勾股定理知识点梳理教学内容.docx
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勾股定理知识点梳理教学内容
勾股定理知识点梳理
勾股定理知识点梳理
1.直角三角型有哪些特殊的性质;①角，直角三角型的两锐角互余；②边，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：
在Rt△ABC中，
；③面积，两种计算面积的方法。
2.如何判定一个三角形是直角三角形呢？
①有一个内角为直角的三角形是直角三角形；②两个内角互余的三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长为a、b、c满足
，那么这个三角形是直角三角形
3．勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：
勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：
勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4．互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即
中，
，
，
为正整数时，称
，
，
为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如
；
；
；
，8,15,17；9,40,41等
6.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：
，
，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：
，
，化简得证
一．典型例题
类型一：
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6，c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:
写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
类型二：
勾股定理的构造应用
2、如图，已知：
在
中，
，
，
.求：
BC的长.
思路点拨：
由条件
，想到构造含
角的直角三角形，为此作
于D，则有
，
，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
举一反三【变式1】如图，已知：
，
，
于P.求证：
.
【变式2】已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
类型三：
勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了
到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
思路点拨：
解答本题的思路是：
最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得
（提问：
勾股定理）
∴AC＝
＝
＝
≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：
最短路程约为１０．７７cm．
类型四：
利用勾股定理作长为
的线段
5、作长为
、
、
的线段。
思路点拨：
由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于
，直角边为
和1的直角三角形斜边长就是
，类似地可作
。
举一反三【变式】在数轴上表示
的点。
解析：
可以把
看作是直角三角形的斜边，
，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：
如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为
。
类型五：
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：
猫有四只脚．（正确）
2．原命题：
对顶角相等（正确）
3．原命题：
线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：
角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
思路点拨：
掌握原命题与逆命题的关系。
解析：
1.逆命题：
有四只脚的是猫（不正确）
2.逆命题：
相等的角是对顶角（不正确）
3.逆命题：
到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）
4.逆命题：
到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）
总结升华：
本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
总结升华：
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求
四边形ABCD的面积。
【变式2】已知:
△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.
分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:
a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=
AB。
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
经典例题精析
类型一：
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：
4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨：
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
总结升华：
直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：
首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40
解析：
此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
类型二：
勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：
（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100（m），BD＝60（m）,
∴CD＝120（m）。
拖拉机行驶的速度为:
18km/h＝5m/s
t＝120m÷5m/s＝24s。
答：
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
解析：
他们原来走的路为3+4＝7（m）
设走“捷径”的路长为xm，则
故少走的路长为7－5＝2（m）
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。
【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？
平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
类型三：
数学思想方法
（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
思路点拨：
现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．
总结升华：
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题，我们可以了解：
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
（二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
，求
、
、
的值。
思路点拨：
由
，再找出
、
的关系即可求出
和
的值。
总结升华：
在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
举一反三：
【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已
知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
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