学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题解析版.docx
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学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题解析版
2020-2021学年河南省天一大联考高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．过点且斜率为的直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线方程，令可得结论．
【详解】由题意直线方程为，即，令得，
所以直线在轴上截距为．
故选：
B．
2．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由图可知，阴影部分所表示的集合是，根据补集、交集定义即可求出.
【详解】由图可知，阴影部分所表示的集合是，
，,
.
故选：
D.
3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】两个函数是相等函数，需函数的三个要素相同，首先判断函数的定义域，再判断函数的对应关系，若这两点相同，就是相等函数.
【详解】A.两个函数的定义域相同，并且函数，对应关系也相同，所以两个函数是相等函数；
B.函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；
C.函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；
D.函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数的定义域不相同，所以不是相等函数；
故选：
A
4．设点关于原点的对称点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间直角坐标系中的对称性写出坐标，然后计算线段长．
【详解】由题意，∴．
故选：
B．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积．
【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥，如图，底面是边长为1的正方形，底面，
由底面，面，得，又，，平面，所以平面，而平面，所以，
同理，同样由底面得，
所以中点到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，为球直径，
，∴外接球半径为，
表面积为．
故选：
C．
【点睛】关键点点睛：
本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．
6．已知，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性求出范围即可比较.
【详解】，，
，
，
.
故选：
D.
7．在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】证明就是与平面所成的角，求出此角后，利用可得结论，
【详解】∵，，∴，
∵，，，平面，
∴平面，
∴就是与平面所成的角，即与平面所成的角是，
∵棱柱中，∴与平面所成的角的大小为，
故选：
A．
【点睛】思路点睛：
本题考查求直线与平面所成的角，解题方法是定义法，即过直线一点作平面的垂直，得直线在平面上的射影，由直线与其射影的夹角得直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角．解题过程涉及三个步骤：
一作出图形，二证明所作角是直线与平面所成的角，三是计算．
8．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，则可得，解出即可.
【详解】令，其对称轴为，
要使在上是增函数，
则应满足，解得.
故选：
B.
9．若（），则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长．
【详解】∵（），
圆心到直线的距离为，圆半径为，
所以弦长为．
故选：
C．
10．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【答案】A
【分析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解．
【详解】∵函数是幂函数，
∴，解得：
m=-2或m=3．
∵对任意，，且，满足，
∴函数为增函数，
∴，
∴m=3（m=-2舍去）
∴为增函数．
对任意，，且，
则，∴
∴．
故选：
A
【点睛】
（1）由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x前的系数为1；
（2）函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．
11．已知点是曲线上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在平面直角坐标系中作出曲线，这是一个半圆，的几何意义是半圆上的点与定点连线的斜率，由几何意义易得结论．
【详解】曲线是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，表示半圆上的点与定点连线的斜率，
由图，，当时，直线与半圆相切，
∴，即的取值范围是．
故选：
B．
【点睛】方法点睛：
本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：
可以表示动点与定点连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．
12．已知函数若（，，，互不相等），则的取值范围是（注：
函数在上单调递减，在上单调递增）（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出函数的图象，设，由图象的性质 求得，，再利用双勾函数求得，代入可得选项．
【详解】作出函数的图象如下图所示：
设，且，
当时，即，所以，所以，
当时，解得，，所以
设，又函数在上单调递增，
所以，即，
所以，即，
故选：
D．
【点睛】关键点点睛：
本题考查分段函数的函数值相等的问题，解决的关键在运用运用数形结合的思想，作出函数的图象，求得变量的范围．
二、填空题
13．函数的定义域为______.
【答案】．
【分析】求得使函数式有意义的的范围．
【详解】由题意，解得且．
故答案为：
．
14．已知函数，若，则______.
【答案】16或-2
【分析】讨论和两种情况讨论，解方程，求的值.
【详解】当时，，成立，
当时，，成立，
所以或.
故答案为：
或
15．圆与圆的公切线条数是______.
【答案】2
【分析】求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得化切线的条数．
【详解】圆标准方程是，，半径为，
圆标准方程是，，半径为，
又，
∵，∴两圆相交，公切线有2条．
故答案为：
2．
【点睛】结论点睛：
本题考查两圆公切线问题，根据两圆位置关系可得公切线条数：
相离：
4条；外切：
3条；相交：
2条；内切：
1条；内含：
无公切线．
16．已知函数，若（且），则的取值范围为______.
【答案】
【分析】分析出函数为偶函数，且在上单调递增，由可得出，可得出且，利用对数函数的单调性解此不等式即可得解.
【详解】函数的定义域为，
，即函数为偶函数，
当时，函数单调递增，函数单调递减，
所以，函数在上单调递增，
由可得，则，即，
可得，所以，，解得且.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
三、解答题
17．设集合，，.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）.
【分析】
（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性，化简集合A,B，再利用集合的交集运算求解.
（2）根据，则CA，然后分和两种情况讨论求解.
【详解】
（1）因为集合，，
所以；
（2）因为，则CA，
当时，，解得，
当时，则，解得，
综上：
实数的取值范围是.
18．已知直线经过两直线，的交点，且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）若第一象限内的点到轴的距离为2，到直线的距离为，求的值.
【答案】
（1）；
（2）7．
【分析】
（1）求出交点坐标，再由垂直得斜率（可设出直线方程），从而得直线方程；
（2）由点到直线距离公式列出关于的方程解之可得．
【详解】
（1）由，解得，即两直线交点为，
由与直线垂直，则，
∴方程为，即；
（2）∵第一象限内的点到轴的距离为2，所以，，
又到直线的距离为，所以，（∵），
∴．
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点是棱的中点.
（1）求证：
平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）．
【分析】
（1）连接交于点，由中位线定理得，从而得证线面平行；
（2）由是中点，得，求出三棱锥的体积后可得．
【详解】
（1）如图，连接交于点，连接，则是中点，又是中点，
∴，又平面，平面，
所以平面；
（2）由已知，，
又是中点，所以，
所以．
【点睛】思路点睛：
本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论．
20．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：
当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出万元，则奖励万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为万元，年销售利润为万元.
（1）写出关于的函数解析式；
（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？
【答案】
（1）；
（2）131
【分析】
（1）根据题意分别求出和时的解析式即可；
（2）可判断，利用
（1）中解析式即可求出.
【详解】
（1）由题可得当，，
当时，，
；
（2），，
则，解得，
所以他的年销售利润是131万元.
21．如图，在长方体中，底面是正方形，，为的中点.
（1）证明：
平面；
（2）证明：
平面平面；
（3）求二面角的大小.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）设，由，得证线面平行；
（2）证明平面，可得证面面垂直；
（3）证明是二面角的平面角，求出此角即可．
【详解】
（1）证明：
设，连接，则是中点，又是中点，
∴，又平面，平面，
∴平面．
（2）平面，平面，∴，同理，又正方形中，
，平面，
∴平面，又∵平面，
∴平面平面；
（3）∵平面，平面，∴，
∴是二面角的平面角，
由已知，而，分别是中点，
∴，∴．
即二面角的大小为．
【点睛】关键点点睛：
本题考查证明线面平行，面面垂直，考查求二面角的大小．解题关键是掌握证明线面平行，面面垂直的判定定理，证明时需要满足定理的所有条件，一个都不能少地列举出来才能得出结论，否则证明过程不完整．而求二面角，只要作出二面角的平面角（并证明），然后解三角形即可．
22．已知圆.
（1）若过点的直线与圆相切，求直线的斜率；
（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，若，求最小时点的坐标.
【答案】
（1）；
（2）．
【分析】
（1）切线斜率存在，设切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径求得值得切线方程；
（2）设，由已知求出点轨迹方程，得轨迹是直线，要使最小，则只要最小，因此只要有与轨迹直线垂直即可，由此可求得点坐标．
【详解】
（1）圆标准方程是，圆心为，半径为，
过所作圆的切线斜率存在，设切线方程为，即，
所以，解得，
（2）设，则由得．，化简得：
，此即为点的轨迹方程，轨迹是直线．
要使得最小，则只要最小即可，所以，
设，则，解得．即．
【点睛】关键点点睛：
本题考查直线与圆相切问题，考查切线长最短问题．直线与圆相切的一般解法是圆心到切线的距离等于圆的半径，只要
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