河北省届中考数学一轮复习讲义1第一节多边形.docx

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河北省届中考数学一轮复习讲义1第一节多边形

第五章四边形

第一节多边形

基础过关

1.（2019河北省二模）下列图形中，内角和与外角和相等的多边形是（）

2.（2019甘肃省卷）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）

A.180°　　B.360°　　C.540°　　D.720°

第2题图

3.（2019福建）已知正多边形的一个外角等于36°，则该正多边形的边数为（）

A.12B.10C.8D.6

4.（2019河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2

，则它的边长是（）

A.1B.

C.

D.2

第4题图

5.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（）

A.60°B.65°C.55°D.50°

第5题图

6.（2019石家庄新华区质量检测）如图，将正五边形ABCDE沿逆时针方向绕其顶点A旋转，若使点B落在AE边所在的直线上，则旋转的角度可以是（）

A.72°B.54°C.45°D.36°

第6题图

7.（2019保定高阳县演练）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB＝（）

A.36°B.72°C.108°D.144°

第7题图

8.正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等，初始位置如图所示．将正方形绕点F顺时针旋转使得BC与FG重合，再将正方形绕点G顺时针旋转使得CD与GH重合，…，按这样的方式将正方形依次绕点H，M，E旋转后，正方形中与EF重合的边是（）

A.ABB.BCC.CDD.DA

第8题图

9.（2019廊坊安次区二模）把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）

A.141°B.144°C.147°D.150°

第9题图

10.（2018廊坊三中一模）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（）

A.17B.16

C.15D.15或16或17

11.如图，线段AB是正八边形的一边，在正八边形的外部以AB为边作正六边形，点C、D分别为正八边形与正六边形的中心，则∠CAD的度数为（）

A.120°B.125°C.127.5°D.130°

第11题图

12.（2019河北中考说明）在地面上，某一点周围有a个正三角形、b个正十二边形（a，b均不为0）恰能铺满地面，则a＋b＝______．

13.（2019宜宾）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，AD∥BC，则∠DAB＝________°.

第13题图

14.（2019株洲）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝______度．

第14题图

15.（2019石家庄十八县联考二）如图，含30°角的直角三角板的直角边AC，BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中∠1＋∠2＝________.

第15题图

16.（人教九上P108习题24.3T5改编）如图，要拧开一个边长a＝12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少为________mm.

第16题图

17.（2019徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠OAD＝________°.

第17题图

18.如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则α＝________°.

第18题图

能力提升

1.（2019邢台二模）如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN的周长为（）

A.6B.6

C.6

D.9

第1题图

2.如图，正六边形ABCDEF的边长为3，点P是边BC上任意一点，过点P作PM∥AB交AF于点M，作PN∥CD交DE于点N，则PM＋PN＝（）

A.6B.9C.12D.无法确定

第2题图

满分冲关

1.（2019河北中考说明）如图，点M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝________°.

第1题图

2.（2019石家庄长安区质量检测）如图，将边长为2的正五边形ABCDE沿对角线BE折叠，使点A落在正五边形内部的点A′处，则B，A′和D三点______同一条直线上（填“在”或者“不在”）；点A′和D之间的距离是________．

第2题图

3.（2019河北省二模）已知正多边形每个内角比相邻外角大60°.

（1）求这个正多边形的边数；

（2）求这个正多边形的内切圆与外接圆的半径之比；

（3）将这个正多边形对折，并完全重合，求所得图形的内角和（按一层计算）．

参考答案

第一节多边形

基础过关

1.B　【解析】设多边形的边数是n，则（n－2）·180°＝360°，解得n＝4，故选B.

2.C　【解析】根据多边形的内角和公式，正五边形的内角和为180°×（5－2）＝540°，故选C.

3.B　【解析】n＝

＝10，故选B.

4.D　【解析】如解图，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，∵多边形ABCDEF为正六边形，∴AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ABH＝60°，AH＝CH＝

AC＝

.在Rt△ABH中，AB＝

＝

＝2.

第4题解图

5.A　【解析】由多边形内角和公式（n－2）×180°可得五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°，∵∠A＋∠B＋∠E＝300°，∴∠EDC＋∠BCD＝240°，∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC＋∠PCD＝

（∠EDC＋∠BCD）＝120°，∴∠P＝60°.

6.A　【解析】如解图所示，易得正五边形的内角和为540°.在正五边形ABCDE中，∠BAE＝

＝108°，∴∠BAF＝180°－108°＝72°，即若使点B落在AE边所在的直线上，则旋转的角度可以是72°.

第6题解图

7.C　【解析】如解图，∵正五边形的每个外角是360°÷5＝72°，∴∠OCD＝∠ODC＝72°，∴∠COD＝36°，又∵正五边形每个内角是108°，∴∠AOB＝360°－108°－108°－36°＝108°.

第7题解图

8.B　【解析】∵正方形ABCD与正五边形EFGHM的边长相等，∴从BC与FG重合开始，正方形ABCD的各边依次与正五边形EFGHM的各边重合，而与EF重合是正方形的边与正五边形的边第五次重合，∴正方形中与EF重合的边是BC.

9.B　【解析】如解图，过点G作直线MN⊥CD于点N，由正多边形的轴对称性可知∠LGN＝

∠HGL＝108°÷2＝54°，∴∠PGM＝∠NGL＝54°，∵由正六边形的性质知AF∥CD，MN⊥CD，∴MN⊥AF，即∠PMG＝90°，∴∠APG＝90°＋54°＝144°.

第9题解图

10.D　【解析】多边形的内角和可以表示成（n－2）·180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据（n－2）·180°＝2520°，解得n＝16，则原多边形的边数是15或16或17.

11.C　【解析】∵∠CAB＝

×

＝67.5°，∠DAB＝

×

＝60°，

∴∠CAD＝∠CAB＋∠DAB

＝67.5°＋60°＝127.5°.

12.3

13.60　【解析】六边形的内角和为180°×（6－2）＝720°，∴∠B＝

＝120°.∵AD∥BC，∴∠DAB＝180°－∠B＝180°－120°＝60°.14.66　【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝（5－2）×180°÷5＝108°.∵AP是∠EAB的平分线，∴∠PAB＝

∠EAB＝54°.∵∠ABP＝60°，∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝66°.

15.180°　【解析】∵正八边形的每个内角为

＝135°，三角形为直角三角形，∴∠1＋∠2＝2×135°－90°＝180°.

16.12

　【解析】如解图，设正六边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB＝12mm，∠AOB＝60°，且cos∠BAC＝

，∴AM＝12×

＝6

mm，∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，∴AM＝MC＝

AC，∴AC＝2AM＝12

mm.

第16题解图

17.30　【解析】如解图，连接OB，OC，∵在正多边形中，中心角与多边形的外角相等，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝40°.∴∠AOD＝120°.又∵OA＝OD，∴在△AOD中，∠OAD＝∠ODA＝（180°－120°）÷2＝30°.

第17题解图

18.54　【解析】如解图，设DE与B′C′相交于O点，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠B＝∠BAE＝∠E＝

＝108°，∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），∴∠BAB′＝α，∠B′＝∠B＝108°，∵DE⊥B′C′，∴∠B′OE＝90°，∴∠B′AE＝360°－∠B′－∠E－∠B′OE＝360°－108°－108°－90°＝54°，∴∠BAB′＝∠BAE－∠B′AE＝108°－54°＝54°，∴α＝54°.

第18题解图

能力提升

1.D　【解析】如解图所示，延长FA、CB交于点K.在正六边形ABCDEF中，∠FAB＝∠CBA＝120°.∴∠KAB＝∠KBA＝60°.∴△KAB是等边三角形．∴∠K＝60°.∵M、N分别为FA、BC的中点，∴AM＝BN＝1.又∵AK＝BK，∴MK＝NK.又∵∠K＝60°，∴△KMN是等边三角形，∴∠AMN＝60°.过点A作AG⊥MN，过点B作BH⊥MN，垂足分别为G、H.∴∠MAG＝30°.∴MG＝

AM＝

.同理得HN＝

.∵∠MAB＝120°，∠MAG＝30°，∴∠GAB＝∠AGH＝∠BHG＝90°.∴四边形ABHG是矩形．∴GH＝AB＝2.∴MN＝MG＋GH＋HN＝

＋2＋

＝3.∴△PMN的周长为3MN＝9.

第1题解图

2．B　【解析】如解图，连接AD交PM于点G，交PN于点H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB＝∠ABP＝∠BCD＝∠CDE＝120°，AB＝BC＝CD.∴∠BAD＝∠FAD＝∠CDA＝∠EDA＝60°.∴∠BAD＋∠ABC＝180°.∴AD∥BC.∵PM∥AB，∴四边形ABPG是平行四边形．∴AG＝BP，PG＝AB，∠MGA＝∠GPB＝∠BAG＝60°.∴△MAG是等边三角形，∴MG＝AG.同理得四边形PCDH是平行四边形，PH＝CD，PC＝HD，△HND是等边三角形，NH＝HD.∴MG＋HN＝BP＋PC＝BC＝AB，∴PM＋PN＝PG＋PH＋MG＋HN＝3AB＝9.

第2题解图

满分冲关

1.45　【解析】如解图，连接OA、OB、OC，∵正八边形是中心对称图形，∴中心角为360°÷8＝45°.∴∠OAM＝∠OBN＝

＝67.5°.在△OAM和△OBN中，

∴△OAM≌△OBN（SAS）．∴∠AOM＝∠BON.∴∠MOB＝∠NOC.∵∠AOC＝∠AOM＋∠MOB＋∠BON＋∠NOC＝90°，∴∠MON＝∠MOB＋∠NOB＝

（∠AOM＋∠MOB＋∠NOB＋∠NOC）＝

∠AOC＝45°.

第1题解图

2.在；

－1　【解析】∵在△AEB中，AE＝AB，∠EAB＝

＝108°，∴∠AEB＝∠ABE＝36°.由折叠的性质可知∠BEA′＝∠EBA′＝36°.∴∠DEA′＝108°－∠AEB－∠A′EB＝36°.∵∠EA′B＝∠A＝108°，AE＝A′E＝DE，∴∠EA′D＝

＝72°，∵∠EA′D＋∠EA′B＝72°＋108°＝180°，∴B、A′、D三点共线．设A′D＝x，∵∠EDA′＝∠BDE，∠DEA′＝∠DBE＝36°，∴△DEA′∽△DBE.∴

＝

.即

＝

，解得x＝

－1（负值舍去）．∴点A′和D之间的距离是

－1.

3.解：

（1）设这个正多边形的每个外角的度数为x，则每个内角为x＋60°，

∴x＋x＋60°＝180°.

∴x＝60°.

∴这个正多边形的边数＝360°÷60°＝6.

故这个正多边形的边数是6；

（2）如解图①，r为内切圆半径，正多边形的边长为a，∴外接圆的半径为a.

∴r＝

＝

.

∴

＝

.

∴这个正多边形的内切圆和外接圆的半径之比为

∶2；

第3题解图①

（3）如解图②，当沿过两个端点的对称轴所在的直线折叠时，得到的图形是四边形，内角和是（4－2）×180°＝360°；

如解图③，当沿对边中点所在的直线折叠时，得到的图形是五边形，内角和是（5－2）×180°＝540°.

第3题解图