误差来源，即模型误差和参数误差【3】。

其中，模型误差又分为“第一类模型误差”、“第二类模型误差”和“第三类模型误差”。

概率积分法的理论模型基于随机颗粒介质模型，与真实情况差异较大，在非充分采动极不充分采动时，由于岩层结构对地表沉陷有一定的控制作用，偏离概率积分模型的假设较远，这种由于达不到充分采动而导致的模型误差称为“第一类模型误差”；概率积分法考虑上覆岩层为均质颗粒介质,不涉及具体地质构造，由于具体地质构造而导致的模型误差称为“第二类模型误差”；由于概率积分法本身基础理论的缺陷,在实际应用中还存在一些问题,由于模型本身理论上的缺陷导致的模型误差称为“第三类模型误差”。

这里重点介绍参数误差。

　　概率积分法预计参数[4]包括下沉系数、水平移动系数、主要影响角正切、拐点偏距、影响传播角等。

目前,概率积分法参数获取主要有2种方法:

①通过实测地表移动资料反演预