小学数学小学六年级数学应用题分类答案及详解.docx
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小学数学小学六年级数学应用题分类答案及详解
小学六年级数学应用题分类(答案及详解)
公约公倍问题
需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。
【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。
【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数;再求出答案。
最大公约数和最小公倍数的求法;最常用的是“短除法”。
例1、一张硬纸板长60厘米;宽56厘米;现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形;不许有剩余。
问正方形的边长是多少?
解:
硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。
60和56的最大公约数是4。
答:
正方形的边长是4厘米。
例2、甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶;甲车行一周要36分钟;乙车行一周要30分钟;丙车行一周要48分钟;三辆汽车同时从同一个起点出发;问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇?
解:
要求多少时间才能在同一起点相遇;这个时间必定同时是36、30、48的倍数。
因为问至少要多少时间;所以应是36、30、48的最小公倍数。
36、30、48的最小公倍数是720。
答:
至少要720分钟(即12小时)这三辆汽车才能同时又在起点相遇。
例3、一个四边形广场;边长分别为60米;72米;96米;84米;现要在四角和四边植树;若四边上每两棵树间距相等;至少要植多少棵树?
解:
相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数;要使植树的棵数尽量少;须使相邻两树的间距尽量大;那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。
所以;至少应植树(60+72+96+84)÷12=26(棵)
答:
至少要植26棵树。
例4、一盒围棋子;4个4个地数多1个;5个5个地数多1个;6个6个地数还多1个。
又知棋子总数在150到200之间;求棋子总数。
解:
如果从总数中取出1个;余下的总数便是4、5、6的公倍数。
因为4、5、6的最小公倍数是60;又知棋子总数在150到200之间;所以这个总数为
60×3+1=181(个)
答:
棋子的总数是181个。
行船问题
行船问题也就是与航行有关的问题。
解答这类问题要弄清船速与水速;船速是船只本身航行的速度;也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度;船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
【数量关系】
(顺水速度+逆水速度)÷2=船速
(顺水速度-逆水速度)÷2=水速
顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2
逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2
【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例1、一只船顺水行320千米需用8小时;水流速度为每小时15千米;这只船逆水行这段路程需用几小时?
解:
由条件知;顺水速=船速+水速=320÷8;而水速为每小时15千米;所以;船速为每小时320÷8-15=25(千米)
船的逆水速为25-15=10(千米)
船逆水行这段路程的时间为320÷10=32(小时)
答:
这只船逆水行这段路程需用32小时。
例2、甲船逆水行360千米需18小时;返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时;返回原地需多少时间?
解:
由题意得甲船速+水速=360÷10=36
甲船速-水速=360÷18=20
可见(36-20)相当于水速的2倍;
所以;水速为每小时(36-20)÷2=8(千米)
又因为;乙船速-水速=360÷15;
所以;乙船速为360÷15+8=32(千米)
乙船顺水速为32+8=40(千米)
所以;乙船顺水航行360千米需要
360÷40=9(小时)
答:
乙船返回原地需要9小时。
例3、一架飞机飞行在两个城市之间;飞机的速度是每小时576千米;风速为每小时24千米;飞机逆风飞行3小时到达;顺风飞回需要几小时?
解:
这道题可以按照流水问题来解答。
(1)两城相距多少千米?
(576-24)×3=1656(千米)
(2)顺风飞回需要多少小时?
1656÷(576+24)=2。
76(小时)
列成综合算式[(576-24)×3]÷(576+24)=2.76(小时)
答:
飞机顺风飞回需要2.76小时。
工程问题
工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
这类问题在已知条件中;常常不给出工作量的具体数量;只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等;在解题时;常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”;这样;工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几);进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1、一项工程;甲队单独做需要10天完成;乙队单独做需要15天完成;现在两队合作;需要几天完成?
解:
题中的“一项工程”是工作总量;由于没有给出这项工程的具体数量;因此;把此项工程看作单位“1”。
由于甲队独做需10天完成;那么每天完成这项工程的1/10;
乙队单独做需15天完成;每天完成这项工程的1/15;
两队合做;每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式:
1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)
答:
两队合做需要6天完成。
例2、一批零件;甲独做6小时完成;乙独做8小时完成。
现在两人合做;完成任务时甲比乙多做24个;求这批零件共有多少个?
解:
设总工作量为1;则甲每小时完成1/6;乙每小时完成1/8;甲比乙每小时多完成(1/6-1/8);二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。
因为二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小时;这个时间内;甲比乙多做24个零件;所以
(1)每小时甲比乙多做多少零件?
24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(个)
(2)这批零件共有多少个?
7÷(1/6-1/8)=168(个)
答:
这批零件共有168个。
解二:
上面这道题还可以用另一种方法计算:
两人合做;完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3
由此可知;甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7
所以;这批零件共有24÷1/7=168(个)
例3、一件工作;甲独做12小时完成;乙独做10小时完成;丙独做15小时完成。
现在甲先做2小时;余下的由乙丙二人合做;还需几小时才能完成?
解:
必须先求出各人每小时的工作效率。
如果能把效率用整数表示;就会给计算带来方便;因此;我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数;例如最小公倍数60;则甲乙丙三人的工作效率分别是
60÷12=560÷10=660÷15=4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
(60-5×2)÷(6+4)=5(小时)
答:
还需要5小时才能完成。
例4、一个水池;底部装有一个常开的排水管;上部装有若干个同样粗细的进水管。
当打开4个进水管时;需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时;需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满;至少要打开多少个进水管?
解:
注(排)水问题是一类特殊的工程问题。
往水池注水或从水池排水相当于一项工程;水的流量就是工作量;单位时间内水的流量就是工作效率。
要2小时内将水池注满;即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。
为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。
只要设某一个量为单位1;其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为1;则4个进水管5小时注水量为(1×4×5);2个进水管15小时注水量为(1×2×15);从而可知
每小时的排水量为(1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。
由此可知
一池水的总工作量为1×4×5-1×5=15
又因为在2小时内;每个进水管的注水量为1×2;
所以;2小时内注满一池水
至少需要多少个进水管?
(15+1×2)÷(1×2)=8。
5≈9(个)
答:
至少需要9个进水管。
正反比例问题
两种相关联的量;一种量变化;另一种量也随着变化;如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定);那么这两种量就叫做成正比例的量;它们的关系叫做正比例关系。
正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。
两种相关联的量;一种量变化;另一种量也随着变化;如果这两种量中相对应的两个数的积一定;这两种量就叫做成反比例的量;它们的关系叫做反比例关系。
反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。
【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。
许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决;而且比较简捷。
【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是:
把分率(倍数)转化为比;应用比和比例的性质去解应用题。
正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。
例1、修一条公路;已修的是未修的1/3;再修300米后;已修的变成未修的1/2;求这条公路总长是多少米?
解:
由条件知;公路总长不变。
原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比较以上两式可知;把总长度当作12份;则300米相当于(4-3)份;从而知公路总长为300÷(4-3)×12=3600(米)
答:
这条公路总长3600米。
例2、张晗做4道应用题用了28分钟;照这样计算;91分钟可以做几道应用题?
解:
做题效率一定;做题数量与做题时间成正比例关系
设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X
28X=91×4X=91×4÷28X=13
答:
91分钟可以做13道应用题。
例3、孙亮看《十万个为什么》这本书;每天看24页;15天看完;如果每天看36页;几天就可以看完?
解:
书的页数一定;每天看的页数与需要的天数成反比例关系
设X天可以看完;就有24∶36=X∶15
36X=24×15X=10
答:
10天就可以看完。
按比例分配问题
所谓按比例分配;就是把一个数按照一定的比分成若干份。
这类题的已知条件一般有两种形式:
一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数;另一种是直接给出份数。
【数量关系】从条件看;已知总量和几个部分量的比;从问题看;求几个部分量各是多少。
总份数=比的前后项之和
【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几;把比的前后项相加求出总份数;再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母;比的前后项分别作分子);再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法;分别求出各部分量的值。
例1、学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班;已知一班有47人;二班有48人;三班有45人;三个班各植树多少棵?
解:
总份数为47+48+45=140
一班植树560×47/140=188(棵)
二班植树560×48/140=192(棵)
三班植树560×45/140=180(棵)
答:
一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例2、用60厘米长的铁丝围成一个三角形;三角形三条边的比是3∶4∶5。
三条边的长各是多少厘米?
解:
3+4+5=1260×3/12=15(厘米)
60×4/12=20(厘米)
60×5/12=25(厘米)
答:
三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
例3、从前有个牧民;临死前留下遗言;要把17只羊分给三个儿子;大儿子分总数的1/2;二儿子分总数的1/3;三儿子分总数的1/9;并规定不许把羊宰割分;求三个儿子各分多少只羊。
解:
如果用总数乘以分率的方法解答;显然得不到符合题意的整数解。
如果用按比例分配的方法解;则很容易得到
1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2
9+6+2=1717×9/17=9
17×6/17=617×2/17=2
答:
大儿子分得9只羊;二儿子分得6只羊;三儿子分得2只羊。
方阵问题
将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵);根据已知条件求总人数或总物数;这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
(1)方阵每边人数与四周人数的关系:
四周人数=(每边人数-1)×4
每边人数=四周人数÷4+1
(2)方阵总人数的求法:
实心方阵:
总人数=每边人数×每边人数
空心方阵:
总人数=(外边人数)?
-(内边人数)?
内边人数=外边人数-层数×2
(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算;则:
总人数=(每边人数-层数)×层数×4
【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多;其解答方法应根据具体情况确定。
例1、在育才小学的运动会上;进行体操表演的同学排成方阵;每行22人;参加体操表演的同学一共有多少人?
解:
22×22=484(人)
答:
参加体操表演的同学一共有484人。
例2、有一个3层中空方阵;最外边一层有10人;求全方阵的人数。
解:
10-(10-3×2)=84(人)
答:
全方阵84人。
例3、有一队学生;排成一个中空方阵;最外层人数是52人;最内层人数是28人;这队学生共多少人?
解:
(1)中空方阵外层每边人数=52÷4+1=14(人)
(2)中空方阵内层每边人数=28÷4-1=6(人)
(3)中空方阵的总人数=14×14-6×6=160(人)
答:
这队学生共160人。
例4、一堆棋子;排列成正方形;多余4棋子;若正方形纵横两个方向各增加一层;则缺少9只棋子;问有棋子多少个?
解:
(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)
(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)÷2=7(只)
(3)原有棋子数=7×7-9=40(只)
答:
棋子有40只。
例5、有一个三角形树林;顶点上有1棵树;以下每排的树都比前一排多1棵;最下面一排有5棵树。
这个树林一共有多少棵树?
解:
第一种方法:
1+2+3+4+5=15(棵)
第二种方法:
(5+1)×5÷2=15(棵)
答:
这个三角形树林一共有15棵树。
追及问题
两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发;或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动;在后面的;行进速度要快些;在前面的;行进速度较慢些;在一定时间之内;后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】
追及时间=追及路程÷(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)×追及时间
【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式;复杂的题目变通后利用公式。
例1、好马每天走120千米;劣马每天走75千米;劣马先走12天;好马几天能追上劣马?
解:
(1)劣马先走12天能走多少千米?
75×12=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?
900÷(120-75)=20(天)
列成综合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)
答:
好马20天能追上劣马。
例2、小明和小亮在200米环形跑道上跑步;小明跑一圈用40秒;他们从同一地点同时出发;同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米;求小亮的速度是每秒多少米。
解:
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈;即200米;此时小亮跑了(500-200)米;要知小亮的速度;须知追及时间;即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒;则跑500米用[40×(500÷200)]秒;
所以小亮的速度是(500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3(米)
答:
小亮的速度是每秒3米。
例3、我人民解放军追击一股逃窜的敌人;敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑;解放军在晚上22点接到命令;以每小时30千米的速度开始从乙地追击。
已知甲乙两地相距60千米;问解放军几个小时可以追上敌人?
解:
敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时;这段时间敌人逃跑的路程是[10×(22-6)]千米;甲乙两地相距60千米。
由此推知
追及时间=[10×(22-6)+60]÷(30-10)=220÷20=11(小时)
答:
解放军在11小时后可以追上敌人。
例4、一辆客车从甲站开往乙站;每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站;每小时行40千米;两车在距两站中点16千米处相遇;求甲乙两站的距离。
解:
这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。
从题中可知客车落后于货车(16×2)千米;客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间;
这个时间为16×2÷(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为(48+40)×4=352(千米)
列成综合算式(48+40)×[16×2÷(48-40)]=88×4=352(千米)
答:
甲乙两站的距离是352千米。
例5、兄妹二人同时由家上学;哥哥每分钟走90米;妹妹每分钟走60米。
哥哥到校门口时发现忘记带课本;立即沿原路回家去取;行至离校180米处和妹妹相遇。
问他们家离学校有多远?
解:
要求距离;速度已知;所以关键是求出相遇时间。
从题中可知;在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×2)米;这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60)米;
那么;二人从家出走到相遇所用时间为180×2÷(90-60)=12(分钟)
家离学校的距离为90×12-180=900(米)
答:
家离学校有900米远。
例6、孙亮打算上课前5分钟到学校;他以每小时4千米的速度从家步行去学校;当他走了1千米时;发现手表慢了10分钟;因此立即跑步前进;到学校恰好准时上课。
后来算了一下;如果孙亮从家一开始就跑步;可比原来步行早9分钟到学校。
求孙亮跑步的速度。
解:
手表慢了10分钟;就等于晚出发10分钟;如果按原速走下去;就要迟到(10-5)分钟;后段路程跑步恰准时到学校;说明后段路程跑比走少用了(10-5)分钟。
如果从家一开始就跑步;可比步行少9分钟;由此可知;行1千米;跑步比步行少用[9-(10-5)]分钟。
所以步行1千米所用时间为1÷[9-(10-5)]=0.25(小时)=15(分钟)
跑步1千米所用时间为15-[9-(10-5)]=11(分钟)
跑步速度为每小时1÷11/60=5.5(千米)
答:
孙亮跑步速度为每小时5.5千米。
倍比问题
有两个已知的同类量;其中一个量是另一个量的若干倍;解题时先求出这个倍数;再用倍比的方法算出要求的数;这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】
总量÷一个数量=倍数
另一个数量×倍数=另一总量
【解题思路和方法】先求出倍数;再用倍比关系求出要求的数。
例1、100千克油菜籽可以榨油40千克;现在有油菜籽3700千克;可以榨油多少?
解:
(1)3700千克是100千克的多少倍?
3700÷100=37(倍)
(2)可以榨油多少千克?
40×37=1480(千克)
列成综合算式40×(3700÷100)=1480(千克)
答:
可以榨油1480千克。
例2、今年植树节这天;某小学300名师生共植树400棵;照这样计算;全县48000名师生共植树多少棵?
解:
(1)48000名是300名的多少倍?
48000÷300=160(倍)
(2)共植树多少棵?
400×160=64000(棵)
列成综合算式400×(48000÷300)=64000(棵)
答:
全县48000名师生共植树64000棵。
例3、凤翔县今年苹果大丰收;田家庄一户人家4亩果园收入11111元;照这样计算;全乡800亩果园共收入多少元?
全县16000亩果园共收入多少元?
解:
(1)800亩是4亩的几倍?
800÷4=200(倍)
(2)800亩收入多少元?
11111×200=2222200(元)
(3)16000亩是800亩的几倍?
16000÷800=20(倍)
(4)16000亩收入多少元?
2222200×20=44444000(元)
答:
全乡800亩果园共收入2222200元;全县16000亩果园共收入44444000元。
溶液浓度问题
在生产和生活中;我们经常会遇到溶液浓度问题。
这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。
例如;水是一种溶剂;被溶解的东西叫溶质;溶解后的混合物叫溶液。
溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度;也叫百分比浓度。
【数量关系】
溶液=溶剂+溶质
浓度=溶质÷溶液×100%
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式;复杂的题目变通后再利用公式。
例1、爷爷有16%的糖水50克;
(1)要把它稀释成10%的糖水;需加水多少克?
(2)若要把它变成30%的糖水;需加糖多少克?
解:
(1)需要加水多少克?
50×16%÷10%-50=30(克)
(2)需要加糖多少克?
50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克)
答:
(1)需要加水30克;
(2)需要加糖10克。
例2、要把30%的糖水与15%的糖水混合;配成25%的糖水600克;需要30%和15%的糖水各多少克?
解:
假设全用30%的糖水溶液;那么含糖量就会多出
600×(30%-25%)=30(克)
这是因为30%的糖水多用了。
于是;我们设想在保证总重量600克不变的情况下;用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。
这样;每“换掉”100克;就会减少糖100×(30%-15%)=15(克)所以需要“换掉”30%的溶液(即“换上”15%的溶液)100×(30÷15)=200(克)
由此可知;需要15%的溶液200克。
需要30%的溶液600-200=400(克)
答:
需要15%的糖水溶液200克;需要30%的糖水400克。
最值问题
科学的发展观认为;国民经济的发展既要讲求效率;又要节约能源;要少花钱多办事;办好事;以最小的代价取得最大的效益。
这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】按照题目的要求;求出最大值或最小值。
例1、在火炉上烤饼;饼的两面都要烤;每烤一面需要3分钟;炉上只能同时放两块饼;现在需要烤三块饼;最少需要多少分钟?
解:
先将两块饼同时放上烤;3分钟后都熟了一面;这时将第一块饼取出;放入第三块饼;翻过第二块饼。
再过3分钟取出熟了的第二块饼;翻过第三块饼;又放入第一块饼烤另一面;再烤3分钟即可。
这样做;用的时间最少;为9分钟。
答:
最少需要9分钟。
例2、在一条公路上有五个卸煤场;每相邻两个之间的距离都是10千米;已知1号煤场存煤100吨;2号煤场存煤200吨;5号煤场存煤400吨;其余两个煤场是空的。
现在要把所有的煤集中到一个煤场里;每吨煤运1千米花费1元;集中到几号煤场花费最少?
解:
我们采用尝试比较的方法来解答。