第12讲三视图.docx

第12讲三视图.docx

《第12讲三视图.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第12讲三视图.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第12讲三视图

第四章三视图

第13讲三视图

一、学习目标

1.了解投影有关的概念及投影规律，能确定与识别物体在太阳光及灯光下的影子特征。

2.会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．

二、基础知识·轻松学

1.平行投影与中心投影的联系与区别

（1）联系与区别

　投影

区别

联系

光线

物体与投影面平行时的投影

平行投影

平行的投射线

全等

都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子

中心投影

从一点发出的投射线

放大

（2）正投影是特殊的平行投影,中心投影不可能是正投影,物体的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关，当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面全等．

【精讲】正投影是在平行投影的条件下研究的，在研究物体的正投影时，我们根据物体与投影面间不同的位置关系投影的变化规律为：

平行于投影面时，投影现原型；倾斜于投影面时，投影形改变；垂直于投影面时，面变线、线变点、点的正投影仍是点.

2.三视图的概念及相互关系

当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图，对同一物体，如果从不同角度观察，所看到的视图可能不同．

物体的三视图是指主视图、俯视图和左视图，主视图反映了物体的长与高，左视图反映了物体的高和宽，俯视图反映了物体的长和宽．即主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高，左视图与俯视图表示同一物体的宽，也就是主视图与俯视图的“长对正”，主视图与左视图的“高平齐”，左视图与俯视图的“宽相等”．

【精讲】关键是注意以下三点：

（1）三视图实际上是一种正投影，当投影光线与投影面垂直时，所形成的投影就是视图．

（2）三视图之间的数量关系决定了几何体体积、侧面积的关系，由各三视图的数量可推测几何体的有关量的大小．由视图计算物体的体积或表面积时一般分两步：

首先根据视图确定物体的形状,然后根据视图的数据来确定物体各边相应的长度进行计算．

（3）三视图是从三个不同方向分别表示物体形状的一种常见视图，通常俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方．它们的对应关系：

主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等．

3.三视图的画法

画一个几何体的三视图，首先要观察物体，在观察时，一定要视线与观察面垂直，先画出视图的外轮廓线，并将边缘、棱、顶点都体现出来，同时看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线，然后按三视图的位置与大小要求从整体上画出几何体的三视图并补充完整．具体画法如下：

（1）确定主视图的位置，画出主视图，主视图反映的是物体的长和高；

（2）在主视图的正下方画出俯视图，俯视图反映物体的长和宽，注意与主视图“长对正”；

（3）在主视图的正右方画出左视图，左视图反映物体的高和宽，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”

三、重难疑点·轻松破

1.识别平行投影与中心投影

判断投影是平行投影还是中心投影的方法：

一是看光源的大小，由点光源形成的投影是中心投影；由面光源形成的投影多属于平行投影．二是看光线是平行还是相交于一点，如果光线是平行的，所得到的影子就是平行投影；如果光线相交于一点，所得到的投影就是中心投影．

例1请指出下列影子中哪些是平行投影，哪些是中心投影？

A．皮影戏中的影子B．白天林荫道上的树影

C．早上跑道上同学们的影子　D．舞厅中霓虹灯形成的影子

答案：

平行投影有B、C，中心投影有A、D．

解析：

皮影戏中的影子是在灯光照射下形成的，所以是中心投影；白天林荫道上的树影是在阳光照射下形成的影子，所以是平行投影；早上跑道上同学们的影子是在阳光照射下形成的影子，故为平行投影；舞厅中霓虹灯形成的影子是在灯光下形成的影子.

点评：

断投影是平行投影还是中心投影的方法：

一是看光源的大小，由点光源形成的投影是中心投影，例如灯光；由面光源形成的投影多属于平行投影，如阳光．二是看光线是平行还是相交于一点，如果光线是平行的，所得到的影子就是平行投影；如果光线相交于一点，所得到的投影就是中心投影．

变式1李刚同学拿一个矩形木框在阳光下摆弄，矩形木框在地面上形成的投影不可能的是（）

2.与投影有关的计算与应用

（1）与平行投影有关的试题，注意光线平行，主要涉及两个方面：

①同一时刻物高与影长成比例．即

；

②在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同．不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：

西

西北

北

东北

东．影长由长变短，再变长。

（2）与中心投影有关的试题，主要涉及两个方面，一是根据影子确定光源，解决这类问题的关键点是找到两处相对应的物体上的点，然后连接这两组点并延长，得到的交点就是光源；另一类是根据相似的知识求影子的长.

（3）解决投影问题时，首先应该根据题意，分清楚是点光源还是平行光源；其次要将投影问题经常转化为三角形问题进行求解．

如果是点光源（常见的如灯泡），其影长、位置不同，所组成的三角形也不同，根据解直角三角形相关知识进行求解；如果是平行光源（如太阳光），其影长与物高成正比例，根据相似知识进行求解．

例2如图，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球，

（1）球在地面上的阴影是什么形状？

（2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？

（3）若白炽灯到球心距离为1米，到地面的距离是3米，球的半径是0.2米，求球在地面上阴影的面积是多少？

解析：

在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，当白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；由图形相似构建比例关系求解阴影的半径和面积．

（1）因为球在灯光的正下方，所以阴影是圆形；

（2）白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小；

（3）设球在地面上阴影的半径为x米，则

，

x=0.2×3=0.6m，则S阴影=0.36π平方米．

点评：

利用中心投影的特点可知在这两组圆形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的阴影的半径，进而借助面积公式求面积，本题也可借助相似图形的面积之比等于相似比的平方求解．

变式2如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m．

（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；

（2）请你计算DE的长．

3.立体图形与三视图

观察几何体时，要正对着几何体，视线要与放置几何体的平面持平，在画视图时，一定要将边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线.

解决三视图问题：

首先应该清楚常见图形的三视图是怎么形成的；其次，对于稍复杂的物体，要能将其简化为几个简单的图形；最后，根据物体的三视图想象还原物体的形状，一般要从三个方向先判断每一个方向上所能判断的物块数量，然后进行叠加组合确定物体的形状．即由俯视图确定物体在平面上的形状，根据左视图、主视图想象出它在空间里的形状，从而确定物体的形状．

（一）根据几何体或实物识别三视图

例4将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是（）

答案：

C

解析：

根据俯视图的定义，从上往下看，它的俯视图是两个圆，可知A不正确，上面杯子的底部较小，叠放的杯口较大，但都能看见，应用实线，可知C正确。

点评：

在画或判断三视图时，一定要注意几何体的边缘、棱、顶点，看得见的轮廓线画成实线，要注意实线与虚线的用法，看不见的轮廓线画成虚线。

同时三视图之间应遵循：

主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等，简称为“主与俯长对正，主与左高平齐，左与俯宽相等”。

变式4如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体．那么其三种视图中面积最小的是（）

A．正视图B．左视图C．俯视图D．三种一样

主视图俯视图左视图

（二）由三视图还原立体图形

例5一个物体的三视图如图，该物体是（）

A.圆柱B.圆锥C.棱锥D.棱柱

答案：

B

解析：

本题中，圆柱的三视图不可能由三角形，正方体的三视图均为正方形，长方体的三视图不可能由圆和三角形，因此只有圆锥符合条件．

点评：

由三个方向看到的平面图形说出立体图形，关键抓住从上面看到的图形（即俯视图），再结合另两个平面图形想象立体图形。

关键是平时要多注意积累常见的几何体的三视图，并进行适当的分类。

如视图可能是圆的有球、圆柱、圆锥等，可能是三角形的有圆锥、棱锥等。

变式5下列四个水平放置的几何体中，三视图如右图所示的是（）

（三）由视图还原立方体的个数

例6如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）

A．3B．4个C．5个D．6个

答案：

B

解析：

由俯视图推出底层正方体的个数，由主视图和左视图推出正方体的层数及列数，由俯视图可知底层有3个正方体，由主视图可知靠左边的正方体有2层，右边的正方体有1层，由左视图可知靠左边的正方体有2层，故可知正方体的个数是4个，即

点评：

一般解题思路是由俯视图确定物体在平面上的形状，根据左视图、主视图想象出正方体的层数和列数，从而确定几何体所含小正方体的个数．也可通过动手操作，根据给出的三视图，利用小正方体堆成几何体，根据实物得到答案.

变式6在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来（如图），则这堆正方体货箱共有（）

A．4箱B．5箱C．6箱D．7箱

（四）画几何体的三视图

例7画出下面立体图的三视图。

解：

画主视图时，其长与高与原立体图的长与高相等，画左视图时，其高与宽与立体图的高与宽相等，画俯视图时，其长与宽与原立体图的长与宽相等，三视图如下：

点评：

画简单的组合立体图形的平面图时，一定要仔细观察图形，根据实物的形状和大小，从要看的方向将几何体压缩到平面上，使几何体在这一方向上没有厚度，同时三视图之间应遵循：

主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等

变式7画出下图所示几何体的三视图．

（五）由视图求解几何体的大小

例8如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（）

A．

B．

C．

D．

答案：

A

解析：

由几何体的三视图可知这个几何体是圆柱，底面直径为4，圆柱高为6，所以圆柱的体积为：

×22×6=24

，所以应选A

点评：

此类题目在各地市中考试卷中，相对出现几率小些，有时是填空或选择，有时是简单解答题形式。

它是视图与几何图形的综合计算题，在“已知视图判断物体形状”的基础上，延伸了一步，但学生也不易失分。

一般在解决此问题时，首先要根据物体视图，确定几何体形状是关键，然后即可根据相应公式或相关知识，进行计算。

变式8长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（）

A．52B．32C．24D．9

主视图俯视图

四、课时作业·轻松练

A.基础题组

1.下列哪种光线形成的投影不是中心投影（　　）

A、探照灯B、太阳C、手电筒D、路灯

2.如图，下列几何体的俯视图是右面所示图形的是（　　）

A、

B、

C、

D、

3.桌子上摆放着若干个碟子，从三个方向上看，三种视图如下，则桌子上共有碟子个.

4.下图是由几个小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体的主视图和左视图．

5.如图所示是两棵小树在一个路灯下的影子．

（1）请画出光线及路灯灯泡的位置；

（2）在适当位置画出电线杆；

（3）若左边树AB的高度是3米，影长是4米，树的根茎B离电线杆的距离是2米，求电线杆的高度．

B.中档题组

6.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少是　　个．

7.如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是cm2

C.挑战题组

8．用若干棱长为1cm的小立方体搭成桌面上的一个几何体模型如图所示，并对裸露在外面部分的几何体模型进行涂色（底面不涂色）

（1）请在（6×6）网格中画出图1这个几何体模型的主视图、左视图与俯视图；

（2）求图1中几何体模型裸露在外面部分涂色的总面积；

（3）若继续用一些棱长为1cm的小立方体往下搭建几何体模型如图2所示，求搭到n层时几何体模型裸露在外面部分涂色的总面积；

五、我的错题本

参考答案

变式练习

变式1D解析：

矩形木框与地面（即投影面）垂直时,其投影是一条线段;当矩形木框与地面平行时,其投影面是一个矩形;当矩形木框与地面斜交到某一角度时,其投影面可能是一个正方形;

变式2解：

（1）根据平行投影的特征及性质可先连接AC，再过点D作DF∥AC交地面与点F，DF就是阳光下的投影如图所示；

（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，

∵△ABC∽△DEF，AB=5m，BC=3m，EF=6m

∴

，∴

，∴DE=10（m）

答：

DE的长为10m．

变式4B解析：

要判断三种视图中面积最小，关键是看正方形的个数的多少．结合物体的三视图可知左视图的方形最少,只有三个,故选B

变式5解析：

根据主视图、左视图、俯视图→立体图形的前面、左面和上面→综合考虑。

从俯视图上看上面大小和形状，不符合图形大小和形状的是选项B和选项C，从主视图上图形前面的高度，不符合图形前面高度的是选项A，故选D

变式6

解析：

把俯视图不动，从主视图可得外面一行正方体个数分别为1,1,2

从左视图可得里面正方体个数为1，如图所示，故正方体的总个

数为5，故选B.

变式7解:

变式8C解析：

由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，因此这个长方体的体积为4×2×3＝24平方单位．

课堂作业

A.基础题组

参考答案

1.B解析：

中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有B选项得到的投影为平行投影．

2.A解析：

由于几何体的俯视图是两圆组成，所以只有圆台才符合要求．

3.12解析：

从俯视图中可知桌上共有三列盆子．主视图左侧有5个，右侧有3个；而左视图左侧有4个，右侧与主视图的左侧盆子相同，则共计有12个盆子．

4.解：

由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为4，2，3，左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3．据此主视图和左视图依次如下图．

5.解：

（1）如图，

（2）EO为电线杆；

（3）∵△ABC∽△OEC，∴

，∵AB=3，BC=4，BE=2，∴x=4.5，∴电线杆的高度为4.5米．

B.中档题组

6.6解析：

综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个．

7.90π解析：

由图可知这个几何体是个圆锥，且它的底面圆的半径是5cm，高12cm，母线长=13cm，它的表面积=侧面积+底面积=π×5×13+π×5×5=90πcm2．

C.挑战题组

8．解：

（1）

（2）

；

（3）

=