《函数的奇偶性与周期性》教案.docx

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《函数的奇偶性与周期性》教案

函数的奇偶性与周期性

适用学科

数学

适用年级

高三

适用区域

新课标

课时时长（分钟）

60

知识点

1.奇偶性的概念

2.奇偶性的判断

3.奇偶性的应用

4.周期性的概念

5.确定函数周期的方法

6.函数周期性的应用

教学目标

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性．

3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

教学重点

函数奇偶性概念和函数奇偶性的判断

教学难点

函数的奇偶性与函数的概念、单调性、周期性、对称性等的综合应用

教学过程

一、课堂导入

我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？

对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？

生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？

若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？

数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数

二、复习预习

1、复习单调性的概念

2、复习初中的轴对称和中心对称

3、预习奇偶性的概念

4、预习奇偶性的应用

三、知识讲解

考点1函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数

关于原点对称

[探究]1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？

它是函数具有奇偶性的什么条件？

提示：

定义域关于原点对称，必要不充分条件．

2．若f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f（0）＝0？

如果是偶函数呢？

提示：

如果f（x）是奇函数时，f（0）＝－f（0），则f（0）＝0；如果f（x）是偶函数时，f（0）不一定为0，如f（x）＝x2＋1.

3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？

若有，有多少个？

提示：

存在，如f（x）＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．

考点2周期性

（1）周期函数：

对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

四、例题精析

【例题1】

【题干】判断下列函数的奇偶性

（1）f（x）＝lg

；

（2）f（x）＝

（3）f（x）＝

.

【解析】

（1）由

>0⇒－1

定义域关于原点对称．

又f（－x）＝lg

＝lg

－1＝－lg

＝－f（x），

故原函数是奇函数．

（2）函数定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，

又当x>0时，f（x）＝x2＋x，则当x<0时，

－x>0，故f（－x）＝x2－x＝f（x）；

当x<0时，f（x）＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x），故原函数是偶函数．

（3）由

得定义域为（－1,0）∪（0,1），关于原点对称，∴f（x）＝

＝－

.

∵f（－x）＝－

＝－

＝f（x），∴f（x）为偶函数．

【例题2】

【题干】

（1）设f（x）为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f（x）＝2x＋2x＋b（b为常数），则f（－1）＝（　　）

A．－3　　　　B．－1　　　　

C．1　　　　D．3

（2）已知函数f（x）在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f（3）

（1），则（　　）

A．f（－1）f（－1）

C．f（－1）

（1）D．f（－3）>f（－5）

【答案】A、A

【解析】

（1）选A　因为f（x）为定义在R上的奇函数，

所以f（0）＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.

所以当x≥0时，f（x）＝2x＋2x－1，所以f（－1）＝－f

（1）＝－（21＋2×1－1）＝－3.

（2）选A　函数f（x）在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f（3）

（1），故此函数在区间[0,5]上是减函数．

由已知条件及奇函数性质，知函数f（x）在区间[－5,5]上是减函数．

选项A中，－3<－1，故f（－3）>f（－1）．

选项B中，0>－1，故f（0）

同理选项C中f（－1）>f

（1），选项D中f（－3）

【例题3】

【题干】

（1）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0,1）时，f（x）＝2x－1，则f

的值为（　　）

A．－

B．－5

C．－

D．－6

（2）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x＋1）＝－f（x），若f（x）在[－1,0]上是减函数，那么f（x）在[1,3]上是（　　）

A．增函数B．减函数

C．先增后减的函数D．先减后增的函数

【答案】

（1）选C

（2）选D

【解析】

（1）选C　∵－3

6<－2，∴－1

6＋2<0，即－1

<0.∵f（x）是周期为2的奇函数，

∴f（log

6）＝f

＝－f

＝－f

＝－

＝－

.

（2）选D　由f（x）在[－1,0]上是减函数，又f（x）是R上的偶函数，所以f（x）在[0,1]上是增函数．

由f（x＋1）＝－f（x），得f（x＋2）＝f[（x＋1）＋1]＝－f（x＋1）＝f（x），故2是函数f（x）的一个周期．

结合以上性质，模拟画出f（x）部分图象的变化趋势，如下图．

由图象可以观察出，f（x）在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．

五、课堂运用

【基础】

1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

A．y＝x＋1　　　　　　　B．y＝－x3

C．y＝

D．y＝x|x|

解析：

选D　由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x≥0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．

则f（4）＝f（4＋0）＝f（0）＝0，f（8）＝f（4＋4）＝f（4）＝0.

2．设偶函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，且f

（2）＝0，则不等式

>0的解集为（　　）

A．（－2,0）∪（2，＋∞）B．（－∞，－2）∪（0,2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－2,0）∪（0,2）

解析：

选B　选B　∵f（x）为偶函数，∴

＝

>0，

∴xf（x）>0，

∴

或

又f（－2）＝f

（2）＝0，f（x）在（0，＋∞）上为减函数，∴x∈（0,2）或x∈（－∞，－2）．

3．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（　　）

A．f（－25）

C．f（11）

解析：

选D　由函数f（x）是奇函数且f（x）在[0,2]上是增函数可以推知f（x）在[－2,2]上递增，又f（x－4）＝－f（x）⇒f（x－8）＝－f（x－4）＝f（x），故函数f（x）以8为周期，f（－25）＝f（－1），f（11）＝f（3）＝－f（3－4）＝f

（1），f（80）＝f（0），故f（－25）

【巩固】

4．若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.

解析：

因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝

.

又函数f（x）＝

x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.

答案：

　0

5．设函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，若f

（1）<1，f

（2）＝

，则a的取值范围是________．

解析：

∵f（x）是奇函数，∴f

（1）＝－f（－1）<1.

∴f（－1）>－1.又∵f（x）的周期为3，∴f（－1）＝f

（2）＝

>－1.即

>0，解得a>0或a<－1.

答案：

（－∞，－1）∪（0，＋∞）

【拔高】

6．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为（　　）

A．6B．7

C．8D．9

解析：

选B　∵f（x）是最小正周期为2的周期函数，

且0≤x<2时，

f（x）＝x3－x＝x（x－1）（x＋1），

∴当0≤x<2时，f（x）＝0有两个根，

即x1＝0，x2＝1.

由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f（x）＝0有两个根，

即x3＝2，x4＝3；

当4≤x＜6时，f（x）＝0有两个根，

即x5＝4，x6＝5，

x7＝6也是f（x）＝0的根．

故函数f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.

7．已知函数f（x）＝x2＋

（x≠0，常数a∈R）．

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数f（x）在x∈[2，＋∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

解：

（1）当a＝0时，f（x）＝x2对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．

故f（x）为偶函数；

当a≠0时，f（x）＝x2＋

（x≠0，常数a∈R），

取x＝±1，得f（－1）＋f

（1）＝2≠0；

f（－1）－f

（1）＝－2a≠0，

即f（－1）≠－f

（1），f（－1）≠f

（1）．

故函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）设2≤x1

＋

－x

－

＝

[x1x2（x1＋x2）－a]，

要使函数f（x）在x∈[2，＋∞）上为增函数，必须f（x1）－f（x2）<0恒成立，

∵x1－x2<0，∴x1x2（x1＋x2）－a>0，

即x1x2（x1＋x2）>a恒成立．

又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2（x1＋x2）>16.

∴a的取值范围是（－∞，16]．

课程小结

1.奇、偶函数的有关性质：

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；

（3）若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则f（0）＝0；

（4）利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关

于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．

2．若函数满足f（x＋T）＝f（x），由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT（n∈Z且n≠0）也是函数的周期．