初一数学讲义第1部分有理数.docx

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初一数学讲义第1部分有理数

一．从整数到分数

（一）整数

Ⅰ、整数的概念

1、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10……这些数是整数，我们最先学的数就是它们，大概因为这是很自然的事情，把这些数称为自然数。

自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。

想一想：

0一定代表没有吗？

如果不是，请举几例：

__________________________________

2、自然数的意义

（1）基数：

用来表示事物_______的自然数叫做基数。

这时，1表示______,5表示________,0表示_________。

（2）序数：

用来表示事物_______的自然数叫做序数。

这时，1表示______,5表示________,

Ⅱ、整数的运算

1、加法：

一个数与另一个数合起来，用加法。

两个数相加经常叫做两个数的和。

加数+加数=和

任何两个自然数的和仍是自然数。

也就是说，两个自然数的加法都可以运算。

2、减法：

求两个数相差多少，用减法。

两个数相减经常叫做两个数的差。

被减数-减数=差

（1）减法是加法的逆运算。

加数+加数=和和－加数=另一个加数

被减数－差=减数

被减数-减数=差

减数+差=被减数

（2）两个自然数的减法并不是都可以运算。

两个自然数m和n

①如果m≥n，m－n可以运算，其差还是自然数。

②如果m≤n，m－n不可以运算。

这要等到把数扩充正负数

3、乘法：

相同的数的加法的快捷方式。

两个数相乘经常叫做两个数的乘积。

乘数×乘数=积因数×因数=积

任何两个自然数的积仍是自然数。

也就是说，两个自然数的乘法都可以运算。

4、除法：

把一个数平均分成几份的运算。

被除数÷除数=商

（1）除法是乘法的逆运算。

因数×因数=积积÷因数=另一个因数

被除数÷商=除数

被除数÷除数=商

除数×商=被除数

（2）两个自然数的除法并不是都可以在自然数范围内运算。

也就是说，商不一定是自然数。

这说明自然数不够用了，需要把数的范围扩充，引进分数、小数。

（二）分数

1.一个物体，一群物体,一个计量单位，一段时间等都可以看作一个整体,用_________来表示。

2.分数的意义：

把单位“1”____________________，表示这样的_________________的数，叫分数。

3.分数的分母不能为_____。

分母等于_____，分数没有意义。

（一件东西分0份是没有意义的）

4.分数的基本性质：

_____________________________________________________________

5.①真分数：

______________________的分数叫做真分数。

真分数______1。

②假分数：

_________________________________的分数，叫做假分数。

假分数___________1

③带分数：

假分数可以写成_________与________合成的数，通常叫做带分数。

④想一想：

2x=2□x

（两个方框中均填×或＋）

6.分数和整数

①分子是分母的倍数的假分数，都可以写成是整数。

例如

②任何一个整数，都可以写成分母为1的假分数。

例如：

（三）小数

Ⅰ、小数的意义

把整数1平均分成______份、______份、________份……，得到的十分之几、百分之几、千分之几……,可以用小数表示。

一个小数由_______部分、_______部分和________组成。

数中的圆点叫做________，小数点左边的数叫做___________，小数点右边的数叫做___________。

Ⅱ、小数的分类

有限小数

小数无限循环小数

无限小数

无限不循环小数

1.有限小数：

___________________________的小数，叫做有限小数。

例如：

_______________________________都是有限小数。

2.无限小数：

___________________________的小数，叫做无限小数。

例如：

_______________________________都是无限小数。

3.无限循环小数：

像______________________________________________这样的数叫做循环小数。

4.无限不循环小数：

__________________________________叫做无限不循环小数。

例如：

________________________________________________________________

________________________________________________________________

（四）小数和分数

1．所有的分数都可以化成小数。

例如：

=

=

2．有限小数都可以化成分数

例如：

3.23564=

3．无限循环小数都可以化成分数

例如：

①0.33……＝

②0.99……=

4．无限不循环小数不能化为分数。

★除了无限不循环小数外，其他小数都等同于分数。

有了分数（包括有限小数和无限循环小数），除法运算都能够进行了。

二．正数和负数

（一）相反意义的量

1、在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）：

例1：

汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。

例2：

温度是零上10℃和零下5℃。

例3：

收入500元和支出237元。

例4：

水位升高1.2米和下降0.7米。

例5：

买进100辆自行车和卖出20辆自行车。

这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？

______________________________________

2、还有哪些具有相反意义的量？

________________________________________________________________________________________________________________________________________

（二）正数和负数

能用我们已经学过的数来很好的表示这些相反意义的量吗？

例如，零上5℃用5来表示，零下5℃呢？

也用5来表示，行吗？

为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了一种新数，叫做负数。

过去学过的那些除零以外的数，叫做正数。

正数前面有时也可放一个“+”（读作“正”），如5可以写成+5。

具有相反意义的量，一个规定为____数，另一个就是_____数。

在一个数前加一个_____（也可以不加）,这个数叫_______；在一个数前加一个______，这个数叫________。

★0既不是_______，也不是________

写出一些正负数：

正数__________________________负数______________________

小结

正数和负数表示的是一对相反意义的量，哪种意义为正是可以任意规定的。

如果把一种意义规定为正，则相反意义的量规定为负。

常将“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

三、有理数的概念

（一）有理数的定义与分类

Ⅰ、整数和分数统称为有理数。

目前学过的数，除了______________________________外，都是有理数。

①无限不循环小数的类型1：

:

π和包含π的算式，例如：

3π，π+2

②无限不循环小数的类型2：

2.010010001……，0.415115111511115……

Ⅱ、有理数的分类：

第一种分法：

先将有理数按“整”和“分”的属性分，

再按每类数的“正”、“负”的属性分，

第二种分法：

先将有理数按“正”和“负”的属性分，

再按每类数的“整”、“分”的属性分，

想一想：

①“0”是整数吗？

是正数吗？

是有理数吗？

②“―2”是整数吗？

是正数吗？

是有理数吗？

③自然数就是整数吗？

是正数吗？

是有理数吗？

Ⅲ、把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集。

例如：

①所有正数组成的集合，叫做正数集合；②所有负数组成的集合叫做负数集合；

③所有整数组成的集合叫整数集合；④所有分数组成的集合叫分数集合；

⑤所有有理数组成的集合叫有理数集合；⑥所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。

⑦非正数，⑧非负数，⑨非正整数，⑩非负整数

（二）数轴

1.____________________________________________叫数轴。

数轴的方向通常习惯指向_________方或上方。

2.整数与数轴

（1）任何一个整数都可以用_________________________表示。

①0用_______表示。

②正整数在_________________，负整数在__________________。

③越往右，表示的数______；越往左，表示的数______

（2）并不是数轴上的任何一个点都表示一个整数。

3.分数与数轴

（1）任何一个分数都可以______________________表示。

①正分数在_______________，负分数在________________。

②越往_______，表示的数越大;越往_______，表示的数越小。

（2）

①在

之间有多少个有理数？

_____________。

②在1和2之间有多少个有理数？

_____________；在EF之间有多少个点？

_____________。

③在1和

之间有多少个有理数？

_____________；在NE之间有多少个点？

______________。

④在1和

之间有多少个有理数？

___________。

⑤任何两个有理数之间有________个有理数；在任何两个点之间有_________个点。

（3）是不是数轴上的任何一个点都表示一个有理数？

为什么？

___________________________________________________

（三）相反数

1.相反数：

只有______不同的两个数称互为相反数。

其中任意一个是另一个的__________。

0的相反数是___。

想一想：

1和____互为相反数。

－3的相反数是____

2.在数轴上,表示互为相反数的两个点位于原点的_____侧，并且到原点的距离_______。

3.求一个数的相反数，在这个数的前边加一个“－”就可以了。

想一想：

4.6的相反数是_______，a的相反数是________，－5.4相反数是_________。

4.一个数前面有一个“－”，可以认为是求这个数的相反数。

想一想：

－（+3）=－（－5）=

（四）绝对值：

1.数轴上，表示____________________________叫做这个数的绝对值。

－5的绝对值记作：

|－5|；

2.绝对值法则：

①正数的绝对值是___________；

②0的绝对值是____；

③负数的绝对值是_________________。

想一想：

（五）有理数的大小比较

1.在数轴上，越在右方的数________

（1）负数小于____，0小于______，负数小于_____数；

（2）两个正数，应用已有的方法比较（绝对值大数大）；

（3）两个负数，绝对值大的___________.

2有没有最小的正整数？

_______________有没有最小的正分数？

___________________

有没有最小的正有理数？

_____________有没有最小的非负数？

____________________

有没有最大的负整数？

_______________有没有最大的负分数？

____________________

有没有最小的负有理数？

_____________有没有最大的非正数？

____________________

四、有理数的运算

（一）有理数的加法

1、两个正数相加

5+8=+12+3.2=+3.5+（+7）=

2、两个负数相加

规定向东走为正。

第一次向西走15米，第二次向西走7米，两次共走多少米？

－15+（－7）=

足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”，打平为“0”。

学校足球队在一场比赛中：

（1）上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了几球．

（－2）+（－1）=

★同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

（－6）+（－35）=－7.2+（－54）=

3、异号两数相加

（1）学校足球队在一场比赛中，上半场赢了3球，下半场输了4球，那么全场共赢了几球．

（+3）+（－4）=

（2）上半场输了3球，下半场赢了4球，那么全场共赢了几球

（－3）+（+4）=

（3）上半场输了3球，下半场赢了3球，那么全场共赢了几球．

（－3）+（+3）=

★异号两个数相加，如果两数的绝对值相等，则和为0

或者说：

互为相反数的两个数相加得0

★绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，

并且用较大的绝对值减去较小的绝对值．

－150＋250＝（－1.15）+（+1.12）=－15＋（+23）＝

3+（－6）=

=

4、0和一个数相加

0+2=－8+0=0+0=

★一个数同0相加，仍得这个数

总结：

（1）★有理数的加法法则

●同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

●绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值．

●互为相反数的两数相加和为0

●一个数同0相加，仍得这个数。

（2）有理数加法的运算步骤

①先判断属于法则中的哪种类型；

②再依法则判断和的符号；

③判断利用绝对值的和还是绝对值的差进行计算．

上述步骤可以概括为：

“一定二求三加减”

（3）有理数加法的运算定律

①加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变．

a+b=b+a．

②加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．（a+b）+c=a+（b+c）

（二）有理数的减法

规定：

向东走为正。

甲乙两人原在同一地点。

甲向东走10米，乙向东走8米，甲乙两人相距多少米？

_____________________________

甲向东走10米，乙原地不动，甲乙两人相距多少米_____________________________

甲向东走10米，乙向西走8米，甲乙两人相距多少米？

_____________________________

甲向西走10米，乙向西走8米，甲乙两人相距多少米？

_____________________________

－19－801029

·····

DCOAB

A、B两地相距：

_________________________；A、O两地相距：

________________________

A、C两地相距：

_________________________；C、D两地相距：

_________________________

所以：

★减去一个数，等于加上这个数的相反数。

再看：

减法是加法的逆运算，如果a+b=c，那么c－a=b

因为8+（－3）=5，所以5－（－3）=8=5+3

所以：

★减去一个数，等于加上这个数的相反数。

（三）有理数的乘法

1、两个正数相乘：

规定：

向东为正。

2×3，2看作向东运动2米，×3看作向原方向运动3次

2×3=

2、异号两数相乘：

①（－2）×3，－2看作向西运动2米，×3看作向原方向运动3次

（－2）×3=

也可以这样看：

（－2）×3=（－2）＋（－2）＋（－2）=－6

②2×（－3），2看作向东运动2米，×（－3）看作向反方向运动3次

2×（－3）=

3、两个负数相乘：

（－2）×（－3），－2看作向西运动2米，×（－3）看作向反方向运动3次

（－2）×（－3）=

4、0乘以任何数、任何数乘以0

①0×a，0看作运动0米，a看作向某方向运动

次

0×a=

②a×0，a看作向某方向运动

米，0看作运动0次

a×0=

★有理数乘法法则：

①同号两数相乘得正，并把绝对值相乘。

（两个负数相乘简称：

负负得正）

②异号两数相乘得负，并把绝对值相乘。

③0乘以任何数还得0。

★多个有理数连乘，

①如果奇数个负数，积得负；

②如果偶数个负数，积得正。

（四）有理数的除法

因为：

除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以有理数除法的商的符号确定的方法和乘法一样。

（五）有理数的乘方

，读作

的平方（或二次方）．

，读作

的立方（或三次方）．

，读作

的四次方．

一般地，

个相同的因数

相乘：

记作：

读作

的

次方，或者读作

的

次幂．

求

个相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的结果叫做幂．

★一个数可以表示成这个数本身的一次方，例如，

（指数1通常省略不写）

练一练

（1）：

=

=

=

练一练

（2），注意括号位置的不同：

=

=

=

=

练一练（3）：

=

=

=

★负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

★正数的任何次幂都是正数．

练一练（3）

11=12=13=14=1n=0n=

=

=

=

=

★

★

（六）有理数的混合运算

到目前为止，对有理数来说，我们学过的运算有：

加、减、乘、除、乘方；

运算顺序：

先乘方，再乘除，后加减。

如果右括号，先算括号里面的。

（七）科学计数法

一般地，一个大于10的数可以写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数。

这种记数方法叫做科学计数法。

练一练

500000000=135600000=

可以看出n比该数的位数小1。