《函数的奇偶性与周期性》教案.docx

1、函数的奇偶性与周期性 教案函数的奇偶性与周期性适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知 识 点1.奇偶性的概念2.奇偶性的判断3.奇偶性的应用4.周期性的概念5.确定函数周期的方法6.函数周期性的应用教学目标1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性教学重点函数奇偶性概念和函数奇偶性的判断教学难点函数的奇偶性与函数的概念、单调性、周期性、对称性等的综合应用教学过程一、课堂导入我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉

2、呢？生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数二、复习预习1、复习单调性的概念2、复习初中的轴对称和中心对称3、预习奇偶性的概念4、预习奇偶性的应用三、知识讲解考点1 函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称探究 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？

3、它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件 2若f(x)是奇函数且在x0处有定义，是否有f(0)0？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)f(0)，则f(0)0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)x21.3是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个考点2 周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周

4、期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期四、例题精析【例题1】【题干】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)lg ； (2)f(x) (3)f(x) .【解析】(1)由01x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数(3)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称，f(x).f(x)f(x)，f(x)为偶函数【例题2】【题干】(1)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3 B1C1 D3(2)已知函数f(x)在区

5、间5,5上是奇函数，在区间0,5上是单调函数，且f(3)f(1)，则()Af(1)f(1)Cf(1)f(5)【答案】A、A【解析】(1)选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)2020b0，解得 b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.(2)选A函数f(x)在区间0,5上是单调函数，又31，且f(3)f(1)，故此函数在区间0,5上是减函数由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间5,5上是减函数选项A中，3f(1)选项B中，01，故f(0)f(1)，选项D中f(3)f(5).【例题3】【题干】(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以

6、2为周期的周期函数若当x0,1)时，f(x)2x1，则f的值为()A B5 C D6(2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上是减函数，那么f(x)在1,3上是()A增函数 B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数【答案】(1)选C (2)选D【解析】(1)选C3log62，1log620，即1log0的解集为()A(2,0)(2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)解析：选B选Bf(x)为偶函数，0，xf(x)0，或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上为减函数，x(0,2)或x(，2)3已知定义在R上的奇函数f

7、(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11)解析：选D由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)【巩固】4若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a

8、12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.答案：05设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是_解析：f(x)是奇函数，f(1)f(1)1.又f(x)的周期为3，f(1)f(2)1.即0，解得a0或a1.答案：(，1)(0，)【拔高】6已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()A6 B7C8 D9解析：选Bf(x)是最小正周期为2的周期函数，且0x2时，f(x)x3xx(x1)(x1)，当0x2时，f(x)0有两个根，

9、即x10，x21.由周期函数的性质知，当2x4时，f(x)0有两个根，即x32，x43；当4x6时，f(x)0有两个根，即x54，x65，x76也是f(x)0的根故函数f(x)的图象在区间0,6上与x轴交点的个数为7.7已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x2，)上为增函数，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)x2对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)故f(x)为偶函数；当a0时，f(x)x2(x0，常数aR)，取x1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1

10、)故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)设2x1x2，f(x1)f(x2)xx x1x2(x1x2)a，要使函数f(x)在x2，)上为增函数，必须f(x1)f(x2)0恒成立，x1x20，即x1x2(x1x2)a恒成立又x1x24，x1x24，x1x2(x1x2)16.a的取值范围是(，16课程小结1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期