物理学中关于自由度的讨论.docx

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物理学中关于自由度的讨论

摘要：

首先以两个简单形象的举例解释了自由度的概念，然后进一步解释分析了“力学”中自由度的几个特点，引入了刚体运动的自由度。

又用举例分析来解释了“热学”和“原子物理学”中的一些微观客体的自由度，包括单原子分子的自由度、双原子分子的自由度、刚性三原子分子的自由度、多原子分子的自由度、多原子分子内部的振动自由度以及由单、双、多原子分子形成的物质整体的自由度。

最后总结说明了研究学习“力学”、“热学”和“原子物理学”中自由度的重要意义。

关键词：

自由度；刚体；振动自由度；能量按自由度均分定理

Adiscussionofdegreeoffreedominphysics

Abstract：

Thispaperfirstlyisstartedwithtwosimplebutvividexamples,whichexplainedtheconceptofdegreeoffreedom.Thenitfurtheranalyzedafewcharacteristicsofthedegreeoffreedomindynamics.Meanwhile,itintroducedthedegreeoffreedomofrigidbodymovement.Next,therearestillenoughexamplesstatedtoexplainsomemicrocosmicobjects’degreeoffreedominthermodynamicsandatomicphysics,includingthedegreeoffreedomofmonoatomicmolecule,biatommolecule,rigidbodytriatomicmolecule,multiatomicmolecule,theinnervibrationinmultiatomicandthewholemixedobjectofmonoatomic,biatomic,multiatomicmolecule.Lastly,itcametothecomclusionthatstudyingthedegreeoffreedomindynamics,thermodynamicsandatomicphysicsissignificant.

自由度的概念有广延而深邃的内涵。

在力学、热学以及原子物理学中，自由度都是一个重要的概念。

自由度是决定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标的数目。

怎样理解这个概念呢？

先举几个例子进行理解。

例如：

用粉笔在黑板上画一段曲线的过程中，粉笔的运动情况可以用X、Y两个坐标来描述；而对于飞行中的飞机，只考虑飞机的质心的运动时，则必须用X、Y、Z三个坐标来描述。

所以说，正在画线的粉笔有2个自由度，正在飞行的飞机有3个自由度。

一、“力学”中的自由度特点

力学中，自由度是指确定一个力学系统的空间几何位形所需的独立变量的个数。

其特点如下：

（一）、被研究物体的自由度不会因坐标的选取不同而发生改变，如一个质点的三维空间运动，在任何坐标系中，自由度数均为3，即必须用X、Y、Z三个坐标来描述。

（二）、被研究物体的自由度在同类参考系中不因参考系的动静而有区别，质点在静、动两个惯性参考系中，质点自由度的种类、名称及数目都是一样的。

（三）、同一研究对象，其自由度随其所在的“空间”不同而异。

如：

质点在设定不变的一条直线或曲线上的自由度为1；在设定不变的一个平面上的自由度为2；而在设定不变的空间中自由度为3。

（四）、宏观上观察物体运动时，物体自由度越多，则受约束越少，从而物体越自由。

（五）、自由度具有叠加性。

物体的总自由度等于物体本身运动具有的自由度和其所处“空间”（形状改变或运动时）具有的自由度的叠加。

如小球沿定长的直杆，杆又在平面内做定轴定速转动，若小球看作一个质点，杆的“半径”很小可以忽略，则小球的总自由度等于小球在直杆上运动的1个自由度加上直杆在平面内做定轴转动的1个自由度，总自由度为2。

（六）、“力学”中主要的自由度分类。

质点自由度为3；刚体自由度为平动自由度3加转动自由度3等于6；非刚体，除反映物质整体运动的6个自由度外，还有3N－6个反映物质内部质点“振动”的自由度（暂且认为质点间的相互联系导致质点“振动”）

理解自由度的概念后，现在引入刚体运动自由度。

由于刚体的运动可分解为质心的平动和绕质心轴的转动，这样刚体的位置可决定如下:

三个独立坐标X、Y、Z决定质心的位置；两个独立坐标α、β决定转轴的方位（因为

α+

β+

γ=1,所以三个方位角中只有两个是独立的）；一个独立坐标θ决定刚体相对于某一起始位置转过的角度（图1）。

因此，刚体共有六个自由度:

三个平动，三个转动。

二、“热学”和“原子物理学”中一些微观客体的自由度

（一）单原子分子的自由度

单原子分子（如氦、氖等）可被看作力学中自由运动的质点，所以有3个自由度。

那单原子分子为什么不考虑其转动自由度呢？

因为单原子分子的质量几乎都集中在原子核上，电子质量仅是质子质量的

，而质子半径数量级为10-15m，单原子分子半径的数量级为10-10m，由于相同质量的均匀球体绕中心轴的转动惯量是与半径的平方成正比的（

）,所以单原子分子的转动惯量几乎是非单原子分子转动惯量的

，转动动能与转动惯量成正比，因而单原子分子的转动动能是非单原子分子转动动能的

，通常完全可以忽略不计，所以单原子分子不考虑转动自由度。

（二）双原子分子的自由度

双原子分子（如氢、氧、氮、一氧化碳）中的两个原子是由一个化学键联结起来的。

双原子分子根据分子内原子之间有无振动可分为刚性分子和非刚性分子（即弹性分子）

1、若忽略分子内原子之间的振动，则可视为刚性分子，刚性双原子分子可视为一直线。

描述其质心的位置需要3个独立坐标，另外用2个独立坐标决定其连线的方位，即有2个转动自由度，因为双原子分子的转动自由度中有1个自由度是通过两个原子中心的连线转动的自由度，而其回转半径是原子核的半径（原子核半径为

m），所以这个转动动能可以忽略，因而这一个转动自由度被忽略，又由于刚性分子的原子之间距离不变，无振动自由度，所以刚性双原子分子共有5个自由度。

2、若考虑分子内原子之间的振动，则为弹性分子，双原子弹性分子中包括3个质心平动自由度,2个转动自由度和1个反映分子内部原子间相对振动的自由度，共有6个自由度。

（三）刚性三原子分子的自由度

刚性三原子气体分子（如水、二氧化碳）需要3个平动自由度和3个转动自由度，共有6个自由度;

（四）多原子分子的自由度

多原子分子（由三个或三个以上原子组成的分子）的自由度数需要根据其结构情况进行具体分析才能确定。

1、一般地，刚性多原子分子，有其质心的3个平动自由度，3个转动自由度（两个角度定出转动轴的方向，还有绕转动轴的角度，方能定出分子在空间的方向）。

2、非刚性多原子分子的自由度，如同前面的非刚体的情形，需要考虑分子内部各原子之间的振动。

若一个分子由n个原子组成，则这个分子最多有3n个自由度；其中3个是平动的，3个是转动的，其余3n－6个是振动的。

（五）、关于多原子分子内部的振动自由度

1、综述

设多原子分子是由n个有着相互联系（原子间有相互作用力）的原子构成，每个原子若看作质点，即每个原子的自由度均与质点一样为3，则这个分子本应该有3n个自由度，但是这些原子已经结成分子整体，每个原子就不再有3个独立的自由度了，自由度必须从分子整体进行考虑，分子总自由度中已经占了6个（3个平动自由度，3个转动自由度），剩下3n－6个反映分子内部振动的自由度。

如果分子内部的原子是排成直线的，那么总自由度中中占了5个（3个平动自由度，2个转动自由度，因为排成直线的n个原子其中一个转动是以它们的连线中心轴为转动轴，转动半径很小，通常完全可以忽略不计），分子有3n－5个振动自由度。

2、振动自由度的计算

（1）、组成分子的原子不在一条直线上时，原子的两两联系组合数如下表

表1组成分子的原子（不在一条直线上）两两联系组合数

原子数n

n－1

两两组合数

=10

=15

=21

=28

…

多原子分子的振动自由度数取决于

排列组合数=

【例1】如图2，原子数n=5时，原子两两组合数为10（

），其中包括重复组合部分，原子间发生联系时，分子1与分子2、3、4、5分别组合后，接着分子2分别与分子3、4、5组合，最后分子3分别与分子4、5组合，而不记分子4与5组合，因为是重复性组合，也就是------排列组合数=

这与前面的理论中振动自由度为3n－6=9相吻合。

2、组成分子的原子在一条直线上时，原子的两两联系组合数及满足的递推关系同表1，但是分子的振动自由度取决于

排列组合数=

【例2】

如图3，原子数n=5时，原子两两组合数等于10，其中包括重复组合部分，因原子在一条直线上，所以还需要记分子4与5的组合，也就是------

排列组合数=

这与前面的理论中振动自由度为3n－5=10相吻合。

（六）由单、双、多原子分子形成的物质整体的自由度

由单原子分子、双原子分子和多原子分子形成的物质整体，若视为刚体其自由度为6；若视为非刚体，仍有反映分子整体运动的6个自由度和3N－6个反映物质内部分子振动的自由度。

三、研究学习力学、热学和原子物理学中自由度的重要意义。

首先，研究学习自由度有助于提高我们正确分析物理问题的能力。

如：

力学中研究物体运动时，我们在正确分析物体自由度的前提下，能更清晰地分析物体的位置、位移、受力投影,以及进一步引出有关功和能等问题，从而能更好、更准确的定量、定性分析讨论物体的运动规律；

其次，对自由度的概念的深刻理解，为充分掌握能量按自由度均分定理打下伏笔。

能量按自由度均分定理是热力学系统热运动的一个统计规律,是对大量分子无规则运动能量的统计结果,用它可以简便计算理想气体的内能和热容量。

然而这里的“能量”实质上是“平均动能”按自由度均分,而对于转动自由度和振动自由度,该定理仅是近似成立；

第三，自由度的概念解释了经典热容量理论的缺陷。

以双原子分子气体H2为例，由“能量按自由度均分定理”给出其定容摩尔热容量CV为

；而实验表明H2的CV在低温度时为

，常温时为

，只有在极高的温度时才接近

。

理论与实验之所以不尽相符，是因为根据量子理论，振动能级和转动能级的间隔较大，因而在低温时分子之间相碰不可能使分子的振动能级和转动能级发生跃变，也就是在低温时分子的振动自由度和转动自由度都被“冻结”了，也就是说分子失去了振动和转动自由度；当温度升到常温时，分子的转动自由度开始“解冻”，因而转动自由度就对热容量的增大作出了一定的贡献；而高温时，振动自由度也被“解冻”，于是双原子分子气体的摩尔热容量

就增加至

。

参考文献

[1]卢民强，许丽敏力学高等教育出版社2002.7

[2]李椿，章立源，钱尚武热学高等教育出版社1979.2

[3]赵德先，范新民，郑敏，李涛理论物理概论西南交通大学出版社2006.9

[4]褚圣麟原子物理学高等教育出版社1979.6

[5]、赵占娟，刘磊，张红江攻克能量按自由度均分原理这一教学难点的体会

河北职工医学院学报2005.6

内部资料

仅供参考

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