沪科版一元一次方程应用题.docx

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沪科版一元一次方程应用题

专题四一元一次方程应用题

（1）

和差倍分、形积变化、储蓄问题、工程问题、配套问题

【知识清单】

<一元一次方程应用题>

解题步骤：

审-设-列-解-答

审：

审清题意，分清题中的已知量和未知量，找出题中的数量关系；

设：

设未知数，用未知数表示有关的量；

列：

根据题中的相等关系，列出一元一次方程；

解：

解所列出的一元一次方程；

答：

写出答案（包括单位）

<和差倍分问题>

1.等量关系：

增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量

2.找等量关系的方法：

抓住关键词语，如共、多、少、倍、几分之几，以原有量、现有量等之间的关系，推导出等量关系。

<形积变化>

1.常用体积公式：

（1）圆柱体积=底面积×高

（2）圆锥体积=

×底面积×高

（3）长方体体积=长×宽×高（4）正方形体积=棱长×棱长×棱长

2.形状发生了变化，而体积没有变化，此时等量关系为变化前后体积相等；

3.形状、面积发生了变化，而周长没有变，此时等量关系为变化前后周长相等；

4.形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系.

<储蓄问题>

1.本金：

储户存进银行的钱；利息：

银行付给储户的酬金；本息和：

本金和利息合在一起；利率：

利息与本金的比

2.等量关系：

本金×利率×期数=利息本金+利息=本息和

=月（年）利率

<配套问题>

1.等量关系：

加工（或生产）的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零配件的数量比.

2.配套关系的特点：

出现“几个A配几个B”或“某个部件由几个A和几个B组成”

3.审题时，要注意对题目中“恰好”“最多”等关键词的理解

<工程问题>

1.公式：

工作量=工作效率×工作时间合作的效率=各单独做的效率和

2.工程问题中，当工作总量未给出具体数量时，常把总工作量看作“1”

3.等量关系：

各部分的工作量之和等于总工作量

题型一：

和差倍分问题

例1儿子今年13岁，父亲今年40岁，请问哪一年父亲的年龄是儿子的4倍？

例2一个两位数，个位上的数是十位上的数的3倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数.

例3为美化校园活动，学校购进了一批盆栽鲜花，按下列原则分配到各班：

一班取走5盆，又取走剩下的10%；二班取走10盆，又取走剩下的10%；三班取走15盆，又取走剩下的10%；照此类推，一直分下去，直到取完为止，各班所得的鲜花盆数一样多，回答下列问题：

（1）学校一共购进多少盆鲜花？

（2）每个班分到多少盆鲜花？

（3）这个学校有几个班？

题型二：

形积变化问题

例4一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱，圆柱的高是多少？

例5有一位工人师傅将底面半径为10cm，高为80cm的“瘦长”形实心圆柱，锻造成底面半径为40cm的“矮胖”形圆柱，求“矮胖”形圆柱的高.

题型三：

储蓄问题

例6李明以两种方式存储了500元钱，一种方式的年利率是5%，另一种是4%，一年后共得利息23元5角，求两种储蓄方式各存了多少元钱.

例7为了准备婷婷6年后上大学的费用50000元，她的父亲现在就参加了教育储蓄，利率如表所示.下面有两种储蓄方式：

（1）先存一个3年期的，3年后将本息和自动转存一个3年期；

（2）直接存一个6年期的．

你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？

题型四：

配套问题

例8用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制10个盒身或20个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒.现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使加工出的盒身与盒底正好配套？

例9用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成.硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用），A方法：

剪6个侧面；B方法：

剪4个侧面和5个底面.现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法.

（1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；

（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？

题型五：

工程问题

例10为保证机场按时通航，通往机场的高速公路需要及时翻修完工，已知甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，若甲、乙两队合作5天后，再由乙队单独完成剩余的工作量，共需要多少天？

例11某管道由甲乙两个工程队单独施工分别要30天，20天铺完。

（1）如果两队从两端同时施工，需要多少天铺完？

（2）已知甲队单独施工每天200元，乙队单独施工每天320元，现要求在24天内完成该工程，那么怎样施工才能在完成工作时花费最少？

例12一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？

例13检修一处住宅区的自来水,甲单独完成需14天,乙单独完成需18天,丙单独完成需12天,前7天由甲乙合作,但乙中途离开了一段时间,后2天由乙丙合作,问乙中途离开了几天?

【作业】【家长签字】______________________

1.小鹏今年3岁，她与她妈妈的年龄的十分之一的和的一半恰好就是小鹏的年龄，小鹏的妈妈今年多少岁？

2.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的新数就比原数大63，求原来的两位数.

3.鲸鲸耕一块地，第一天耕了这块地的四分之一，第二天耕了这块地的五分之一，第三夭耕了10亩，第四天耕了这块地的三分之一，这时还剩下3亩没耕完求这块地共有多少亩?

4.一项工程，甲独做要18天，乙独做要15天，二人合做6天后，其余的由乙独做，还要几天做完？

5.车间有26名工人生产零件甲和零件乙，每人每天平均生产零件甲120个或零件乙180个，为使零件甲和零件乙按3：

2配套，则需分配多少工人生产零件甲和零件乙？

6.一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。

如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？

7.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现由甲、乙合作几天可以完成？

若甲每天工资200元，乙每天工资300元，请问如何保证在完成任务的前提下花费最小？

8.某车间22名工人参加生产一种螺母和螺丝。

每人每天平均生产螺丝120个或螺母200个，一个螺丝要配两个螺母，应分配多少名工人生产螺丝，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？

9.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。

半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？

（不计利息税）

10.小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）

11.一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，

≈3.14）．

专题四一元一次方程应用题

（2）

行程问题、销售问题、方案问题、阶梯收费问题

【知识清单】

<行程问题>

☆基本公式：

路程=速度×时间

1.相遇问题：

甲的行程+乙的行程=甲、乙出发点之间的距离；

若甲乙同时出发，则：

甲用的时间=乙用的时间

2.追及问题：

快者走的路程–慢者走的路程=两人出发时相距的距离

若两人同时出发，则快者追上慢者时，快者用的时间=慢者用的时间

3.航行问题：

顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速

逆水（风）速度=静水（风）速度–水（风）速

4.火车过桥问题：

①火车过桥时：

火车行进路程=车长+桥长

②车完全在桥上时，所走路程=

③火车过杆时，所走路程=.

④火车错车问题：

相向而行：

（车头重叠到车位相离）

同向而行：

情况1：

车头对齐

情况2：

车尾对齐

5.环形跑道问题：

同时同地同向（追及）：

两人走的路程差等于一圈的路程

同时同地反向（相遇）：

两人走的路程和等于一圈的路程

6.时钟问题：

时针速度=360°÷（12×60）=0.5°/min

分针速度=360°÷60=6°/min

☆m时n分时的夹角=|30m-5.5n|

<销售问题>

1.三个价格：

（1）进价（成本价）；

（2）标价；（3）售价

2.基本公式：

3.商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售.如：

商品打8折出售，即按原价的80%出售．

<方案问题>

1.解决方案选择问题的一般步骤：

（1）设元；

（2）列式：

列出各种方案的式子；（3）比较：

根据题意，比较各种方案的优劣；（4）取舍：

利用比较结果，确定最优方案.

<阶梯收费问题>

1.列一元一次方程解阶梯收费问题，注意分段收费的方式，解答时抓住数量关系建立方程是关键.

题型一：

行程问题

【例1】某人从家里骑自行车到学校，若每小时行15千米,可比预定时间早到15分钟;若每小时行9千米,可比预定时间晚到15分钟;求从家里到学校的路程有多少千米?

相遇与追及问题：

【例2】甲、乙相距200km，快车速度为120km/h，慢车速度为80km/h，慢车从甲地出发，快车从乙地出发.

（1）如果两车同时出发，相向而行，出发后几小时两车相遇？

相遇时离甲地多远？

（2）如果两车同时出发，同向（从乙地开始向甲地方向）而行，出发后几小时两车相遇？

【例3】甲、乙两人从相距480km的两地相向而行，甲乘汽车每小时行驶90km，乙骑自行车每小时行驶30km，如果乙先行驶2h，那么甲出发多长时间后两人相遇？

【例4】早上6:

00小红步行从A地出发，于下午5:

00到达B地.上午10:

00小明开法拉利从A地出发，于下午3:

00到达B地，小红在什么时间追上潘老师？

【例5】某队伍以7千米每小时的速度前进，在队尾的通讯员以每时11千米的速度赶到队伍前面送信，送到后立即返回队尾，共用13.2分钟。

则队伍的长度是多少千米？

【例6】一队学生从学校出发去大蜀山军训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时，通讯员王老师按原路返回学校报信，然后她随即追赶队伍，已知王老师的速度是14千米/时，她在距大蜀山6千米处追上队伍，问学校到大蜀山的距离是多少千米（报信时间忽略不计）？

☆【例7】育才组织老师到100千米以外的某地夏令营去，汽车只能坐一半人，另外一半步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车时间），要让大家下午五点同时到达，问需何时出发.

航行问题：

【例8】某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。

A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。

【例9】一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度是2千米/时，求甲乙两码头之间的距离.

火车过桥问题：

【例10】经过一座1000m的铁路桥，从车头上桥到车身全部通过铁路需要1分钟，并且车身全部在桥上的时间是40秒，求火车的速度和火车的长度.

（1）若设火车的速度为xm/s，则列出的方程为.

（2）若设火车的长度为xm，则列出的方程为.

【练习10】一座大桥长2100米，一列火车以每分钟800米的速度通过这座大桥，从车头上桥到车尾离桥共用3.1分钟，这列火车长多少米？

【例11】有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．

【例12】一列火车匀速行驶,经过一条长300m的隧道需要20s的时间。

隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据,你能否求出火车的长度?

若能，火车的长度是多少?

若不能,请说明理由.

环形跑道问题：

【例13】甲、乙二人在300米环形跑道上练习长跑，甲的速度6m/s，乙的速度7m/s。

（1）如果甲、乙二人同地背向跑，乙先跑2s，经过几秒二人相遇？

（2）如果甲、乙二人同时同地同向跑，乙跑多远才能追上甲？

（3）若甲、乙二人同向跑，乙在前面6m，经过多少秒后两人第一次相遇？

【例14】一条环形的跑道长800米，甲练习骑自行车平均每分钟行500米，乙练习赛跑，平均每分钟跑200米，两人同时同地出发.

（1）若两人背向而行，则他们经过多少时间首次相遇？

（2）若两人同向而行，则他们经过多少时间首次相遇？

时钟问题：

【例15】小明的妈妈去育才报名数学寒假班时，是下午4：

00，回家时正好时针和分针第一次相遇，请问小明的妈妈回家的时候是几点？

【例16】在6点和7点之间,什么时刻时钟的分针和时针重合?

题型二：

销售问题

【例17】红叶商店对某种商品调价，按原价的8折出售，这时商品的利润率是20%，此商品的进价是560元，这件商品的原价是多少元？

【例18】商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的七五折出售将赚50元，问：

（1）每件服装的标价是多少元?

（2）每件服装的成本是多少元?

（3）为保证不亏本，最多能打几折?

【例19】某商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于商品积压,商店准备打折出售,但要保持利润率等5%,则应该打几折？

【例20】某企业生产一种产品,每件成本为400元,销售价为510元,为进一步扩大市场,该企业决定在降低销售价的同时降低成本,经过市场调研,预测下季度这种产品每件销售价降低4%,销售量将提高10%,要使销售利润（销售利润=销售价-成本价）保持不变,该产品每件的成本价应降低多少元?

题型三：

方案问题

【例21】某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元。

厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：

方案①：

买一套西装送一条领带；方案②：

西装和领带都按定价的90%付款。

现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x>20）。

（1）若该客户按方案购买①，需付款多少元？

（用含x的代数式表示）

（2）若该客户按方案购买②，需付款多少元？

（用含x的代数式表示）

（3）若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？

【例22】某农产品基地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为100元;经粗加工后销售,每吨利润可达450元;经精加工后销售,每吨利润涨至750元.现收获这种蔬菜140吨,该基地加工能力是:

如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨;如果对蔬菜进行精加工,每天可加工6吨,但两种加式方式不能同时进行,受季节条件的限制,公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工方案.

方案一:

将蔬菜全部进行粗加工;

方案二:

尽可能多的对蔬菜进行精加工,没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售;

方案三:

将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好在15天完成.

你认为选择哪种方案获利最多?

为什么？

题型四：

阶梯收费问题

【例23】某市出租车的收费标准是：

3千米以内起步价10元，3至5千米每千米1.8元，5千米以后每千米2.7元．现在小明从学校乘出租车到家时，恰好付给司机46元．那么，学校距小明家有多少千米？

【例24】某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？

应交电费是多少元？

【例25】“双11”网络购物狂欢节快到了，每年购物街上商家为了吸引顾客，都进行优惠促销活动，今年京东商城某坚果商铺的促销活动方案如下：

方案1：

一次性购买的数量不超过20包时，售价为15元/包，一次购物邮费15元.

方案2：

一次性购买的数量超过20包时，超过的部分13.5元/包，且此次购物免除全国邮费；

小浩同学看到这则广告后作为班长的他想买一些给班级作为运动会的小奖品，但他也不知道需要多少费用，聪明的同学们请你帮他也算一算。

（1）如果小浩班长一次性购买15包，总花费是多少？

如果一次性购买25包，总费用又是多少？

（2）如果用字母x表示小浩一次购买的数量，那么小浩班长一次性购物的总费用该如何用代数式表示呢？

【作业】【家长签字】______________________

1.某解放军队伍长450米.以每秒1.5米的速度行进。

一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾。

那么这需要多少时间？

2.已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？

3.甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，如果同向跑，每隔2分钟相遇一次，如果反向跑，则每隔40秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人的速度？

4.一架飞机飞行于甲、乙两城之间，顺风时需要5小时30分钟，逆风时需要6小时，若风速是每小时24公里，求两城之间的距离？

5.一列快车和一列慢车相向行驶在平行的两条轨道上，快车长150米，慢车长200米，坐在慢车上的乘客见快车驶过窗口的时间是6秒，问坐在快车上的乘客见慢车驶过窗口的时间是几秒？

6.在3：

00和4：

00之间，时针和分针能否重合？

如果能，请求出相遇时刻；如果不能，请说明原因.

6.新华书店向学校推销两种素质教育书，若原价买这两种书共需880元，书店推销时，第一种书打了八折，第二种书打了七五折，结果这两种书共少要了200元，问这两种书的原价分别为多少？

7.甲、乙两件服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价.在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售,这样商店共获利157元,求甲、乙两件服装的成本各是多少元?

8.某市按以下规定收取每月的煤气费：

用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费，如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，求该用户4月份应交的煤气费.

9.某单位要制作一批宣传资料.甲公司提出：

每份材料收费20元，另收设计费3000元；乙公司提出：

每份材料收费30元，不收设计费.

（1）什么情况下，两公司收费相同？

（2）什么情况下，选择甲公司比较合算？

（3）什么情况下，选择乙公司比较合算？

10.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：

如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：

尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：

将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？

为什么？

11.小刚为书房买灯。

现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦的节能灯，售价为49元/盏，另一种是40瓦的白炽灯，售价为18元/盏。

假设两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到2800小时。

已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元。

（1）.设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。

（费用=灯的售价+电费）

（2）.小刚想在这种灯中选购两盏。

假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时。

请你设计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由。