高等数学课后习题及参考答案第十章.docx

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高等数学课后习题及参考答案第十章

高等数学课后习题及参考答案

（第十章）

习题10-1

1.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L,在点（x,y）处它的线密度为

μ（x,y）,用对弧长的曲线积分分别表达:

（1）这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy;

（2）这曲线弧的重心坐标,.

解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds（它的长度也记做ds）,设（x,y）为小弧段ds上任一点.

曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为

dIx=y2μ（x,y）ds,dIy=x2μ（x,y）ds.

曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为

.

曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为

dMx=yμ（x,y）ds,dMy=xμ（x,y）ds.

曲线L的重心坐标为

.

2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:

如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2,则

.

证明划分L,使得L1和L2的连接点永远作为一个分点,则

.

令λ=max{∆si}→0,上式两边同时取极限

即得.

3.计算下列对弧长的曲线积分:

（1）,其中L为圆周x=acost,y=asint（0≤t≤2π）;

解

=

.

（2）,其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段;

解L的方程为y=1-x（0≤x≤1）;

.

（3）,其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;

解L1:

y=x2（0≤x≤1）,L2:

y=x（0≤x≤1）.

.

（4）,其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;

解L=L1+L2+L3,其中

L1:

x=x,y=0（0≤x≤a）,

L2:

x=acost,y=asint,

L3:

x=x,y=x,

因而,

.

（5）

其中Γ为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到2的这段弧;

解

.

（6）,其中Γ为折线ABCD,这里A、B、C、D依次为点（0,0,0）、

（0,0,2）、（1,0,2）、（1,3,2）;

解Γ=AB+BC+CD,其中

AB:

x=0,y=0,z=t（0≤t≤1）,

BC:

x=t,y=0,z=2（0≤t≤3）,

CD:

x=1,y=t,z=2（0≤t≤3）,

故

.

（7）,其中L为摆线的一拱x=a（t-sint）,y=a（1-cost）（0≤t≤2π）;

解

.

（8）,其中L为曲线x=a（cost+tsint）,y=a（sint-tcost）（0≤t≤2π）.

解

.

4.求半径为a,中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度μ=1）的重心.

解建立坐标系如图10-4所示,由对称性可知,又

所以圆弧的重心为

5.设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost,y=asint,z=kt,其中0≤1≤2π,

它的线密度ρ（x,y,z）=x2+y2+z2,求:

（1）它关于z轴的转动惯量Iz;

（2）它的重心.

解.

（1）

.

（2）

故重心坐标为.

习题10-2

1.设L为xOy面内直线x=a上的一段,证明:

.

证明设L是直线x=a上由（a,b1）到（a,b2）的一段,

则L:

x=a,y=t,t从b1变到b2.于是

.

2.设L为xOy面内x轴上从点（a,0）到（b,0）的一段直线,

证明.

证明L:

x=x,y=0,t从a变到b,所以

.

3.计算下列对坐标的曲线积分:

（1）,其中L是抛物线y=x2上从点（0,0）到点（2,4）

的一段弧;

解L:

y=x2,x从0变到2,所以

.

（2）,其中L为圆周（x-a）2+y2=a2（a>0）及x轴所围成的在第

一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）;

解L=L1+L2,其中

L1:

x=a+acost,y=asint,t从0变到π,

L2:

x=x,y=0,x从0变到2a,

因此

.

（3）,其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到

的一段弧;

解

.

（4）

其中L为圆周x2+y2=a2（按逆时针方向绕行）;

解圆周的参数方程为:

x=acost,y=asint,t从0变到2π,所以

.

（5）,其中Γ为曲线x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上对

应θ从0到π的一段弧;

解

.

（6）,其中Γ是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的

一段直线;

解Γ的参数方程为x=1+t,y=1+2t,z=1+3t,t从0变到1.

.

（7）,其中Γ为有向闭折线ABCA,这里的A,B,C

依次为点（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）;

解Γ=AB+BC+CA,其中

AB:

x=x,y=1-x,z=0,x从1变到0,

BC:

x=0,y=1-z,z=z,z从0变到1,

CA:

x=x,y=0,z=1-x,x从0变到1,

故

.

（8）,其中L是抛物线y=x2上从（-1,1）

到（1,1）的一段弧.

解L:

x=x,y=x2,x从-1变到1,故

4.计算,其中L是:

（1）抛物线y=x2上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧;

解L:

x=y2,y=y,y从1变到2,故

.

（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段;

解L:

x=3y-2,y=y,y从1变到2,故

（3）先沿直线从点（1,1）到（1,2）,然后再沿直线到点（4,2）的折线;

解L=L1+L2,其中

L1:

x=1,y=y,y从1变到2,

L2:

x=x,y=2,x从1变到4,

故

.

（4）沿曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点（1,1）到（4,2）的一段弧.

解L:

x=2t2+t+1,y=t2+1,t从0变到1,故

.

5.一力场由沿横轴正方向的常力F所构成,试求当一质量为m

的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时

场力所作的功.

解已知场力为F=（|F|,0）,曲线L的参数方程为

x=Rcosθ,y=Rsinθ,

θ从0变到,于是场力所作的功为

.

6.设z轴与力方向一致,求质量为m的质点从位置（x1,y1,z1）

沿直线移到（x2,y2,z2）时重力作的功.

解已知F=（0,0,mg）.设Γ为从（x1,y1,z1）到（x2,y2,z2）的直线,

则重力所作的功为

.

7.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线

积分,其中L为:

（1）在xOy面内沿直线从点（0,0）到（1,1）;

解L的方向余弦,

故

.

（2）沿抛物线y=x2从点（0,0）到（1,1）;

解曲线L上点（x,y）处的切向量为τ=（1,2x）,单位切向量为

故

.

（3）沿上半圆周x2+y2=2x从点（0,0）到（1,1）.

解L的方程为,其上任一点的切向量为

单位切向量为

故

.

8.设Γ为曲线x=t,y=t2,z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧,

把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分.

解曲线Γ上任一点的切向量为

τ=（1,2t,3t2）=（1,2x,3y）,

单位切向量为

.

习题10-3

1.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性:

（1）,其中L是由抛物线y=x2及y2=x所围

成的区域的正向边界曲线;

解L=L1+L2,故

而

所以

.

（2）,其中L是四个顶点分别为（0,0）、

（2,0）、（2,2）、和（0,2）的正方形区域的正向边界.

解L=L1+L2+L3+L4,故

而

所以

.

2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:

（1）星形线x=acos3t,y=asin3t;

解

.

（2）椭圆9x2+16y2=144;

解椭圆9x2+16y2=144的参数方程为

x=4cosθ,y=3sinθ,0≤θ≤2π,故

.

（3）圆x2+y2=2ax.

解圆x2+y2=2ax的参数方程为x=a+acosθ,y=asinθ,0≤θ≤2π,

故

.

3.计算曲线积分,其中L为圆周（x-1）2+y2=2,L的方

向为逆时针方向.

解,.当x2+y2≠0时

.

在L内作逆时针方向的ε小圆周

l:

x=εcosθ,y=εsinθ（0≤θ≤2π）,

在以L和l为边界的闭区域Dε上利用格林公式得

即.

因此.

4.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关,并计算积分值:

（1）;

解P=x+y,Q=x-y,显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏

导数,而且

故在整个xOy面内,积分与路径无关.

取L为点（1,1）到（2,3）的直线y=2x-1,x从1变到2,则

.

（2）;

解P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2,显然P、Q在整个xOy面内具有一

阶连续偏导数,并且,故积分与路径无关,取路径

（1,2）→（1,4）→（3,4）的折线,则

.

（3）.

解P=2xy-y4+3,Q=x2-4xy3,显然P、Q在整个xOy面内具有一

阶连续偏导数,并且,所以在整个xOy面内积分与

路径无关,选取路径为从（1,0）→（1,2）→（2,1）的折线,则

.

5.利用格林公式,计算下列曲线积分:

（1）,其中L为三顶点分别为（0,0）、

（3,0）和（3,2）的三角形正向边界;

解L所围区域D如图所示,P=2x-y+4,Q=5y+3x-6,

故由格林公式,得

.

（2）

其中L为正

向星形线（a>0）;

解,,

由格林公式

.

（3）,其中L为在抛物线

2x=πy2上由点（0,0）到的一段弧;

解,,

所以由格林公式

其中L、OA、OB、及D如图所示.

故

.

（4）,其中L是在圆周上由

点（0,0）到点（1,1）的一段弧.

解P=x2-y,Q=-x-sin2y,

由格林公式有

其中L、AB、BO及D如图所示.

故

.

6.验证下列P（x,y）dx+Q（x,y）dy在整个xOy平面内是某一函数

u（x,y）的全微分,并求这样的一个u（x,y）:

（1）（x+2y）dx+（2x+y）dy;

证明因为,所以P（x,y）dx+Q（x,y）dy是某个定义在整

个xOy面内的函数u（x,y）的全微分.

.

（2）2xydx+x2dy;

解因为,所以P（x,y）dx+Q（x,y）dy是某个定义在整个

xOy面内的函数u（x,y）的全微分.

.

（3）4sinxsin3ycosxdx–3cos3ycos2xdy

解因为,所以P（x,y）dx+Q（x,y）dy是某个

定义在整个xOy平面内的函数u（x,y）的全微分.

.

（4）

解因为,所以P（x,y）dx+Q（x,y）dy是某个定

义在整个xOy平面内的函数u（x,y）的全微分.

.

（5）

解因为,所以P（x,y）dx+Q（x,y）dy是

某个函数u（x,y）的全微分

.

7.设有一变力在坐标轴上的投影为X=x+y2,Y=2xy-8,这变力确

定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所做的功与路径无关.

解场力所作的功为.

由于,故以上曲线积分与路径无关,即场力所作的功

与路径无关.

习题10-4

1.设有一分布着质量的曲面∑,在点（x,y,z）处它的面密度为μ（x,y,z）,用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量.

解.假设μ（x,y,z）在曲面∑上连续,应用元素法,在曲面∑上任意一点（x,y,z）处取包含该点的一直径很小的曲面块dS（它的面积也记做dS）,则对于x轴的转动惯量元素为

dIx=（y2+z2）μ（x,y,z）dS,

对于x轴的转动惯量为

.

2.按对面积的曲面积分的定义证明公式

其中∑是由∑1和∑2组成的.

证明划分∑1为m部分,∆S1,∆S2,⋅⋅⋅,∆Sm;

划分∑2为n部分,∆Sm+1,∆Sm+2,⋅⋅⋅,∆Sm+n,

则∆S1,⋅⋅⋅,∆Sm,∆Sm+1,⋅⋅⋅,∆Sm+n为∑的一个划分,并且

.

令,,,则当

λ→0时,有

.

3.当∑是xOy面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系？

解∑的方程为z=0,（x,y）∈D,

故.

4.计算曲面积分,其中∑为抛物面z=2-（x2+y2）在xOy面上方的部分,f（x,y,z）分别如下:

（1）f（x,y,z）=1;

解∑:

z=2-（x2+y2）,Dxy:

x2+y2≤2,

.

因此

.

（2）f（x,y,z）=x2+y2;

解∑:

z=2-（x2+y2）,Dxy:

x2+y2≤2,

.

因此

.

（3）f（x,y,z）=3z.

解∑:

z=2-（x2+y2）,Dxy:

x2+y2≤2,

.

因此

.

5.计算,其中∑是:

（1）锥面及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面;

解将∑分解为∑=∑1+∑2,其中

∑1:

z=1,D1:

x2+y2≤1,dS=dxdy;

∑1:

D2:

x2+y2≤1,.

+

.

提示:

.

（2）锥面z2=3（x2+y2）被平面z=0及z=3所截得的部分.

解∑:

Dxy:

x2+y2≤3,

因而.

提示:

.

6.计算下面对面积的曲面积分:

（1）,其中∑为平面在第一象限中的部分;

解,,

.

（2）,其中∑为平面2x+2y+z=6在第一象限中的部分;

解∑:

z=6-2x-2y,Dxy:

0≤y≤3-x,0≤x≤3,

.

（3）

其中∑为球面x2+y2+z2=a2上z≥h（0

解∑:

Dxy:

x2+y2≤a2-h2,

（根据区域的对称性及函数的奇偶性）.

提示:

（4）,其中∑为锥面被x2+y2=2ax所截得的有限部分.

解∑:

Dxy:

x2+y2≤2ax,

.

提示:

.

7.求抛物面壳的质量,此壳的面密度为μ=z.

解∑:

Dxy:

x2+y2≤2,

.

故

.

8.求面密度为μ0的均匀半球壳x2+y2+z2=a2（z≥0）对于z轴的转动惯量.

解∑:

Dxy:

x2+y2≤a2,

.

提示:

.

习题10-5

1.按对坐标的曲面积分的定义证明公式:

.

解证明把∑分成n块小曲面∆Si（∆Si同时又表示第i块小曲面的面

积）,∆Si在yOz面上的投影为（∆Si）yz,（ξi,ηi,ζi）是∆Si上任意取定的一点,

λ是各小块曲面的直径的最大值,则

.

2.当∑为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分

与二重积分有什么关系？

解因为∑:

z=0,（x,y）∈Dxy,故

当∑取的是上侧时为正号,∑取的是下侧时为负号.

3.计算下列对坐标的曲面积分:

（1）

其中∑是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧;

解∑的方程为,Dxy:

x2+y2≤R,于是

.

（2）,其中z是柱面x2+y2=1被平面z=0及

z=3所截得的第一卦限内的部分的前侧;

解∑在xOy面的投影为零,故.

∑可表示为,（y,z）∈Dyz={（y,z）|0≤y≤1,0≤z≤3},故

∑可表示为,（z,x）∈Dzx={（z,x）|0≤z≤3,0≤x≤1},故

.

因此.

解法二∑前侧的法向量为n=（2x,2y,0）,单位法向量为

由两种曲面积分之间的关系,

.

提示:

表示曲面的面积.

（3）,其中

f（x,y,z）为连续函数,∑是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧;

解曲面∑可表示为z=1-x+y,（x,y）∈Dxy={（x,y）|0≤x≤1,0≤y≤x-1},

∑上侧的法向量为n=（1,-1,1）,单位法向量为

由两类曲面积分之间的了解可得

.

（4）,其中∑是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1

所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.

解∑=∑1+∑2+∑3+∑4,其中

∑1:

x=0,Dyz:

0≤y≤1,0≤z≤1-y,

∑2:

y=0,Dzx:

0≤z1,0≤x≤1-z,

∑3:

z=0,Dxy:

0≤x≤1,0≤y≤1-x,

∑4:

z=1-x-y,Dxy:

0≤x≤1,0≤y≤1-x,

于是

.

由积分变元的轮换对称性可知

.

因此.

解∑=∑1+∑2+∑3+∑4,其中∑1、∑2、∑3是位于坐标面上的三块;

∑4:

z=1-x-y,Dxy:

0≤x≤1,0≤y≤1-x.

显然在∑1、∑2、∑3上的曲面积分均为零,于是

.

4.把对坐标的曲面积分

化成对面积的曲面积分:

（1）∑为平面在第一卦限的部分的上侧;

解令,∑上侧的法向量为:

单位法向量为

于是

.

（2）∑是抛物面z=8-（x2+y2）在xOy面上方的部分的上侧.

解令F（x,y,z）=z+x2+y2-8,∑上侧的法向量

n=（Fx,Fy,Fz）=（2x,2y,1）,

单位法向量为

于是

.

10-6

1.利用高斯公式计算曲面积分:

（1）,其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=a,

y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧;

解由高斯公式

原式

（这里用了对称性）.

（2）,其中∑为球面x2+y2+z2=a2的外侧;

解由高斯公式

原式

.

（3）,其中∑为上半球体

x2+y2≤a2,的表面外侧;

解由高斯公式

原式

.

（4）其中∑界于z=0和z=3之间的圆柱体

x2+y2≤9的整个表面的外侧;

解由高斯公式

原式.

（5）,其中∑为平面x=0,y=0,z=0,x=1,

y=1,z=1所围成的立体的全表面的外侧.

解由高斯公式

原式

.

2.求下列向量A穿过曲面∑流向指定侧的通量:

（1）A=yzi+xzj+xyk,∑为圆柱x+y2≤a2（0≤z≤h）的全表面,流向外侧;

解P=yz,Q=xz,R=xy,

.

（2）A=（2x-z）i+x2yj-xz2k,∑为立方体0≤x≤a,0≤y≤a,0≤z≤a,

的全表面,流向外侧;

解P=2x-z,Q=x2y,R=-xz2,

.

（3）A=（2x+3z）i-（xz+y）j+（y2+2z）k,∑是以点（3,-1,2）为球心,

半径R=3的球面,流向外侧.

解P=2x+3z,Q=-（xz+y）,R=y2+2z,

.

3.求下列向量A的散度:

（1）A=（x2+yz）i+（y2+xz）j+（z2+xy）k;

解P=x2+yz,Q=y2+xz,R=-z2+xy,

.

（2）A=exyi+cos（xy）j+cos（xz2）k;

解P=exy,Q=cos（xy）,R=cos（xz2）,

.

（3）A=y2zi+xyj+xzk;

解P=y2,Q=xy,R=xz,

.

4.设u（x,y,z）、v（x,y,z）是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续

偏导数的函数,,依次表示u（x,y,z）、v（x,y,z）沿∑的外法线方向

的方向导数.证明

其中∑是空间闭区间Ω的整个边界曲面,这个公式叫作林第二公式.

证明由第一格林公式（见书中例3）知

.

将上面两个式子相减,即得

.

5.利用高斯公式推证阿基米德原理:

浸没在液体中所受液体的压力

的合力（即浮力）的方向铅直向上,大小等于这物体所排开的液体的重力.

证明取液面为xOy面,z轴沿铅直向下,设液体的密度为ρ,在物

体表面∑上取元素dS上一点,并设∑在点（x,y,z）处的外法线的方向余

弦为cosα,cosβ,cosγ,则dS所受液体的压